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抛体运动规律
高中物理
PART ONE
平抛运动的速度
PART ONE：平抛运动的速度
1.水平分速度∶vx=v0
2.竖直分速度∶vy= gt
3.t时刻平抛物体的速度大小
vt= ; 方向: tanα= ，
α为速度方向与水平方向的夹角。
PART ONE：平抛运动的速度
4.平抛运动速度的改变量
平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。水平方向分速变保持vx=v0不变，竖直方向加速度恒为g，速度vy=gt。从抛出点起，每隔 △t 时间，速度的矢量关
系如图5-4-1所示。这一矢量关系有两个特点∶
（1）任意时刻速度的水平分量均等于初速度 v0
（2）任意相等时间间隔 △t 内的速度改变量均竖直向
下，且 △v= △vy=g△t。
因为平抛运动中加速度恒为g，所以在任意相等时间
间隔△t内的速度变化量都相等，且方向竖直向下。
PART ONE：平抛运动的速度
【误区警示】由tanα= 知，速度与水平方向的夹角随时间t的增大而增大，但一定不会达到90°。因为水平方向上是匀速直线运动，水平分速度不变，合速度也就不可能沿竖直方向。
PART ONE：平抛运动的速度
针对训练
1.平抛一小球，当抛出1s后它的速度方向与水平方向的夹角为α=45°，落地时速度方向与水平方向成β=60°角，g取 10 m/s ，求∶
（1）初速度大小;
（2）落地速度大小;
（3）抛出点离地面的高度。
（1）v0=10m/s
（2）v=20m/s
（3）h=15m
PART TWO
平抛物体的位移与轨迹
PART TWO：平抛物体的位移与轨迹
1.水平分位移 x = v0t
2.竖直分位移 y =1/2 gt2
3.t时间内合位移的大小和方向
位移大小∶s= ；位移方向∶
θ为合位移与水平方向的夹角。
PART TWO：平抛物体的位移与轨迹
4.轨迹方程
平抛物体在任意时刻的位置坐标x和y所满足的方程，叫轨迹方程。由x=v0t和y=1/2 gt2 消去t可得y= ，所以平抛运动的轨迹是一条抛物线。
【误区警示】请注意区别平抛运动的速度偏向角与位移偏向角各自的含义，且恒有前者大于后者。
PART TWO：平抛物体的位移与轨迹
针对训练
例2：为了探究一玩具手枪射出子弹的初速度，
某校课外实验小组设计如下实验∶让子弹从距离
塑料泡沫墙3.6 m处水平射出, 测出子弹嵌入墙
的速度方向与竖直墙成 45°角，如图5-4-7 所示。
g取10m/s 。求∶
（1）子弹射出的初速度v0
（2）子弹出射点到嵌入点的位移大小及方向。
v0=6m/s
s= m，位移与水平方向的夹角θ=arctan1/2，斜向右下方
PART THREE
一般的抛体运动
PART THREE：一般的抛体运动
条件：1.只受重力作用；
2.v0≠0且既不水平也不竖直
规律：
速度：水平方向上：vx=v0cosθ(θ为初速度与水平方向夹角)竖直方向上：vy=v0sinθ-gt（或vy=v0sinθ+gt）
位移：水平方向上：x=v0cosθ·t
竖直方向上：y=v0sinθ·t- gt2（或y=v0sinθ·t+ gt2）
特点（以斜上抛为例）：
轨迹：抛物线，
位移： ， ，x=scosβ，y=ssinβ
速度：① ，
②速率先减小后增大, 在最高点速率最小,速度水平，
vmin=vx=v0cosθ
射程： ，θ=45°时射程最大
射高：
时间：到最高点时间
对称性：①轨迹关于最高点竖直对称; ②同一高度速率相等;
③从某点到最高点时间与从最高点下降至该高度的时间相等
注∶β为合位移与x方向的夹角, α为合速度与x方向的夹角
PART THREE：一般的抛体运动
针对训练
例3.如图5-4-8所示，从水平地面上的A点，以速度v1在竖直平面内抛出一小球，v1与地面成θ角。小球恰好以v2的速度水平打在墙上的 B点，不计空气阻力，则下面说法中正确的是（ ）
A.在A点，仅改变θ角的大小，小球仍可能水平打在墙上的 B点
B.在A点，以大小等于 v2的速度朝墙抛出小球，
它也可能水平打在墙上的 B点
C.在B点以大小为v1的速度水平向左抛出小球，
则它可能落在地面上的A点
D.在B点水平向左抛出小球，让它落回地面上的
