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3.1三角函数图象与性质
【备考指南】 1
【知识导图】 3
【考点梳理】 8
考点一：三角函数的同角基本关系 8
考点二：三角函数诱导公式 10
考点三：三角函数图象变换 15
考点四：三角函数图象 19
考点五：三角函数单调性 24
考点六：三角函数周期性 28
考点七：三角函数对称性 34
考点八：三角函数奇偶性 38
考点九：三角函数的取值范围 43
【真题在线】 48
【专项突破】 56
考点 考情分析 考频
三角恒等变换 2023年新高考Ⅰ卷T8 2023年新高考Ⅱ卷T7 2022年新高考Ⅱ卷T6 2021年新高考Ⅰ卷T6 2021年全国甲卷T9 3年5考
三角函数的图象与性质 2023年新高考Ⅰ卷T15 2023年新高考Ⅱ卷T16 2023年全国乙卷T6 2022年新高考Ⅰ卷T6 2022年新高考Ⅱ卷T9 2022年全国甲卷T11 2022年全国乙卷T15 2021年新高考Ⅰ卷T4 2021年全国甲卷T16 3年9考
解三角形及应用 2023年新高考Ⅰ卷T17 2023年新高考Ⅱ卷T17 2023年全国乙卷T18 2022年新高考Ⅰ卷T18 2022年新高考Ⅱ卷T18 2022年全国甲卷T16 2022年全国乙卷T17 2021年新高考Ⅰ卷T19 2021年新高考Ⅱ卷T18 3年9考
三角函数的图象变换与解析式 2023年全国甲卷T10 2021年全国乙卷T7 2年2考
同角三角函数的基本关系 2023年全国甲卷T7
三角函数的诱导公式 2023年全国甲卷T13
预测：三角函数图象与性质是高考考察的重点、热点问题，最近几年全国卷都有所考察.试题难度整体是基础题、中档题为主,有时考察的难度也较大.建议在二轮复习时重点做好查缺补漏，全面掌握好基础知识，进一步拓展学生的思维，从整体上对三角函数所全新的认识.
考点一：三角函数的同角基本关系
【典例精析】（多选）（2023上·江西·高三校联考阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．若锐角满足，则
【答案】ACD
【分析】利用诱导公式化简即可判断A；利用二倍角公式和辅助角公式化简等式即可判断B；两边平方，结合二倍角公式可判断C；利用基本关系式求，结合正切的两角和公式可判断D.
【详解】因为，所以，A正确．
因为，所以B错误．
将方程两边平方，得，解得，C正确．
因为，所以，，
则，D正确．
故选：ACD
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用和差角及二倍角的余弦公式，结合齐次式法计算得解.
【详解】因为，所以
.
故选：D
2．（2023·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.
【详解】由题意得，，
两式相加得，得，
故选：C
3．（2023·全国·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据题意利用三角恒等变换、诱导公式及同角三角函数的基本关系运算求解．
【详解】解法一：由得，
因为，则，得；
解法二：由得，
因为，所以，
得；
故选：A．
二、多选题
4．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．为第二象限角 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】先由化简得到，然后结合可求出，进而可求解.
【详解】因为，所以有，所以得到，
又，所以，可得且为第一象限角，
故，故A不正确，B正确；
又，故，所以，，故C正确；
由，，知，故D不正确．
故选：BC.
三、填空题
5．（2023上·江西·高二校联考期中）已知，则的值为 .
【答案】
【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】.
故答案为: .
【解题技巧】
1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.
2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
考点二：三角函数诱导公式
【典例精析】（多选）（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数的导函数的图象经过点，记，则（ ）
A．在上单调递减 B．
C．的图象在内有5个对称轴 D．
【答案】ABD
【分析】直接求导得，再根据正余弦函数的单调性、最值和对称性一一分析即可.
