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14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式、多项式相乘
【知识重点】
知识点1 单项式与单项式相乘
1. 单项式乘单项式法则 一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2. 单项式与单项式相乘的步骤
(1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积；
(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里.
特别提醒
(1)单项式与单项式相乘的结果仍为单项式.
(2)单项式乘单项式法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用.
知识点2 单项式与多项式相乘
1. 单项式乘多项式法则
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即：用字母表示为m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.
2. 单项式与多项式相乘的几何解释
如图，大长方形的面积可以表示为p(a＋b＋c)，也可以视为三个小长方形的面积之和，所以大长方形的面积也可以表示为pa＋pb＋pc. 所以p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc.
警示误区
(1)单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同.
(2)单项式与多项式相乘时，要把单项式和多项式里的每一项都相乘，不要漏乘、多乘.
【经典例题】
【例1】计算：
(1)4xy2·；
(2)5x··(－2.25axy)·(－3x2y2)；
(3)5a3b·(－3b)2＋(－6ab)2·(－ab)－ab3·(－4a)2.
解题秘方：紧扣单项式乘单项式的法则，并按步骤进行计算.
【例2】计算：
(1)(－3x)(－2x2＋1)；(2)(3xy2－6xy－1)·xy.
解题秘方：用单项式乘多项式的法则进行计算.
【同步练习】
一、选择题
1．计算6x3·x2的结果是(　　)
A．6x　　　　B．6x5　　　　C．6x4　　　　D．6x3
2．化简(－3x2)·2x3的结果是(　　)
A．－3x5 B．18x5 C．－6x5 D．－18x5
3．计算(－3x)·(2x2－5x－1)的结果是(　　)
A．－6x2－15x2－3x B．－6x3＋15x2＋3x C．－6x3＋15x2 D．－6x3＋15x2－1
4．【2022·陕西】计算：2x·(－3x2y3)＝(　　)
A．－6x3y3 B．6x3y3 C．－6x2y3 D．18x3y3
5．【2023·北京八中月考】已知单项式3x2y3与－2xy2的积为mx3yn，那么m，n的值为(　　)
A．m＝－6，n＝6 B．m＝－6，n＝5 C．m＝1，n＝6 D．m＝1，n＝5
6．计算3ab2·5a2b的结果是(　　)
A．8a2b2　　　B．8a3b3 C．15a3b3 D．15a2b2
7．某同学家的住房结构如图所示，他家打算把卧室和客厅铺上地板，请你帮他算一算，至少需要地板的面积是(　　)
A．12xy B．10xy C．15xy D．6xy
8．下列运算中，正确的是(　　)
A．2x2y＋xy2＝3x3y3 B．2x2y·xy2＝2x3y3 C．(2x2y)3＝6x6y3 D．(xy2)2＝x2y2
9．【2023·天津中学月考】计算：－5xy(2y＋x－8)＝－10xy2－5x2y□，□内应填写(　　)
A．－10xy B．－5x2y C．＋40 D．＋40xy
10．下列计算正确的是( )
A．(－4x)(2x2＋3x－1)＝－8x3－12x2－4x
B．(6xy2－4x2y)·3xy＝6xy2－12x3y2
C．(－x)(2x＋x2－1)＝－x3－2x2＋1
D．(－3x2y)(－2xy＋3yz＋1)＝6x3y2－9x2y2z－3x2y
11．计算(－2a3＋3a2－4a)·(－5a5)的结果是(　　)
A．10a15－15a10＋20a5 B．－7a8－2a7－9a6
C．10a8＋15a7－20a6 D．10a8－15a7＋20a6
12．如果计算(2－nx＋3x2＋mx3)(－4x2)的结果不含x5项，那么m的值为(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．－
13．【2023·济南外国语学校模拟】a2(－a＋b－c)与－a(a2－ab＋ac)的关系是(　　)
A．相等 B．互为相反数 C．前式是后式的－a倍 D．前式是后式的a倍
二、填空题
14．计算：(－2a)(a3－1)＝ ．
15．式子2xy·(－2x2y2)(－3x3y)的结果是 ．
16．计算：(ab2－2ab)·ab＝ ．
17．计算：x·(－2x2)3＝ ．
18．M和N表示单项式，且3x(M－5x)＝6x2y3＋N，则M＝________，N＝________．
三、解答题
19．计算：
(1)(－7a3bx)·(4a5x2y3)；
(2)(－3x2)·(－x2＋2x－1)；
(3)【2022·梧州】3a＋2(a2－a)－2a·3a ；
(4)(5xy3－x3y2)·(－2x2)·(xy)；
(5)(x2y－xy－y3)(－4xy2)．
(6)3xy·；
(7)[xy(2x－y)－2x(xy－y2)]．
20．先化简，再求值：2x2y·(－2xy2)3＋(2xy)3·(－xy2)2，其中x＝4，y＝.