A点，则抛出的速度大小一定等于v2
D
PART THREE：一般的抛体运动
针对训练
变式1：（多选）如图5-4-9 所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则（ ）
A. B的加速度比A的大
B.B的飞行时间比A的长
C.B在最高点的速度比A在最高点的大
D.B落地时的速度比A落地时的大
C D
PART FOUR
平抛运动的几个有用的结论
（1）运动时间∶t= ，即平抛物体在空中的飞行时间仅取决于下落的高度，与初速度v0无关。
PART FOUR：平抛运动的几个有用的结论
（2）落地的水平距离x= ，即水平距离与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关。
（3）落地速度 ，即落地速度也只与初速度v0和下落高度有关。
（4）平抛物体的运动中，任意两个时刻的
速度变化量 △v=g·△t，方向恒为竖直向下，
且 v0、△v、vt三个速度矢量构成的三角形
一定是直角三角形。如图 5-4-2所示。
（5）平抛运动中两个重要的推论
如图5-4-3 所示，物体从O点水平抛出，经历时间t，运动到P处，速度与水平方向的夹角为α，则有tanα= ，
位移OP与水平方向的夹角为θ，则有 ，
所以tanα=2 tanθ，即 ，得AO =2AO'，
即 O'是AO 中点。于是得到如下推论∶
①平抛运动中, 某一时刻速度与水平方向
夹角的正切值是位移与水平方向夹角的
正切值的 2 倍。
②平抛运动中，某一时刻速度的反向延长线与x轴的交点为水平位移的中点。
PART FOUR：平抛运动的几个有用的结论
针对训练
例4： 图5-4-10为一物体做平抛运动的轨
迹，物体从O点抛出，x0、y0分别为其水
平和竖直位移。在物体运动过程中的任一
点P（x0，y0），物体速度v的反向延长线交x轴于A 点（A 点未画出）。则 OA 的长度为（ ）
A. x0 B. 0.5x0 C. 0.3x0 D. 不能确定
B
PART FOUR：平抛运动的几个有用的结论
PART FIVE
斜面约束下的平抛运动
PART FIVE：斜面约束下的平抛运动
1.模型概述
平抛运动与斜面相结合的模型，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况∶
（1）物体从空中抛出落在斜面上;
（2）物体从斜面上抛出落在斜面上。
解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决。
PART FIVE：斜面约束下的平抛运动
2.模型特点
方法 内容 实例 总结
斜面 求小球平抛运动的时间 分解速度 水平速度vx=v0，竖直速度 vy=gt，合速度 ， 特点∶tanθ= 如图，vy=gt，tanθ= ， 故t= 分解速度，构建速度
三角形
分解位移 水平位移x=v0t 竖直位移y= 合位移 特点： 如图， x=v0t， ， 而， 联立得 分解位移，构建位移
三角形
PART FIVE：斜面约束下的平抛运动
3.计算平抛运动的时间应注意约束条件
如图所示，分析图中三种情况下平抛运动的时间∶
（1）图甲中， ，这种情况下飞行时间取决
于物体下落的高度；
（2）图乙中， ，这种情况下飞行时间
取决于初速度v0及斜面倾角；
（3）图丙中， ，这种情况下飞行时间取决
于抛出点到竖直墙的距离及v0。
PART FIVE：斜面约束下的平抛运动
规律：物体从斜面上被平抛并落回斜面的运动具有如下规律∶
①位移偏向角等于斜面倾角;
②从同一斜面上同一点以不同速度平抛的物体，若均能落在斜面上，则落至斜面上的瞬时速度大小不相等，但方向彼此平行，与初速度大小无关;
③落回斜面所经历的运动总时间与初速度大小成正比;
④落回斜面上时的水平位移、竖直位移、合位移均与初速度的二次方成正比。
PART FIVE：斜面约束下的平抛运动
针对训练
例2-1：一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图 5-4-12 中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（ ）
A.tanθ B.2tanθ C. D.
