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2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2.1解直角三角形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，，则BC的长为（　　）
A．3 B．2 C． D．
2．如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC，若BD＝1，，则sin∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别是边BC和AB上的点，DE⊥AB，，AC＝8，CD＝2，则DE的长为（　　）
A．4.8 B．4.5 C．4 D．3.2
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，则tan∠BCE的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，cos∠ABD＝，则△BCD的面积为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
6．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C分别是小正方形的三个顶点，则sin∠BAC的值为（　　）
A． B． C．1 D．
7．如图，在一个8×8的正方形网格中有一个△ABC，其顶点均在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在对角线互相垂直的四边形ABCD中，∠ACD＝60°，∠ABD＝45度．A到CD距离为6，D到AB距离为4，则四边形ABCD面积等于（　　）
A．6 B．12 C．8 D．16
二．填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为 　 　．
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥CD，点E在AC上，连接DE，DE＝AC，DE∥BC，CD＝4，tan∠ABC＝2，则边AB的长为 　 　．
11．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，BC＝4，则△ABC的面积为 　 　．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，若BC＝4，AC＝10，则∠CBD的正切值为 　 　．
13．如图，已知∠ABC＝90°，∠C＝30°，∠EAB＝150°，DC＝AE．若AB＝1，DB＝3，则DE的长为 　 　．
三．解答题
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝9，sinB＝，点E在边AC上，且AE＝2EC，过点E作DE∥BC交边AB于点D，∠ACB的平分线CF交线段DE于点F，求DF的长．
15．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AB＝13，BC＝5．
求：sin∠ACD及AD的长．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，连接BE，已知DE＝2．
（1）若，求AB的长度；
（2）若∠C＝30°，求sin∠BEA．
17．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝．D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值．
19．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，点E、F分别是AB、AC的中点，过点C作CD∥AB交EF的延长线于点D，联结AD．
（1）求∠B的正弦值；
（2）求线段AD的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝，点D、E分别在边AB、BC上，满足∠CDE＝∠B．点F是DE延长线上一点，且∠ECF＝∠ACD．
（1）当点D是AB的中点时，求tan∠BCD的值；
（2）如果AD＝3，求的值；
（3）如果△BDE是等腰三角形，求CF的长．
参考答案
一．选择题
1．解：在Rt△ABC中，
∵tanA＝＝，
∴AC＝BC．
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（BC）2+BC2＝42．
∴BC2＝12．
∴BC＝2．
故选：D．
2．解：如图，过点B作BE⊥AC于E，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴sin∠BAD＝＝＝，
∴AB＝3，
∴AC＝AB＝3，
由勾股定理得，AD＝＝＝2，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD＝2，
由S△ABC＝BC AD＝AC BE得，
BE＝＝＝，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故选：B．
3．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
∴sinB＝＝＝，
解得AB＝10，
∴BC＝＝＝6，
∵CD＝2，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵DE⊥AB，
∴sinB＝＝＝，
解得DE＝3.2．
故选：D．
4．解：∵CE是AB边上的中线，CE＝5，
∴AE＝BE＝5，AB＝10，
∴∠BCE＝∠EBC，
∵AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝7，DE＝AE﹣AD＝2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CD＝＝＝，
∴tan∠BCE＝tan∠EBC＝＝．
故选：B．
5．解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，
∵对角线BD平分∠ABC，cos∠ABD＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴cos∠CBD＝，
∵∠A＝90°，AB＝4，
∴cos∠ABD＝，
解得：BD＝5，
∵cos∠CBD＝，
∴BE＝4，
∴DE＝，
∴S△BCD＝．
故选：A．
6．解：连接BC，如图：
∵每个小正方形的边长均为1，
∴AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故选：B．
7．解：连接BD，如图所示：
∵CD＝＝，BD＝＝2，BC＝＝5，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，∠BDC＝90°，
∴cos∠ACB＝＝；
故选：B．
8．解：分别过点A和D作CD和AB边上的高AE，DF.
