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2023下学期高一数学竞赛
姓名：___________班级：___________学号：___________
一、单选题（4分一个，共8题）
1．设集合，，则（ ）
A．B． C． D．
2．已知a，b＞0，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
3．已知，则的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．函数的图像的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
5．设，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若f(x)满足，则f（6）＝（ ）
A．－6 B．0 C．6 D．12
7．定义在上的函数f(x)满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（ ）.
A． B．
C． D．
二、多选题（4分一个，共3题，部分写对得2分，选错得0分）
9．已知a，b均为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
10．已知函数的定义域均为R，，且当时，，则（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．方程有且只有1个实根
11．定义“正对数”：，下列命题中正确的有（ ）
A．若，，则；
B．若，，则；
C．若，，则；
D．若，，则.
三、填空题（4分一个，共4题）
12．若正实数，满足，，则的值为 .
13．已知函数在是奇函数，且在为增函数，，则不等式的解集是 .
14．已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是 ．
15．若函数和在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是 .
四、解答题（16题8分，17题8分，18题12分，19题12分）
16．（1）；
（2）．
17．已知集合
(1)若，求实数的取值范围.
(2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
18．若二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围.
19．已知是定义在上的奇函数．
(1)求的值；
(2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域．
(3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】根据补集的定义结合集合的描述法理解运算.
【详解】设集合，
可得：，且，故.
故选：C.
2．B
【分析】分充分性和必要性分别讨论：
充分性：取特殊值判断；
必要性：利用基本不等式进行证明.
【详解】充分性：取，满足，但是，不满足.故充分性不满足；
必要性：.故必要性满足.
故“”是“”的必要非充分条件．
故选：B
3．C
【分析】，根据结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：，
因为，又，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
即的最小值是7.
故选：C
4．D
【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.
【详解】根据
，
是减函数，是增函数.
在上单调递减，在上单调递增
故选：D.
【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5．A
【分析】由指数与对数的互化，再结合换底公式以及对数的运算性质可求得结果.
【详解】因为，则，，则，，
所以，.
故选：A.
6．D
【分析】将变形为，令，则是奇函数，再结合，利用奇函数的性质计算即可.
【详解】，令，则，
所以是奇函数，，所以，
又，所以.
故选：D
7．B
【分析】构造新函数，根据题意得出函数在内单调递减；把不等式转化为，结合单调性和定义域即可求解.
【详解】不妨设任意的，，
因为，则，
所以，
所以在内单调递减.
不等式等价于，又，
所以等价于，
因为在内单调递减，所以，
即不等式的解集为.
故选：B.
8．D
【分析】求出在，上的值域，利用的性质得出在，上的值域，再求出在，上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围
【详解】解：当时，，
可得在，上单调递减，在上单调递增，
在，上的值域为，，
在上的值域为，，
在上的值域为，，
，
，
在上的值域为，，
当时，为增函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为减函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为常数函数，值域为，不符合题意；
综上，的范围是或．
故选：．
【点睛】本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
9．ACD
【分析】对于A，利用基本不等式即可解得；
对于B，结合代换即可用基本不等式解决；
对于C，消元变为给定范围内二次函数最值问题；
对于D，结合代换即可用基本不等式解决.
【详解】对于A，
因为a，b均为正实数，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，
，
当且仅当即时，等号成立，故B错误；
对于C，
，
当时，的最小值为，故C正确；
对于D，
，
当且仅当即时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
10．ACD
【分析】由题设中的三个关系式可得、、、，再利用赋值法可判断AB的正确，最后再结合时可得的图象，从而可判断CD的正误.
【详解】对AB，由可得，
故，所以，
所以，故B错误.
故，故，
故为周期函数，且周期为，
而可得，
故，令可得，所以，故A正确；
对C，由可得
故，即，
由可得
，即，
故为奇函数且为周期函数且周期为.
根据上述性质可得的图象如下，
故在上单调递减，所以C正确；
对D，又即为，此方程即为的解.
