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第二章 自由落体运动
知识点一、自由落体运动
1.自由落体运动
（1）定义：物体从静止开始下落，只在重力作用下的运动。
（2）特点——条件
①运动特点：初速度等于零，加速度为g的匀加速直线运动。
②受力特点：只受重力作用。
（3）理解：自由落体运动是一种理想化模型
①这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力。（在地球上，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动。）
②当空气阻力远小于重力时，物体由静止开始的下落可看作自由落体运动。如在空气中自由下落的石块可看作自由落体运动，空气中羽毛的下落不能看作自由落体运动。
（4）运动性质：初速度0的匀加速直线运动。
知识点一、自由落体运动
（5）规律：自由落体运动是匀变速直线运动在v0＝0、a＝g时的一个特例。所以匀变速直线运动的基本公式以及推论都适用于自由落体运动。
①速度公式：v＝gt。
②位移公式：h＝12gt2。
③速度位移关系式：v2＝2gh。
（6）自由落体运动的推论
①连续相等的时间T内的位移 之差：Δx＝gT2。
②平均速度：。
③若从开始运动时刻计时，划分为连续相等的时间间隔T，则有如下比例关系：
ⅰ．T末、2T末、3T末……瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶……＝1∶2∶3∶……
ⅱ．T内、2T内、3T内 ……位移之比x1∶x2∶x3∶……＝1∶4∶9∶……
ⅲ．第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……＝1∶3∶5∶……
④若从运动起点（初位置）开始，划分为连续相等的位移x，则有如下比例关系：
ⅰ．连续相等的位移末的瞬时速度v1∶v2∶v3∶……＝1∶∶∶……
推证：由v2－v02＝2ax可直接得到。
ⅱ．通过连续相等的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶……＝1∶（－1）∶（－）∶……
知识点一、自由落体运动
2．自由落体加速度
（1）定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫自由落体加速度，也叫重力加速度，通常用g表示。通常情况下取g＝9.8m/s2或g＝10m/s2。
（2）自由落体加速度的方向
①方向竖直向下，不是垂直向下，也不是指向地球球心。
②由于地球是球体，各处重力加速度的方向并不相同。
（3）大小：与所处地球上的位置及距地面的高度有关。
①在地球表面会随纬度的增加而增大，在赤道处最小，在两极最大，但差别很小。
②在地面上的同一地点，随高度的增加而减小，但在一定的高度范围内，可认为重力加速度的大小不变。
知识点一、自由落体运动
课堂巩固
【例题1】一名航天员在某星球上完成自由落体运动实验，让一个质量为1 kg的小球从一定的高度自由下落，测得在第5 s内的位移是18 m，则（　　）
A小球在第2 s末的速度大小为20 m/s
B小球在第5 s内的平均速度大小是3 m/s
C该星球上的重力加速度大小为5 m/s2
D小球在5 s内的位移大小是50 m
【例题2】一枯井深80m，一石子从井口开始做自由落体运动（g=10m/s2），则（　　）
A石子下落的总时间为8s
B石子2s末的速度是80m/s
C石子前2s内的平均速度是15m/s
D石子最后1s内的位移为35m
知识点一、自由落体运动
例题解析
【例题1答案】D
【详解】ACD.自由落体运动第1s内，第2s内，第3s内，第4s内，第5s内位移之比为 设前5s的位移为x，则 解得 由匀变速的位移公式 解得重力加速度为 小球在2s末的速度为
故AC错误，D正确；
B.小球在第5s内的平均速度为 ，故B错误。
【例题2答案】D
【详解】A.石子做自由落体运动 带入数据解得石子下落的总时间为 故A错误
B.石子2s末的速度是 故B错误；
C.石子前2s内的平均速度是 故C错误；
D．石子3s内的位移为 石子最后1s内的位移为 故D正确。
知识点二、伽利略对自由落体运动的研究
1.亚里士多德的观点
物体下落的快慢是由它们的重量决定的，因此重的物体比轻的物体下落得快，这与我们平常观察到的现象相符。
2.伽利略的研究
（1）归谬∶伽利略从亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，认为重物与轻物应该下落得一样快，从而否定了亚里士多德的论断。
（2）猜想与假说：伽利略猜想自由落体运动是一种最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的，有两种可能性∶①速度v与时间t成正比;②速度v与位移x成正比。
（3）数学推理：伽利略通过数学推理得出对于初速度为零的匀变速直线运动应有. 因此，只要测出物体通过不同位移所用的时间，就可以检验这个物体的速度是否随时间均匀变化。
知识点二、伽利略对自由落体运动的研究
（4）实验验证——间接验证方法
为了克服自由落体运动中下落时间太短难以测量的困难，伽利略巧妙地采用了间接的验证方法，即先研究铜球在斜面上的运动（"冲淡"重力）.