21．当|a＋b－1|＋(a－b－3)2＝0时，化简求值： 3a2(a3b2－2a)－4a(－a2b)2.
22．某同学在计算一个多项式乘－3x2时，因抄错符号，算成了加上－3x2，得到的答案是x2－0.5x＋1，那么正确的计算结果是多少？
23．设n为自然数，试说明n(2n＋1)－2n(n－1)的值一定是3的倍数．
24．两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为28，图中阴影部分的面积为20，求其中一个长方形的周长．
25．(1)当m，n为何值时，x[x(x＋m)＋nx(x＋1)＋m]的展开式中不含x2项和x3项？
(2)已知(m－x)·(－x)＋n(x＋m)＝x2＋5x－6对于任意数x都成立，求m(n－1)＋n(m＋1)的值．
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参考答案
【经典例题】
【例1】计算：
(1)4xy2·；
(2)5x··(－2.25axy)·(－3x2y2)；
(3)5a3b·(－3b)2＋(－6ab)2·(－ab)－ab3·(－4a)2.
解题秘方：紧扣单项式乘单项式的法则，并按步骤进行计算.
解：(1)4xy2· ＝·x1＋2y2＋1z＝－2x3y3z；
(2)5x··(－2.25axy)·(－3x2y2)
＝ a1＋1x1＋1＋1＋2y1＋2＝a2x5y3；
(3)解：5a3b·(－3b)2＋(－6ab)2·(－ab)－ab3·(－4a)2
=5a3b·9b2＋36a2b2·(－ab)－ab3·16a2
=45a3b3－36a3b3－16a3b3
=－7a3b3.
【例2】计算：
(1)(－3x)(－2x2＋1)；(2)(3xy2－6xy－1)·xy.
解题秘方：用单项式乘多项式的法则进行计算.
解：(1)(－3x)(－2x2＋1)＝(－3x)·(－2x2)＋(－3x)·1＝6x3－3x；
(2)(3xy2－6xy－1)·xy＝3xy2·xy＋(－6xy)·xy＋(－1)·xy
＝x2y3－2x2y2－xy.
【同步练习】
一、选择题
1．计算6x3·x2的结果是(　B　)
A．6x　　　　B．6x5　　　　C．6x4　　　　D．6x3
2．化简(－3x2)·2x3的结果是(　C　)
A．－3x5 B．18x5 C．－6x5 D．－18x5
3．计算(－3x)·(2x2－5x－1)的结果是(　B　)
A．－6x2－15x2－3x B．－6x3＋15x2＋3x C．－6x3＋15x2 D．－6x3＋15x2－1
4．【2022·陕西】计算：2x·(－3x2y3)＝(　A　)
A．－6x3y3 B．6x3y3 C．－6x2y3 D．18x3y3
5．【2023·北京八中月考】已知单项式3x2y3与－2xy2的积为mx3yn，那么m，n的值为(　B　)
A．m＝－6，n＝6 B．m＝－6，n＝5 C．m＝1，n＝6 D．m＝1，n＝5
6．计算3ab2·5a2b的结果是(　C　)
A．8a2b2　　　B．8a3b3 C．15a3b3 D．15a2b2
7．某同学家的住房结构如图所示，他家打算把卧室和客厅铺上地板，请你帮他算一算，至少需要地板的面积是(　A　)
A．12xy B．10xy C．15xy D．6xy
8．下列运算中，正确的是(　B　)
A．2x2y＋xy2＝3x3y3 B．2x2y·xy2＝2x3y3 C．(2x2y)3＝6x6y3 D．(xy2)2＝x2y2
9．【2023·天津中学月考】计算：－5xy(2y＋x－8)＝－10xy2－5x2y□，□内应填写(　D　)
A．－10xy B．－5x2y C．＋40 D．＋40xy
10．下列计算正确的是( D )
A．(－4x)(2x2＋3x－1)＝－8x3－12x2－4x
B．(6xy2－4x2y)·3xy＝6xy2－12x3y2
C．(－x)(2x＋x2－1)＝－x3－2x2＋1
D．(－3x2y)(－2xy＋3yz＋1)＝6x3y2－9x2y2z－3x2y
11．计算(－2a3＋3a2－4a)·(－5a5)的结果是(　D　)
A．10a15－15a10＋20a5 B．－7a8－2a7－9a6
C．10a8＋15a7－20a6 D．10a8－15a7＋20a6
12．如果计算(2－nx＋3x2＋mx3)(－4x2)的结果不含x5项，那么m的值为(　A　)
A．0 B．1 C．－1 D．－
13．【2023·济南外国语学校模拟】a2(－a＋b－c)与－a(a2－ab＋ac)的关系是(　A　)
A．相等 B．互为相反数 C．前式是后式的－a倍 D．前式是后式的a倍
二、填空题
14．计算：(－2a)(a3－1)＝ ．
【答案】－a4＋2a
15．式子2xy·(－2x2y2)(－3x3y)的结果是 ．
【答案】12x6y4
16．计算：(ab2－2ab)·ab＝ ．
【答案】a2b3－a2b2
17．计算：x·(－2x2)3＝ ．
【答案】－4x7
18．M和N表示单项式，且3x(M－5x)＝6x2y3＋N，则M＝________，N＝________．
【答案】2xy3 －15x2
三、解答题
19．计算：
(1)(－7a3bx)·(4a5x2y3)；
解：原式＝－28a8bx3y3；
(2)(－3x2)·(－x2＋2x－1)；
原式＝x4－6x3＋3x2；
(3)【2022·梧州】3a＋2(a2－a)－2a·3a ；
解：原式＝3a＋2a2－2a－6a2＝a－4a2；
(4)(5xy3－x3y2)·(－2x2)·(xy)；
原式＝－x4y4＋x6y3；
(5)(x2y－xy－y3)(－4xy2)．
原式＝－3x3y3＋2x2y3＋xy5.
