资源简介

10抛物线
【知识梳理】
一、抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
二、抛物线的标准方程和几何性质
标准方程 （） （） （） （）
的几何意义：焦点F到准线的距离
图形
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴 轴 轴
焦点坐标
准线方程
焦半径 （其中）
顶点坐标
离心率
通径长
三、求抛物线标准方程的方法
在学习抛物线及其标准方程时，如何利用已知的抛物线方程研究其性质，以及已知某些性质求抛物线的方程是考查的重点. 主要方法有定义法、待定系数法等.
（1）定义法
根据抛物线的定义，确定的值(系数 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程.（抛物线标准方程有四种形式，要注意选择.）
（2）待定系数法
①对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为和两种情况求解.
②焦点在x轴上的抛物线方程可设成，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；
若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个． 同理，焦点在y轴上的抛物线的方程可以设成.如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑x轴、y轴两种情况分别设方程,
四、直线与抛物线的位置关系
1. 将直线方程与抛物线方程联立组成方程组，消去一个未知数.
直线与抛物线无交点直线与抛物线相离；
直线与抛物线有1个交点直线与抛物线相切；
直线与抛物线有2个交点直线与抛物线相交.
直线与抛物线交于两点时，
弦长
2. 抛物线的焦点弦的性质
①焦点弦：当直线通过抛物线的焦点所得弦称为焦点弦.
②通径：当直线过抛物线的焦点且与对称轴垂直时所得的弦称为通径，其长度为.
③；
④
⑤
⑥以弦AB为直径的圆与准线相切.
【题型精讲】
题型一、抛物线的定义与方程
例1. 若点到点F（4,0）的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
例2. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
例3. 设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A是抛物线上一点，若，则点A的坐标是（ ）
A. B. C. D.
题型二、抛物线的焦半径公式
例4. 已知抛物线的焦点弦AB被焦点分成长度为m，n的两段，求证：.
例5. 过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若，则
题型三、抛物线的焦点弦与焦点三角形
例6. 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于两点，则，
例7. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，若线段AB中点的横坐标为3，且，则（ ）.
A. 8 B. 2 C. 6 D. 4
例8. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点（A在第一象限），O为坐标原点，若的面积为，则（ ）.
A. B. C. D.
例9. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点（A在第一象限），O为坐标原点，若，则的面积为（ ）.
A. B. C. D.
例10．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且经过．
(1)求的方程；
(2)若直线过的焦点，且与交于，两点，，求的方程．
题型四、直线与抛物线综合问题
例11 点P是以F为焦点的抛物线上的动点，则以P为圆心，以线段PF的长为半径的圆与直线的位置关系是（ ）
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 随点P的位置变化而变化
例12. 已知F是抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于两点，记直线FA，FB的斜率分别为，则
题型五、与抛物线有关在最值问题
例题13．已知抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上一个动点，点，则的最小值为______．

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