①如图所示，让铜球沿阻力很小的斜面滚下。
②铜球通过的位移跟所用时间的平方之比是不变的，即
….换用不同质量的小球，结果都是相同的。
③结论∶铜球沿斜面做匀加速直线运动，且只要斜面倾角一定，铜球的加速度都是相同的，跟铜球的质量无关。
④不断增大斜面的倾角，重复上述实验，可知铜球的加速度随斜面倾角的增大而增大
（5）合理外推∶
当斜面倾角很大时、铜球的运动跟落体运动差不多，如果斜面倾角增大到90°，这时铜球的运动就是自由落体运动，铜球仍会保持匀加速直线运动的性质。
（6）伽利略的结论∶自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，而且所有物体下落时的加速度都是一样的。
知识点二、伽利略对自由落体运动的研究
课堂巩固
【例题3】（多选）伟大的物理学家伽利略的研究方法对于后来的科学家具有重大的启蒙作用，至今仍具有重要意义．下列哪些过程不是伽利略对物体下落规律的探究过程（　　）
A．猜想——问题——数学推理——实验验证——合理外推——得出结论
B．猜想——问题——实验验证——数学推理——合理外推——得出结论
C．问题——猜想——实验验证——数学推理——合理外推——得出结论
D．问题——猜想——数学推理——实验验证——合理外推——得出结论
【例题4】伽利略研究自由落体运动时做了“冲淡重力”的斜面实验，其实验的示意图如图所示，让小球分别沿倾角不同、阻力很小的相同斜面由静止开始滚下．下面关于他实验的观察和逻辑推理，正确的是（ ）
A．倾角一定时，小球在斜面上的位移与时间的关系为
B．倾角一定时，小球在斜面上的速度与时间的关系为
C．倾角越大，小球在斜面上运动的速度变化越慢
D．倾角越大，小球从斜面顶端运动到底端所需的时间越短
知识点二、伽利略对自由落体运动的研究
例题解析
【例题3答案】ABC
【详解】伽利略在研究物体下落规律时，首先是提出问题即对亚里士多德的观点提出疑问，然后进行了猜想即落体是一种最简单的变速运动，而最简单的变速运动就是速度变化是均匀的，接着进行了实验，伽利略对实验结果进行数学推理，然后进行合理的外推得出结论。故ABC错误。
【例题4答案】D
【详解】伽利略通过实验测定出小球沿斜面下滑的运动是匀加速直线运动，位移与时间的二次方成正比，并证明了速度随时间均匀变化，故AB错误；倾角越大，小球的加速度越大，小球在斜面上运动的速度变化越快，小球从斜面顶端运动到底端所需的时间越短，故C错误，D正确．所以D正确，ABC错误．
知识点三、重力加速度的三种测量方法
（1）打点计时器法
①按如图所示连接好实验装置，让重锤做自由落体运动，与重锤相连的纸带上便会被打点计时器打出一系列点迹。
②对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用hn－hn－1＝gT 2，求出重力加速度的大小。
（2）频闪照相法
①频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置。
②根据匀变速运动的推论Δh＝gT2可求出重力加速度g=。也可以根据 ，求出物体在某两个时刻的速度，由 ，也可求出重力加速度g
（3）滴水法
①让水滴一滴滴落到正下方的盘子里，调节阀门，直到清晰听到每一滴水滴撞击盘子的声音。
②记录下N滴水滴下落的总时间为T，则一滴水滴下落的时间t＝T/N。
③用米尺量出水龙头滴水处到盘子的距离为h，利用h＝ gt2计算出重力加速度的值。
知识点三、重力加速度的三种测量方法
课堂巩固
【例题5】小明同学设计了一个测定自由落体加速度的实验。如图所示，在一个敞口容器的底部插入一根细橡皮管，并装上一个夹子，在其下方地面上放一个金属盘子。调节夹子的松紧，使第1个水滴落入盘中发出响声的瞬间，第2个水滴正好从管口落下。以某次响声为“0”开始计数，待数到“100”时测得经过的时间为40s，再用米尺量出管口至盘子的高度为78.3cm。