【详解】，因为的图象经过点，
所以，所以，
因为，所以当时，，所以，
所以，
对A，，因为，所以，
根据余弦函数的单调性知A正确；
对B，，故B正确；
对C，，因为，所以，
根据余弦函数的对称性知，当时，符合题意，则有四条对称轴，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：ABD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角的终边经过点，求出角的余弦值，即可求出结果.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以.
故选：A
2．（2023·全国·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照两角和的余弦公式及诱导公式化简条件，再利用辅助角公式变形，进一步计算即可.
【详解】方法一
，
.
故选：C.
方法二
.
令，则，，
.
故选：C.
3．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由，得到，再利用诱导公式和二倍角的正切公式得到求解.
【详解】解：由，得，
则，
，
.
故选：D
二、多选题
4．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）关于函数，则下列结论正确的有（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．的最大值为 D．在单调递增
【答案】AC
【分析】利用函数的奇偶性定义、三角函数的周期性以及函数周期的求法判断AB；再根据周期性研究函数在区间上的最值、以及单调性，判断CD.
【详解】由题知，定义域为，
，
所以是奇函数，故A正确；
因
，
所以是的周期，故B错；
，
当且仅当时，等号成立，
由得，
即，所以，故C正确；
因，
，
则，
所以在上不是单调递增的，故D错.
故选：AC
三、填空题
（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）若，则 .
【答案】/
【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.
【详解】，
则
.
故答案为：
【解题技巧】(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
考点三：三角函数图象变换
【典例精析】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数，，以下四种变换方式能得到函数的图象的是（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
B．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
C．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
D．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
【答案】BC
【分析】先利用诱导公式将函数变为正弦型三角函数；再利用三角函数图象间的变换规律即可得出答案.
【详解】
由三角函数图象间的变换规律知：
将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
故选：BC．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【分析】根据三角函数平移规则可知，将向左平移个单位长度即可得到.
【详解】易知，
故将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.
故选：C
2．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出平移后函数解析式，然后由图象关于轴对称得出的表达式，从而得出结论．
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得函数解析式为，它的图象关于轴对称，
则，又，则，
故选：B．
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则a的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图像确定，根据三角函数平移确定，再确定，根据零点得到，解得答案.
【详解】的最小正周期为T，由题图可得，，所以，
，，得，，又，所以，
所以．
将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，
再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，故．
当时，，
因为在上恰有3个零点，所以，得，
故选：C．
二、多选题
（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数(，)的图象中相邻两条对称轴的距离是，先将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，且最大值为4，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期是 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．在上单调递减
【答案】BD
【分析】根据三角函数的性质即可确定函数的表达式为，即可根据代入验证法判断BC，根据整体法即可求解D.
【详解】由已知，A错误；所以，则，
所以，
因为是偶函数，所以，，即，，
而，所以，所以，
因为最大值为4，所以，则，所以，
因为，所以为一条对称轴，B正确；
由于，所以C不正确；
当时，此时单调递减，D正确，
故选：BD
三、填空题
（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数（）的图象与的图象的两相邻公共点间的距离为，将的图象向左平移（）个单位长度得到的图象，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据题意，得到，求得，得到，再由三角函数的图象变换，得到，结合三角函数的性质，列出方程，即可求解.
【详解】由函数的图象与的图象的两相邻公共点间的距离为，
可得，所以，解得，所以，
又由，其向左平移（）个单位长度得：
，则，
解得，当时，取最小值.
故答案为：.
【解题技巧】
作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
考点四：三角函数图象
【典例精析】（多选）（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在区间上有6个零点
C．直线是图象的一条对称轴
D．若对任意的恒成立，则
【答案】ABD
【分析】根据平移变换的原则即可判断A；根据正弦函数的性质即可判断B；根据正弦函数的对称性即可判断C；对任意的恒成立，只需，求出的最小值即可判断D.
【详解】将图象上所有的点向右平移个单位长度，
得，故A错误；
令，得，所以，
又，所以，
即在区间上有6个零点，故B正确；
因为，
所以直线不是图象的一条对称轴，故C错误；
对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
由，得，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数，记方程的最小的两个正实数解分别为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合条件，利用三角函数的图象与性质，诱导公式即可求解.
