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第1章 数列 章节练习
一、单选题
1．已知数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出，接着复制该项后，再添加该项的后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加3的后继数4，…，如此继续，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A．26 B．39 C．56 D．117
3．在等比数列中，已知，则是数列有最小值为的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．既不充分又不必要 D．充要
4．记为等比数列的前n项和，，，则（ ）
A． B． C． D．或
5．已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
6．若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ）
A．1 B．
C． D．
7．已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．若等差数列的前n项和为，则（ ）
A．0 B．12 C． D．
二、多选题
9．已知公差为的等差数列中，前项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
10．意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样的数列：1，1，2，3，5，8，，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，并将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．若是递增数列，则 B．若，，则是递减数列
C．若，则 D．若，则是等比数列
12．以下为自然数从小到大依次排成的数阵：
1
2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
……
第行有个数，则（ ）．
A．该数阵第行第一个数为
B．该数阵第行所有数的和为
C．该数阵第行最后一个数为
D．若数阵前行总和为，，则的最大值为7
三、填空题
13．记为等差数列的前n项和，已知，则 ．
14．已知等差数列的前n项和为，若，则 ．
15．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 .
16．对于集合的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合的交替和是，集合的交替和为5．当集合N中的时，集合的所有非空子集为，，，则它的“交替和”的总和，请你尝试对、的情况，计算它的“交替和”的总和、，并根据其结果猜测集合的每一个非空子集的“交替和”的总和 ．
四、解答题
17．在①，②是的等比中项，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，且 .
（1）求；
（2）设数列的前项和为，试比较与的大小，并说明理由.
18．已知等差数列的前n项和为，公差，是，的等比中项，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求．
19．设，是函数的图像上的任意两点.
（1）当时，求的值；
（2）设，其中，求；
（3）对于（2）中的，已知，其中，设为数列的前n项的和，求证.
20．已知数列满足且．
(1)求通项；
(2)求数列的前项之和．
21．一个等差数列的首项是8，公差是3，另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是原等差数列的第几项？求出由公共项组成的数列的通项公式及前100项的和．
22．已知正项数列满足：；为数列为的前项和，，对任意的自然数，恒有.
(1)求数列的通项公式及其前项和；
(2)证明：数列是等差数列，并求其通项公式.
参考答案：
1．A
【分析】根据题中规律得到，将所求的逐步转化得到即可得到答案.
【详解】由，，，，
可得，所以，
故．
故选：A
2．A
【分析】由等差数列前n项和公式及等差中项的性质即可求.
【详解】由，而，
所以.
故选：A
3．A
【分析】将首项公比代入不等式中,根据即可得到公比的取值范围,进而判断数列的单调性；当是数列的最小值时,可能为常数列,此时不成立,根据充分必要条件的判断方法即可得出选项.
【详解】解:由题知,记等比数列公比是,
若成立,则有，即,
因为,,所以数列单调递增,
故有是数列的最小值,
故是数列有最小值为的充分条件.
当是等比数列的最小值时,
说明数列单调递增或为常数列,
当为常数列时,,
故不成立,
故是数列有最小值为的不必要条件.
综上:是数列有最小值为的充分不必要条件.
故选:A
4．D
【分析】根据等比数列的通项公式列式求解即可.
【详解】设比数列的公比为，
由题意可得：，解得或.
故选：D.
5．B
【分析】通过条件，，得到，
再利用条件得到，
进而得到不等关系：，从而得到的最大值.
【详解】由，，得到，
即，
当时，恒有，即，
所以，
由，得到，
所以，，
整理得到：，所以.
故选：B
6．C
【分析】设方程的四个根为，利用等差数列的性质求解.
【详解】解：设方程的四个根为，
则，，
又因为方程的四个根组成一个首项为的等差数列，
设，所以，
设等差数列的公差为，则，
解得，则等差数列为，
所以，
则，
故选：C
7．D
【分析】利用等比数列通项公式及已知可得q=2，再由得，最后应用基本不等式“1”的代换求目标式的最值，注意m、n为正整数及取最值条件，即可得答案.
【详解】设正项等比数列{an}的公比为q>0，且，
由题设，化简得，解得q=2或q= 1(舍去)，
因为，所以，则，解得，
，
当且仅当 时等号成立，又m、n为正整数，
所以均值不等式等号条件取不到，则，验证知：当时取最小值为.
故选：D
8．A
【详解】试题分析：设等差数列的公差为由得
所以选.
考点：等差数列的求和公式.
9．ABD
【分析】根据给定条件结合等差数列性质求出公差d，再逐项分析计算作答.
【详解】在等差数列中，，解得，而，则，B正确；
于是得公差，A正确；
，则，C不正确；，D正确.