（1）相邻的两滴水从管口落下的时间间隔为 s
（2）测得的重力加速度大小为g= m/s2。（计算结果保留三位有效数字）
【例题6】某同学用图甲所示装置研究自由落体运动，实验时打出一条较长的纸带，打点计时器在纸带上留下一串小点。他在该纸带上不同位置，截取了（a）（b）（c）（d）四段进行测量处理，每段纸带上有三个小点，这些小点按打点的先后顺序依次编号为0~11，测量结果如图所示，所用电源频率为50Hz。
（1）2、3两点之间被撕掉的纸带上有 个小点；
（2）打上面纸带的点“10”时，重锤的速度为 （保留2位小数）。
（3）若重锤、纸带和夹子的总质量为，当地重力加速度为，则重锤、纸带和夹子这个系统下落过程中受到的阻力约为 （保留2位有效数字）。
知识点三、重力加速度的三种测量方法
【例题5答案】 0.4 9.79
【详解】（1）[1]相邻的两滴水从管口落下的时间间隔为
（2）[2]由自由落体运动的规律可得 解得
例题解析
【答案】 1 2.73 0.050
【详解】（1）[1]根据纸带上的数据可知，相邻点迹之间的位移差约为 =1.37cm0.98cm=0.39cm由于2.15cm-1.37cm=0.78cm=2×0.39cm可知，2、3两点之间被撕掉的纸带上有1个小点。
（2）[2]匀变速直线运动中，全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则打上面纸带的点“10”时，重锤的速度为
（3）[3]根据 解得 根据牛顿第二定律有 解得
知识点四、竖直上抛运动
1．竖直上抛运动
（1）定义：物体以初速度v0竖直上抛后，只在重力作用下的运动。
（2）特点：
①初速度竖直向上；
②只受重力作用的匀变速直线运动；
③若以初速度方向为正方向，则a＝－g。
上升过程是初速度为v0、加速度为g的匀减速直线运动；下落过程为自由落体运动。全过程为匀变速直线运动，属于广义匀减速直线运动类型。
（3）规律：广义匀减速直线运动的规律就是竖直上抛运动的运动规律（a=g）。
①速度公式：v＝v0－gt；
②位移公式：h＝v0t－1/2gt2；
③平均速度公式：
④速度与位移的关系：v2－v02＝－2gh。
符号法则：应用公式时，要特别注意v0、v、h等矢量的正、负号，一般选向上为正方向，v0总是正值，上升过程中v为正值，下降过程中v为负值，物体在抛出点以上时h为正值，在抛出点以下时h为负值。
知识点四、竖直上抛运动
（4）竖直上抛运动的三种对称性
①时间的对称性：
ⅰ．物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等，即t上＝t下＝
ⅱ．物体在上升过程中某两点之间所用的时间与下降过程中该两点之间所用的时间相等。[来②速度的对称性：
ⅰ．物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点的速度大小相等、方向相反。
ⅱ．物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反。
③能量的对称性：竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等。
（5）竖直上抛的特征量
①上升的最大高度hm=
②上升到最大高度的上升时间和从最大高度落回抛出点的下降时间相等，即：t上=t下=
回到抛出点所用的时间t＝
③回到抛出点时的速度v＝－v0。
知识点四、竖直上抛运动
（6）竖直上抛运动的处理方法
①分段法：把竖直上抛运动分为匀减速上升运动和自由落体运动两个过程来研究。
上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。