D
PART FIVE：斜面约束下的平抛运动
针对训练
例2-2.如图5-4-13所示，AB为斜面，倾角为30°，小球从Ａ点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点。
（1）求A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；
（2）从抛出开始，经过多长时间小
球与斜面间的距离最大？
PART SIX
类平抛运动
PART SIX：类平抛运动
1.类平抛运动的特点及处理方法
受力特点 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直
运动特点 在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a=F合/m
处理方法 常规分解 将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力的方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立、互不影响，且与合运动具有等时性
特殊分解 对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解
PART SIX：类平抛运动
2.类平抛运动问题的求解思路
根据物体受力特点和运动特点判断出该问题属于类平抛运动问题
求出物体运动的加速度
根据具体问题选择常规分解还是特殊分解法
PART SIX：类平抛运动
针对训练
例3： 如图5-4-16 所示，光滑斜面长为L=10 m，倾角为 30°，一小球从斜面的顶端以 v0=10 m/s的初速度水平射入，求∶（g取 10 m/s2)
（1）小球沿斜面运动到底端时的水平位移x;
（2）小球到达斜面底端时的速度大小。
PART SEVEN
平抛运动中的临界与极值问题
PART SEVEN：平抛运动中的临界与极值问题
体育运动中一般的球类运动都忽略空气阻力，球类的平抛运动可按照平抛运动规律分析解答。球类的平抛问题可能涉及斜抛运动及其对称性。解答此类题的策略是∶根据题述，应用平抛运动规律及其对称性、几何关系列方程解答。
PART SEVEN：平抛运动中的临界与极值问题
针对训练
【例题】乒乓球在我国有广泛的群众基础, 并有"国球"的美誉, 现讨论乒乓球发球问题。已知球台长为L、网高为h, 若球在球台边缘O点正上方某高度处, 以一定的速度水平发出, 如图5- 4-5 所示, 球恰好在最高点时越过球网。假设乒乓球反弹前后水平分速度不变, 竖直分速度大小不变、方向相反, 且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。则根据以上信息不可以求出(设重力加速度为g)（ ）
A.球的初速度大小 B.发球时的高度
C.球从发出到第一次落在球台上的时间
D.球从发出到被对方运动员接住的时间
D
PART SEVEN：平抛运动中的临界与极值问题
针对训练
例4： 如图5-4-17所示，水平房顶高H=5m，墙高h=3.2m，墙到房子的距离l=3 m，墙外马路宽d=10m。欲使小球落在墙外的马路上，求小球
离开房顶时的速度 v0应满足什么条件
（墙厚不计，取g=10 m/s ）
5m/s≤v0≤13m/s
PART EIGHT
易错防范+真题探索
PART EIGHT：易错防范+真题探索
易错1：平抛运动性质理解失准而致错
例1 ：（多选）将一个物体从h高处以水平初速度v0抛出，物体落地时的速度为v，竖直分速度为vy，下列公式能用来表示该物体在空中运动时间的是（ ）
A C D
PART EIGHT：易错防范+真题探索
易错 2 对平抛运动规律理解不深而致错
例2:如图5-4-19所示, 两层台阶的高度分别为h1=1.25 m, h2=1.95m，第一层台阶的宽度为l=1.5 m。
现以v0=2 m/s的初速度从台阶最上层的 A
处水平抛出一个小球，取 g=10 m/s ，
问小球第一次着地处距A的水平距离是多少
x=1m
PART EIGHT：易错防范+真题探索
题型1平抛运动规律的应用
例1（2017·全国卷Ⅰ·物理观念，科学思维）发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网;其原因是（ ）