(6)3xy·；
原式＝18x2y2－6xy(xy＋x2y)
＝18x2y2－6x2y2－3x3y2
＝12x2y2－3x3y2；
(7)[xy(2x－y)－2x(xy－y2)]．
原式＝x2y2(2x2y－xy2－2x2y＋2xy2)＝x2y2·xy2＝x3y4.
20．先化简，再求值：2x2y·(－2xy2)3＋(2xy)3·(－xy2)2，其中x＝4，y＝.
解：原式＝－2x2y·8x3y6＋8x3y3·x2y4＝－16x5y7＋8x5y7＝－8x5y7.当x＝4，y＝时，原式＝－.
21．当|a＋b－1|＋(a－b－3)2＝0时，化简求值： 3a2(a3b2－2a)－4a(－a2b)2.
解：由题意得，解得.原式＝3a5b2－6a3－4a(a4b2)＝3a5b2－6a3－4a5b2＝－6a3－a5b2，当a＝2，b＝－1时，原式＝－6×23－25×(－1)2＝－48－32＝－80.
22．某同学在计算一个多项式乘－3x2时，因抄错符号，算成了加上－3x2，得到的答案是x2－0.5x＋1，那么正确的计算结果是多少？
解：这个多项式是(x2－0.5x＋1)－(－3x2)＝4x2－0.5x＋1，
正确的计算结果为(4x2－0.5x＋1)·(－3x2)＝－12x4＋1.5x3－3x2.
23．设n为自然数，试说明n(2n＋1)－2n(n－1)的值一定是3的倍数．
解：n(2n＋1)－2n(n－1)＝2n2＋n－2n2＋2n＝3n，∵n是自然数，∴3n是3的倍数，即n(2n＋1)－2n(n－1)的值一定是3的倍数
24．两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为28，图中阴影部分的面积为20，求其中一个长方形的周长．
解：设长方形的长为a，宽为b(其中a>b>0)，则
20＝56－(a＋b)b－ab.
又ab＝28，解得b＝4，
则a＝28÷4＝7，
所以其中一个长方形的周长是(4＋7)×2＝22.
25．(1)当m，n为何值时，x[x(x＋m)＋nx(x＋1)＋m]的展开式中不含x2项和x3项？
解：x[x(x＋m)＋nx(x＋1)＋m]＝x(x2＋mx＋nx2＋nx＋m)
＝(1＋n)x3＋(m＋n)x2＋mx.
∵它不含x2项和x3项，∴1＋n＝0，m＋n＝0，
解得n＝－1，m＝1.故当m＝1，n＝－1时，
原式的展开式中不含x2项和x3项．
(2)已知(m－x)·(－x)＋n(x＋m)＝x2＋5x－6对于任意数x都成立，求m(n－1)＋n(m＋1)的值．
(m－x)·(－x)＋n(x＋m)＝－mx＋x2＋nx＋mn
＝x2＋(n－m)x＋mn＝x2＋5x－6，
则n－m＝5，mn＝－6.
故m(n－1)＋n(m＋1)＝2mn＋(n－m)
＝2×(－6)＋5＝－7.
【总结】利用单项式与多项式的乘法求待定字母的值的方法：
先利用单项式与多项式的乘法法则进行化简，然后按某一字母的升(降)幂进行排列，再利用对应项的系数相等列方程求解．

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