结合的图象可得该方程只有1个解即为，所以D正确．
故选：ACD．
11．BCD
【解析】对于A，通过举反例说明错误；对于B，由“正对数”的定义分别对、分，；，两种情况进行推理；对于CD，分别从四种情况，即当，时；当，时；当，时；当，时进行推理．
【详解】对于A，当，时，满足，，而，
，，命题A错误；
对于B，当，时，有，
从而，，；
当，时，有，从而，，
.
当，时，，命题B正确；
对于C，由“正对数”的定义知，且．
当，时，，而，则；
当，时，有，，而，
，则．
当，时，有，，而，则．
当，时，，则．
当，时，，命题C正确；
对于D，由“正对数”的定义知，当时，有.
当，时，有，
从而，，
；
当，时，有，从而，，；
当，时，有，从而，
，；
当，时，，，
，，
从而，命题D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．
12．20
【分析】利用对数的性质可得，故可求的值.
【详解】因为，
所以.
故答案为：20.
13．
【分析】由题意可得，，在为增函数，讨论，或，，解不等式即可得到所求解集．
【详解】奇函数在为增函数，且(－5)，
可得，且，在为增函数，
则由可得，(5)，解得；
或，，解得．
综上可得所求解集为，，．
故答案为：.
14．或
【分析】对进行分类讨论，由函数的单调性、分离参数法、存在量词命题的真假性等知识求得正确答案.
【详解】因为，
若，由于单调递减，则在R上单调递增；
若，由于单调递增，则在R上单调递减，
又，故，
因为，是假命题，
故，恒成立为真命题，
即不等式对恒成立，
当时，，即在恒成立，
设，即在恒成立．
由于对勾函数在单调递减，在单调递增，
因为，因此；
当时，，
即在恒成立，
当时，函数有最小值，
即，又因为，故．综上可知：或．
故答案为：或
【点睛】方法点睛：存在量词命题是假命题，则其否定是真命题.当命题正面求解困难时，可利用命题的否定来进行求解.含参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法进行求解，分离参数时，要注意不等式的符号.
15．
【分析】根据题意分同增或同减，结合指数函数的性质运算求解.
【详解】因为，则，
由题意得与在区间上同增或同减.
若两函数同增，则在区间上恒成立，
可得，解得；
若两函数同减，则在区间上恒成立，
可得，无解；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
16．（1）；（2）
【分析】（1）直接计算得到答案.
（2）直接计算得到答案.
【详解】（1）
；
（2）
.
17．(1)
(2)
【分析】（1）考虑的情况，然后求解出的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集求解出结果；
（2）根据条件先分析出，然后考虑的情况，由此求解出符合条件的的取值范围.
【详解】（1）当时，，
若，满足，则，解得；
若，因为，所以，所以，
所以时，的取值范围是，
所以时，的取值范围是.
（2）因为“，使得”是真命题，所以，
当时，
若，成立，此时，解得；
若，则有或，解得，
所以时，的取值范围是或，
所以命题为真命题时的取值范围是.
18．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）设二次函数解析式，根据已知，应用待定系数法求解析式即可；
（2）由（1）得，结合其图象，讨论、、求对应最大值表达式；
（3）讨论、、，对于、分别转化为、恒成立，求参数范围即可.
【详解】（1）设，因为，所以.
因为，所以，即.
因为，所以，
得对任意恒成立，所以.
由，得，所以.
（2）由题知，
由的图象知，当时，由可得.
①当时，；
②当时，；
③当时，.
综上，
（3）由题意得对任意恒成立，
①当时，成立，此时；
②当时，恒成立，
，当且仅当，即时等号成立，
，即；
③当时，恒成立，，
又，当且仅当，即时等号成立，
，即.
综上，实数的取值范围为.
19．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由题意得，化简可求出的值；
（2）对两函数变形得，，再根据的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，然后根据指数函数的性质可求出的值域；
（3）令，由其在上递增，结合题意可得，则将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，从而可求出的取值范围．
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，即，
所以，得，
所以，，得；
（2）由（1）得，
，
因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以函数的值域为；
（3）由（1）得，
令，
因为在上递增，所以在上递减，
所以在上递增，
因为函数在上的值域为，
所以，
所以，
因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根，
所以，解得，
即的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合问题，考查函数图象平移问题，第（3）问解题的关键是根据函数的单调性结合题意将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，然后利用根的分布求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.

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