A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
C
PART EIGHT：易错防范+真题探索
题型 2 平抛运动与斜面的结合
例2（2018·全国卷Ⅲ·科学思维）在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v0和v0/2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的（ ）
A.2倍 B.4 倍 C.6 倍 D.8 倍
A
PART EIGHT：易错防范+真题探索
题型3 平抛运动的临界与极值问题
例3（经典· 全国卷1·科学思维）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图5-4-21 所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（ ）
D
PART NINE
课后练习
PART NINE：课后练习
1（能力点1）在某高度处平抛一物体, 当抛出2s后它的速度方向与水平方向成45°角, 落地时的速度方向与水平方向成60°角, g取 10 m/s , 下列说法正确的是（ ）
A.物体的水平射程为40 m B.物体的初速度为15 m/s
C.物体的落地速度为25 m/s D.物体的飞行时间为2 s
D
PART NINE：课后练习
2（多选）如图5-4-22 所示，某人向放在水平地面上的垃圾桶中水平扔废纸球，结果恰好从桶的右侧边缘飞到地面，不计空气阻力，为了能把废纸球扔进垃圾桶中，此人水平抛纸球时，可以做出的调整为（ ）
A.初速度大小保持不变，抛出点在原位置正上方
B.初速度大小保持不变，抛出点在原位置正下方
C.减小初速度，抛出点位置保持不变
D.增大初速度，抛出点在原位置正上方
B C
PART NINE：课后练习
3（2020·深圳模拟·知识点2）一架飞机水平匀速飞行。从飞机上每隔1s释放一个铁球，先后共释放4 个。若不计空气阻力，从地面上观察4个球（ ）
A.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的
C.在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落点是等距的
D.在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落点是不等距的
C
PART NINE：课后练习
4（2020·银川模拟·知识点 1）"套圈圈"是小孩和大人都喜爱的一种游戏。假设某小孩和大人直立在界外，在同一条竖直线上的不同高度分别水平抛出圆环，并恰好套中前方同一物体。设圆环的运动可以视为平抛运动，则（ ）
A.大人抛出的圆环运动的时间较短
B.大人应以较小的速度抛出圆环
C.小孩抛出的圆环发生的位移较大
D.小孩抛出的圆环单位时间内速度的变化量较小
B
PART NINE：课后练习
5（2020·兰州检测·知识点 1）（多选）在交通事故中，测定碰撞瞬间汽车的速度对于事故责任的认定具有重要的作用，《中国汽车驾驶员》杂志曾给出一个算碰撞瞬间车辆速度的公式∶ ，式中△L是被水平抛出的散落在事故现场路面上的两物体A、B沿公路方向上的水平距离之差，h1、h2分别是散落物A、B在车上时的离地高度。只要用米尺测量出事故现场的 △L、h1、h2三个量，根据上述公式就能估算出碰撞瞬间车辆的速度，则下列叙述正确的是（ ）
A.A、B落地时间相同
B.A、B落地时间差与车辆速度无关
C.A、B落地时间差与车辆速度成正比
D.A、B落地时间差和车辆碰撞瞬间速度的乘积等于△L
B D
PART NINE：课后练习
6（2020· 郑州期末· 知识点 2）（多选）一位运动员在进行射击比赛时，子弹水平射出后击中目标。当子弹在飞行过程中速度平行于抛出点与目标的连线时，大小为v，不考虑空气阻力，已知连线与水平面的夹角为θ，则子弹（ ）
A.初速度 v0 = vcosθ B.飞行时间
C.飞行的水平距离 D.飞行的竖直距离
A C
PART NINE：课后练习
7（2020·北京四校联考·知识点 1）如图5-4-24 所示, 某同学为了找出平抛运动的物体初速度之间的关系, 用一个小球在 O点对准前方的一块竖直放置的挡板, O与 A在同一高度, 小球的水平初速度分别是v1、v2、v3, 不计空气阻力, 打在挡板上的位置分别是 B、C、D, 且 AB∶ BC∶CD=1∶3∶5,
