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(共21张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
第5节 三角函数的应用
学习目标
1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；（重点）
2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角的问题.（难点）
情景引入
1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形.
2.直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理）；
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：
把∠A换成∠B同样适用.
我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.
那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？
三角函数的应用
1—
如图，海中有一个小岛A,该岛四周10n mile内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始时在A岛的南偏西55°，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁危险吗？
东
北
A
B
C
25°
55°
A
B
55°
C
25°
你是怎样想的？与同伴进行交流.
20海里
D
解: 过A点作BC的垂线AD，则AD的长即为货轮距离小岛的最短距离.若AD＞10海里，则货轮安全；反之则有触礁的危险.设AD=x.
x
Rt△ABD中,
Rt△ACD中,
∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25°
∴x= ≈20.79 海里
∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
1.运用锐角三角函数解决实际问题的方法：
(1)弄清题意，画出示意图；
(2)找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要解决的问题；
(3)寻找要求解的直角三角形，有时需要作适当的辅助线；
(4)选择合适的边角关系式，进行有关锐角三角函数的计算；
(5)按照题目要求的精确度确定答案，并注明单位，作答．
典例精析
例1.如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计).
D
A
B
C
┌
50m
300
600
设CD长为x米,则∠ADC=60 ,∠BDC=30 ,
解:如图,根据题意知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.求ＣＤ的长
在Rt△ADC中,tan60 =
在Rt△BDC中,tan30 =
∵AC-BC=AB
(
)
.
3
25
3
3
3
50
30
tan
60
tan
50
0
0
m
x
=
-
=
-
=
D
A
B
C
┌
50m
300
600
答:该塔约有 m高.
3
25
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？
65°
34°
P
B
C
A
议一议
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈80×0.91
=72.8
在Rt△BPC中，∠B＝34°
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
65°
34°
P
B
C
A
典例精析
例2.如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°,求山高．(结果保留根号)
解：在Rt△ABC中，
在Rt△ACD中，
∴BD＝BC－DC
总结
1.首先要弄清题意,结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论.
2.找出问题中有几个直角三角形,或通过作辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
3.方程思想、转化思想的运用.
典例精析
例3.如图，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且 AC＝17.2 m，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10 m，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳( 取1.73)．
(1)求楼房的高度约为多少米．
(2)过了一会儿，当α＝45°时，
请说明理由．
(1)当α＝60°时，在Rt△ABE中，
∵tan 60°＝
∴AB＝10·tan 60°＝10 ≈10×1.73=17.3(m)．
即楼房的高度约为17.3 m.
(2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳．
理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射
下的光线与地面AD的交点为点F，与射线CM的交点
为点H(如下图)．
解：
∵∠BFA＝45°，
∴tan 45°＝ ＝1，此时的影长AF＝AB≈17.3m．
∴CF＝AF－AC≈17.3－17.2＝0.1(m)．∴CH＝CF≈0.1 m．
∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，
∴小猫仍可以晒到太阳。
随堂练习
1.如图，一条斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这条斜坡的坡度是（ ）
A. B. C. D.
120 m
2.如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是(　　)
A．5sin 36°米
B．5cos 36°米
C．5tan 36°米
D．10tan 36°米
3.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________.
课堂总结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案．

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