故选：ABD
10．ABD
【分析】根据题意，由列举法分析可得数列是以6为最小正周期的数列，由此分析可得A正确，C错误，根据数列的递推公式分析可得B、D正确，综合可得答案．
【详解】解：根据题意，，，，，，，
，，，，，，，故数列是以6为最小正周期的数列，
依次分析选项：
对于A，，，故A正确；
对于B，，，故，B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，，则，，
，，
故，故D正确；
故选：ABD．
11．BD
【分析】对于AC：举反例分析判断；对于B：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D：根据等比数列定义分析判断.
【详解】对于选项A：例如，则，
可知数列是递增数列，但，故A错误；
对于选项B：因为，
若，，则，
可得，即，
所以数列是递减数列，故B正确；
对于选项C：例如，则，
即，故C错误；
对于选项D：因为是公比为的等比数列，则，
则，所以数列是以公比为的等比数列，故D正确；
故选：BD.
12．AC
【分析】根据等差数列，等比数列的前项和公式，逐个分析计算即可.
【详解】该数阵每行第一个数分别为，，…，归纳可得数阵第行第一个数为，故A正确；
第行第一个数为，最后一个数为，
所以第行数之和为，故B错误；
由A知，第行的第一个数为，故第行的最后一个数为，故C正确；
前行共有个数，
所以前行总和为，
，则，验证：
当时，，
当时，，故D错误．
故选：AC．
13．3
【分析】根据等差数列的前项和公式和通项公式求解.
【详解】设公差为，
因为，所以，即，
故答案为:3.
14．4046
【分析】利用等差数列求和公式及等差数列的性质计算得到答案.
【详解】.
故答案为：4046.
15．3
【分析】首先根据“等和数列”的定义找到数列的规律，即可得出答案.
【详解】根据“等和数列”的定义可知，数列的规律为
即奇数项为，偶数项为.
所以的值为.
故答案为：.
16．
【分析】根据“交替和”的定义：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数可求出“交替和”的总和、，并根据其结果猜测集合的每一个非空子集的“交替和”的总和即可．
【详解】由于，
当时；
根据前4项猜测集合，2，3，，的每一个非空子集的“交替和”的总和
故答案为：.
17．（1）（2），理由见解析
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，根据所选条件求出数列{an}的首项和公差，进一步求出{an}的通项公式；
（2）求得，运用数列的裂项相消求和求得，将与作差，通分化简可得大小．
【详解】设等差数列的公差为，则
，
.
方案一：选条件①
由，
解得，，
.
又
方案二：选条件②
由
解得，
同方案一
方案三：选条件③
由
解得，
同方案一
【点睛】规律方法点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．
18．(1)
(2)191
【分析】(1)根据等差数列的基本量的计算列出方程组，解之即可求解；
(2)由(1)知，，进而，两式相减，即可求解.
【详解】（1）设公差为d，
由题意得，
解得，∴．
（2），①
，②
②－①得，，
∵，∴．
∴
．
19．（1）；（2）；（3）证明见解析．
【分析】（1）由已知条件和对数的运算性质求解.
（2）借助第（1）问的结论和采用倒序相加法求解.
（3）借助第（2）问先求出数列的通项，对进行先放缩，再裂项求和.
【详解】（1）
（2）①
②
两式子相加得
所以.
（3）由（2）有：，
又，， 故.
另外的放缩方法：
当时
（从第4项开始放缩）
检验当、、时不等式成立．
【点睛】数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，常用放缩法来解决，这类问题的求解策略是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：⑴添加或舍去一些项，如：；；⑵将分子或分母放大（或缩小）；⑶利用基本不等式放缩，如：等．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到数列的奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，然后根据等差数列和等比数列的通项公式求即可；
（2）分为奇数和为偶数两种情况求和即可.
【详解】（1）当为奇数时，，所以数列的奇数项为等差数列，公差为2，
所以，
所以，为奇数，
当为偶数时，，所以数列的偶数项为等比数列，公比为2，
所以，
所以，为偶数，
所以.
（2）当为奇数时，前中有项奇数项，项偶数项，
所以，
当为偶数时，前中有项奇数项，项偶数项，
所以，
所以.
21．答案见解析
【分析】先分析公共项具有的规律特点，再对公共项进行求通项与求和运算即可得到答案．
【详解】设，，，
令，则，∴，．
公共项，，
令时，，令，则，
令，则，
所以最小公共项为，其是首项为8，公差为3的等差数列的第5项，
是首项为12，公差为4的等差数列的第3项，
∴其前100项的和．
22．(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）由题目条件可得，即可得是以为首项，公比为3的等比数列，代入公式即可求得通项公式和前项和；
（2）由利用等差中项性质即可得，即可得数列是，公差的等差数列，所以.
【详解】（1）由题意可知，，且
即可得，即
所以是首项为，公比为3的等比数列，
所以，即数列的通项公式为
由等比数列前项和公式可得;
（2）在中,令得，，又
由得：
两式相减得：
即
当时，由①可得：
可得对任意的都成立，
故是等差数列，首项是，公差是
从而，
所以数列的通项公式为

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