则v1、v2、v3之间的关系正确的是（ ）
A.v1：v2：v3=3 :2:1 B.v1：v2：v3 =5:3:1
C.v1：v2：v3=6: 3:2 D.v1：v2：v3=9:4:1
C
PART NINE：课后练习
8（2017 ·浙江 4 月选考·能力点1）如图5-4-25 中给出某一游戏的示意图，安装在轨道 AB上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B点的正上方。竖直面内的半圆弧 BCD的半径 R= 2.0m，直径 BD水平且与轨道AB处在同一竖直平面内，小孔 P和圆心O连线与水平方向夹角为37°。游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔 P才能进入下一关。为了能通关，弹射器离 B点的高度和弹丸射出的初速度分别是（不计空气阻力，
g 取 10 m/s ，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）（ ）
A.0.15 m，4 m/s B.1.50 m，4 m/s
C.0.15 m，2 m/s D.1.50 m，2 m/s
A
PART NINE：课后练习
9（2020·杭州模拟·知识点2）如图5-4-26 所示为探究平抛运动规律的一种方法，用两束光分别沿着与坐标轴平行的方向照射物体，在两坐标轴上留下了物体的两个"影子"，O 点作为计时起点，物体运动规律为x=3t，y=t+5t2（式中物理量的单位均为国际单位制单位），物体经1s到达 A 点（g 取 10 m/s ）。下列说法正确的是（ ）
A.O点为物体做平抛运动的起点
B.物体运动轨迹方程为
C.物体在A点的速度大小为4 m/s
D.O、A两点间距离为3 m
B
PART NINE：课后练习
10（2020· 泉州期中· 能力点 4）（多选）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中"山西刀削面"堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图 5-4-27所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为 L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是（ ）
A.运动的时间都相同
B.速度的变化量都相同
C.落入锅中时, 最大速度是最小速度的3倍
D.若初速度为v0，则
A B D
PART NINE：课后练习
11（2020·武汉调考·能力点 2）如图5-4-28甲所示，水平地面上有一个底端固定、倾角α可调的斜面，右侧在D点与一个水平平台相接。固定在平台上的弹射装置可以将小球（可视为质点）以不同水平初速度v0弹出，改变斜面倾角α使小球每次均垂直落到斜面上， 图线如图乙所示，重力加速度g取 10 m/s ，则平台高度 H为（ ）
A.0.5m B.1m C.1.5m D.2m
D
PART NINE：课后练习
12（2020·长沙模拟·能力点 2）如图5-4-29 所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α=53°的斜面顶端，并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h=0.8 m，则小球水平抛出
的初速度v0和斜面与平台边缘的水平
距离x各为多少 （sin 53°=0.8，
cos 53°=0.6，g 取 10 m/s ）
v0=3m/s x=1.2m
PART NINE：课后练习
13（2020·华师一附中检测·知识点2）A、B两个小球由柔软的细线相连，线长l=6 m。将A、B两球先后以相同的初速度v0=4.5 m/s，从同一点水平抛出（先A后B），相隔时间 △t=0.8 s。（g 取 10 m/s ）
（1）A 球抛出后经多少时间，细线刚好被拉直
（2）细线刚被拉直时，A、B球的水平位移（相对于抛出点）分别为多大
（1）t=1s （2）xA=4.5m xB=0.9m
抛体运动规律
高中物理
树礼教育

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