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4.3.1等比数列的概念（第一课时）
学习目标：
理解等比数列的概念和通项公式的意义，了解等比中项的概念.
能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，体会等比数列与指数函数的关系，并
解决相应的实际问题.
学习重点：等比数列的定义，等比数列的通项公式
学习难点：等比数列的通项公的推导过程，等比数列与指数函数的关系，以及解决相应
的实际问题
复习旧识
1.等差数列的概念是什么？
2.如何判断通过定义判断一个数列是等差数列？
书读百遍
要点1 等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它地前一项的 都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.
要点2 等比中项
定义：如果在与中间插入一个数，使，，成 ，那么叫做与
的等比中项.
关系：，即 .
要点3 等比数列的通项公式
等比数的通项公式： .
（2）公式的推广： .
要点4 等比数列与指数函数的关系
用函数思想理解等比数列的通项公式：
等比数列的通项公式可以改写成
当，且时，是一个指数函数，是一个不为0的常数与指数函数
的积，因此等比数列的图象是函数的图象上一系列离散的点.
等比数列的单调性：
①当，或时，等比数列为递增数列；
②当或时，等比数列为递减数列.
③当时，等比数列为常数列（这个常数列中各项均不为0）；
④当时，等比数列为摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，
但是奇数项与偶数项异号）
入木三分
（1）等比数列中是否有等于0的项？公比是否能为0？
（2）2和8的等比中项是4吗？
（3）是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
题型一 等比数列的概念
例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是写出它的公比.
（1）若；
（2）；
（3）.
（4）；
（5）
归纳：如果一个数列的各项符合关系式或，即该数列是等比数列，反之，该数列不是等比数列.
注意：等比数列中的任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论.
练习：已知数列为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是（ ）
题型二 等比中项
例2
①和的等比中项为 ；
②和的等比中项为 .
（2）在等比数列中，若，，则 .
归纳：
当同号时，的等比中项有两个；当异号时，没有等比中项.
在一个等比数列中，从第2项起，每一项都是它的前一项与后一项的等比中项.
练习：
已知数列中，，则的等比中项为 ；
（2）方程的两根的等比中项是 .
题型三 等比数列的通项公式
例3 在等比数列中，公比为.
若；
若；
若的值.
练习：已知等比数列，公比为.
若的值；
若
题型四 等比数列与函数的关系
例4 在等比数列中，如果公比，且，那么对于等比数列的单调性的说法正确的是（ ）
是递增数列 是递减数列 是常数列 无法确定的单调性
归纳：由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：当时，等比数列的各项的符号相同；当时，等比数列各项的符号正负交替.
练习：已知数列是等比数列，且公比大于0，则“”是“数列是递增数列”的 条件.

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