【详解】由于，根据三角函数图象，在处切线斜率小于0，
所以，为方程的解，
所以，，
由可得，，解得.
故选：D．
2．（2023·浙江杭州·统考一模）已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据三角函数恒等变换将三角函数化简成余弦型函数，根据自变量的取值范围求解出的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得的取值范围
【详解】函数
，
因为，
所以，
由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，
根据函数的图像：

所以，整理得：．
故选：D．
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求参数，即可得解析式，进而求函数值.
【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得，
设函数的最小正周期为，则，
由题意得，解得，故，得，即，
的图象过点，即，
∵，则，

∴，解得．
∴
∴.
故选：A
二、多选题
4．（2021上·福建福州·高三福建省福州屏东中学校考开学考试）已知函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像关于对称，则的最小值是
D．若方程在上有个不同实根，则的最大值为
【答案】AC
【分析】根据题意得，，再结合三角函数的图像性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：因为函数的图像关于直线对称，
所以，，解得，
因为，
所以，即，
所以，对于A选项，函数，是奇函数，故正确；
对于B选项，当时，，由于函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故错误；
对于C选项，函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像对应的解析式为，
若图像关于对称，则，解得，
由于，故的最小值是，故正确；
对于D选项，当时，，
故结合正弦函数的性质可知，若方程在上有个不同实根，不妨设，
则取得最大值时满足且，
所以，的最大值为，故错误.
故选：AC
三、填空题
5．（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）若，，则 ．
【答案】
【分析】根据三角恒等变换得，再转化为关于的方程，解出即可.
【详解】因为，
所以
因为，
所以，即，
因为，所以，
所以，解得，
故答案为：.
【解题技巧】
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
考点五：三角函数单调性
【典例精析】（多选）（2023·江西景德镇·统考一模）已知向量，，以下结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】BD
【分析】由向量垂直、平行、数量积、模长的坐标表示列方程或不等式，结合三角恒等变换及正余弦型函数的性质求值或范围，判断各项正误.
【详解】A：若，则，，则，
所以，错；
B：若，则，而，对；
C：若，则，故，，则或，
所以或，错；
D：若，则，可得，，
所以，故，对；
故选：BD
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．为奇函数
B．当时，的值域是
C．的图象关于点对称
D．在上单调递减
【答案】B
【分析】根据三角函数的平移变换求出的表达式，然后依次判断各个选项即可．
【详解】因为，
所以，
由，得，，则，，又，所以，
所以，．
对于A：，所以不是奇函数，A错误；
对于B：当时，，，B正确；
对于C：因为，所以的图像不关于点对称，C错误；
对于D：当时，，根据函数的图像与性质可知，在上不单调，D错误．
故选：B.
2．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对于ABD，举反例可判断错误，对于C，利用幂函数的单调性，可判断正确.
【详解】对于A，取，，可得A错误；
对于B，取，，，可得B错误；
对于C，根据幂函数的单调性，可得，可得C正确；
对于D，取，，此时，，可得D错误；
故选：C
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若函数的最小正周期为，且对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用辅助角公式化简，利用的最小正周期为得，根据恒成立得到的最小值.
【详解】由，
所以函数的最小正周期是，
于是函数的最小正周期是，
因此函数的最小正周期为，
所以，则，
因此．由于对任意的恒成立，
所以在处取得最小值，
于是，
即，因为，所以的最小值为．
故选：C
【点睛】关键点睛：（1）利用三角函数的图象与性质得到；（2）根据恒成立得到在处取得最小值．
二、多选题
4．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．不等式的解集为
【答案】AB
【分析】A选项，由左加右减得到的解析式，从而判断出奇偶性；B选项，，故B正确；C选项，整体法判断函数的单调性；D选项，由得到，求出不等式的解集.
【详解】A选项，，
由于的定义域为R，且，
故为奇函数，A正确；
B选项，，故的图象关于直线对称，B正确；
C选项，时，，其中在上不单调，
故在上不单调，故C错误；
D选项，，则，则，
故，D错误.