②整体法：从整个过程看，利用匀减速直线运动来处理。
ⅰ．初速度为v0（设为正方向），加速度为a＝－g的匀变速直线运动；
ⅱ．v>0时，物体上升；v<0时，物体下降；
ⅲ．h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。
③巧用竖直上抛运动的对称性。
④竖直上抛运动的多解问题
由位移公式：h＝v0t gt2，可知对某一高度h：
ⅰ．当h＞0时，表示物体在抛出点的上方。此时t有两解：较小的t表示上抛物体第一次到达这一高度所用的时间；较大的t表示上抛物体落回此高度所用的时间。
知识点四、竖直上抛运动
ⅱ．当h＝0时，表示物体刚抛出或抛出后落回原处。此时t有两解：一解为零，表示刚要上抛这一时刻，另一解表示上抛后又落回抛出点所用的时间。
ⅲ．当h＜0时，表示物体抛出后落回抛出点后继续下落到抛出点下方的某一位置。此时t有两解：一解为正值，表示物体落到抛出点下方某处所用时间；另一解为负值，应舍去。
说明：竖直上抛运动有两个运动过程，解题时要考虑到这两个过程的对称性，而其运动方向有两个，因此要特别注意a、h的符号。
2．两个竖直上抛运动相遇问题的分析方法
竖直上抛运动作为匀变速直线运动的一个特例，既可看成全过程的匀减速运动，又可以分为上升过程的匀减速运动和下降过程的自由落体运动。对于两个以不同的初速度在同一直线上作竖直上抛运动的物体的相遇问题，其实质就是一个追赶问题，相遇的位置有可能出现在上升阶段或下降阶段，它取决于两个物体抛出时的初速度大小、两个物体抛出点的高度差及抛出的时间间隔。处理方法有利用运动时间分析法、利用位移分析法、巧选参考系法、图像分析法。
知识点四、竖直上抛运动
【例题7】一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点a的时间间隔为Ta，两次经过一个较高点b的时间间隔为Tb，则a、b之间的距离为（　　）
【例题8】“笛音雷”是春节期间常放的一种鞭炮，其着火后一段时间内的速度—时间图像如图所示（取竖直向上为正方向），其中t0时刻为“笛音雷”起飞时刻、DE段是斜率大小为重力加速度g的直线。不计空气阻力，则关于“笛音雷”的运动，下列说法正确的是（　　）
A．“笛音雷”在t2时刻上升至最高点
B．t3~t4时间内“笛音雷”做自由落体运动
C．t0~t1时间内“笛音雷”的平均速度为
D．t3~t4时间内“笛音雷”的加速度向下
课堂巩固
知识点四、竖直上抛运动
【例题7答案】A
【详解】小球做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到a点的时间为 物体从最高点自由下落到b点的时间为
竖直上抛运动的加速度 由匀变速直线运动的位移公式 ，可得最高点到a点的距离为 最高点到b点的距离为 a点在b点下方，则a、b之间的距离为
【例题8答案】D
【详解】A.由图可知，t0~t4时间内“笛音雷”的速度一直为正值，表明其速度方向始终向上，可知，“笛音雷”在t2时刻并没有上升至最高点，上升至最高点应该在t4时刻之后，故A错误；
B．t3~t4时间内“笛音雷”速度方向向上，图像斜率为一恒定的负值，表明t3~t4时间内“笛音雷”实际上是在向上做竖直上抛运动，其加速度就是重力加速度g，故B错误；
C．将A、B用直线连起来，该直线代表匀加速直线运动，其平均速度为 ，而AB线段与横轴所围的面积大于AB曲线与横轴所围的面积，该面积表示位移，根据 可知，直线代表的匀加速直线运动的平均速度大于AB曲线代表的变加速直线运动的平均速度，即t0~t1时间内“笛音雷”的平均速度小于 ，故C错误；根据上述，t3~t4时间内“笛音雷”做竖直上抛运动，加速度方向竖直向下，故D正确。
例题解析

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