在Rt△ACE中，∠ACD＝60°，AE＝6，
∴AC＝＝＝4．
在Rt△BDF中，∠ABD＝45°，DF＝4，
∴BD＝＝＝4．
∴S＝ BD AO+ BD CO＝ BD （AO+OC）＝AC×BD＝8．
故选：C．
二．填空题
9．解：设C（a，0），
∴OC＝a，
∵点A（1，0），点B（0，﹣3），
∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，
在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，
∴∠OBA＝∠ABC，
过C点作CD∥y轴交BA的延长线于点D，
∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，
∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，
∴，CD＝BC，
∴，
∴，
解得a＝0（舍去）或a＝，
∴C（，0），
故答案为：（，0）．
10．解：过点A作AF⊥BC交BC于点F，
∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠ACF，
在△DCE和△AFC中，
，
∴△DCE≌△AFC（AAS），
∴AF＝CD＝4，
∵tan∠ABC＝2，
∴＝2，
∴BF＝2，
∴AB＝＝2．
故答案为：2．
11．解：如图所示：∠A为钝角时，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，
∵AB＝3，∠B＝30°，
∴AD＝．
∴S△ABC＝BC×AD＝3．
故答案为：3．
12．解：∵DE垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
设DB＝DA＝x，
在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2，
∴x2＝42+（10﹣x）2，
∴x＝，
∴DB＝DA＝，
∴CD＝AC﹣DA＝10﹣＝，
∴tan∠CBD＝＝＝．
故答案为：．
13．解：过点E作EF∥CD交BA延长线于点F，过点E作EG⊥CD于点G，如图，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝∠F＝∠FEB＝∠EGB＝90°，
∴四边形FEGB为矩形，
∴BF＝EG，BG＝EF，
∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1，
∴AC＝2AB＝2，
∴BC＝＝＝，
∵DC＝AE，DB＝3，
∴AE＝CD＝BD+BC＝3+，
∵∠EAB＝150°，
∴∠EAF＝180°﹣∠EAB＝30°，
∴EF＝＝，
∴BG＝EF＝，
∴DG＝BD﹣BG＝＝，
∴AF＝AE cos30°＝＝，
∴EG＝BF＝AF+AB＝，
在Rt△EGD中，由勾股定理得＝＝．
三．解答题
14．解：∵∠BAC＝90°，BC＝9，sinB＝，sinB＝，
∴＝，
解得AC＝6，
∵AE＝2EC，AE＝2EC，
∴AE＝4，EC＝2，
∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE，∠EFC＝∠BCF，
∵sinB＝，AE＝4，
∴DE＝6，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC＝2，
∴DF＝DE﹣EF＝6﹣2＝4．
15．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC＝＝12，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sinB＝＝＝，
∴AD＝，
答：sin∠ACD＝，AD＝．
16．解：过B作BF⊥AC于F，过D作DH⊥BF，
∴∠BFC＝∠ABC＝90°，DH∥AC，
∴DE∥BF，
∵点D为BC的中点，
∴E平分CF，H平分BF，
∵DE⊥AC于点E，
∴△CDE∽△DBH（AAS），四边形DEHF为矩形，
∴BH＝DE＝FH＝2，
∴BF＝4；
（1）∵，
∴CE＝4，
∴EF＝BF＝4，
AF＝2，
∴AB＝2；
（2）∵∠C＝30°，
∴CD＝4，CE＝2，
∴DH＝CE＝EF＝2，
∴BE＝＝＝2，
∴sin∠BEA＝＝＝．
17．解：
过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝，
∴BD＝CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+，
答：AB的长是3+．
18．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝，
∴＝，
∴AB＝10，
∴BC＝＝8，
又∵D为AB中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝5，
∴∠DCB＝∠B，
∴cos∠DCB＝，cos∠B＝，
∴，
∴CE＝；
（2）作EF⊥AB交AB于F，
由（1）知CE＝，
则BE＝8﹣＝，DE＝＝，
设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x，
在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝，
∴﹣（5﹣x）2＝﹣x2，
解得x＝，
∴EF2＝（）2﹣（）2＝，
EF＝，
∴sin∠BDE＝＝．
19．解：（1）如图，过A点作AM⊥BC于M，交EF于N．
∵AB＝AC＝6，BC＝4，
∴BM＝MC＝BC＝2，
∴AM＝＝＝4，
∴sinB＝＝＝；
（2）∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE＝AB＝AC＝AF＝3，EF∥BC，EF＝BC＝2，
∵AM⊥BC，
∴AM⊥EF，即AN⊥EF，
∴EN＝NF＝EF＝1，
∴AN2＝AE2﹣EN2＝32﹣12＝8．
∵CD∥AB，EF∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE＝BC＝4，
∴DN＝DE﹣EN＝4﹣1＝3，
∴AD＝＝＝．
故线段AD的长为．
20．解：（1）过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，如图，
∵AB＝AC＝10，
∴BG＝GC，
∵sinB＝，sinB＝，
∴AG＝6．
∴BG＝＝＝8．
∴CG＝BG＝8．
∵AG⊥BC，DH⊥BC，
∴AG∥DH，
∵D是AB的中点，
∴DH是△ABG的中位线，
∴DH＝HG＝BG＝4，DH＝AG＝3，
∴CH＝CG+GH＝12．
在Rt△CDH中，
tan∠BCD＝；
（2）∵∠ECF＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCF．
∵∠B＝∠CDE，
∴△ABC∽△FCD，
∴∠BAC＝∠F．
∵AB＝AC，
∴FD＝FC．
∵∠BAC＝∠F，∠ACD＝∠FCE，
∴△ACD∽△FCE，
∴．
∵AB＝10，AD＝3，
∴，
∵DE+EF＝FC，
∴；
（3）如果△BDE是等腰三角形，
①当BD＝DE时，
则∠B＝∠DEB．
∵∠CDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠DEB，
∴CD∥BC，这与已知条件不符，
∴此种情况不存在；
②当ED＝BE时，
则∠B＝∠EDB，
∵∠CDE＝∠B，
∴∠CDB＝2∠B，
∴∠CDA＝180°﹣2∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣2∠B，
∴∠A＝∠CDA，
∵∠A为钝角，
∴此种情况不存在；
③当BD＝BE时，
过点E作EK⊥AB于点K，如图，
由题意得：sinB＝，
∴，
∴EK＝BE＝BD，
∴BK＝BD，
∴DK＝BD．
∴DE＝＝BD．
∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
∴，
∴CD＝．
由（1）知：△ABC∽△FCD，
∴，
∴．
∴CF＝2．

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