故选：AB
三、填空题
5．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为 .
【答案】/60o
【分析】把两边平方得到关于的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的条件以及两向量夹角的余弦公式求得结果.
【详解】，是单位向量，由得：，
依题意，不等式对任意实数恒成立，
则，解得，
而，则，
又，函数在上单调递减，
因此，
所以向量，的夹角的取值范围为.则向量的夹角的最小值为.
故答案为：.
【解题技巧】
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
考点六：三角函数周期性
【典例精析】（多选）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】选项A，根据得到；B选项，举出反例；C选项，作差法比较大小；D选项，构造函数，求导得到单调性，从而得到时，，故D错误.
【详解】选项A，由得，∴，故A正确；
选项B，取，，可得，，不满足，故B错误；
选项C，，
∵，所以，故，
∴，故C正确；
选项D，设函数，，则，
当时，，单调递减，
故时，，即，故，故D错误.
故选：AC
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若函数的最小正周期为π，且对任意的恒成立，则θ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简，得到函数的最小周期是，结合题意，求得，得到，再由对任意的恒成立，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】由于，所以函数的最小正周期是，
于是函数的最小周期是，
因此函数的最小正周期为，所以，则，
可得，
由于对任意的恒成立，所以在处取得最小值，
于是，即，
因为，所以θ的最小值为.
故选：C.
2．（2023·河北保定·统考二模）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．时，关于对称
B．时，的一个周期为
C．时，在上单调递增
D．时，的两个零点为，则
【答案】C
【分析】分别求出函数的解析式，利用函数的对称性，单调性以及周期性进行判断即可．
【详解】当时，，
此时，即是的一个周期，故B正确；
当时，，即关于对称，故A正确；
当时，，
当，，，此时为减函数，故C错误，
由得，
则或，，，
即或，
即或，
则，
则，
则当时，，故D正确.
故选：C．
3．（2023上·内蒙古包头·高三校考阶段练习）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据图象可得的最小正周期和最小值点，根据余弦型函数的性质分析判断.
【详解】设的最小正周期为，
可知，即，
且当时，取到最小值，
由周期性可知：与最近的最大值点为，如图所示，

所以的单调递减区间为，.
故选：D.
二、多选题
4．（2023上·河北·高三校联考阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）

A．的最小正周期为
B．
C．将曲线向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
D．若在区间上单调递增，则
【答案】AD
【分析】由函数图像可确定函数最小正周期，判断A；将代入，求出，判断B；根据三角函数的图象的平移变换规律可得平移后图象的解析式，结合正弦函数性质可判断C；利用余弦函数的单调性可判断D.
【详解】由于，故，A正确，
由于，则，故，
即，
而，故，B错误；
由于，
故将曲线向右平移个单位长度后得到的图象，
该图象关于原点对称，不关于轴对称，C错误；
当时，，当时，
由于在上单调递增，在上单调递减，
故在上单调递增，在上单调递减，
故由在区间上单调递增，得，D正确，
故选：AD
三、填空题
5．（2023·山东烟台·统考二模）若点与关于x轴对称，则的一个可能取值为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由对称的性质列方程求即可.
【详解】因为与关于x轴对称，
所以，，
所以，，
所以，
又，
所以，
故答案为：（答案不唯一）.
【解题技巧】
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
考点七：三角函数对称性
【典例精析】（多选）（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数的一个对称中心为，则（ ）
A．的最小正周期为π
B．
C．直线是函数图像的一条对称轴
D．若函数在上单调递减，则
【答案】AC
【分析】根据的对称中心求得，根据三角函数的最小正周期、对称性、单调性确定正确答案.
【详解】则有，解得，
因为，所以，所以，
则的最小正周期为π，故A正确；
，故B错误；
，则直线是图像的一条对称轴，故C正确；
，当时，，
若函数在上单调递减，则有，
解得则，故D错误.
故选：AC
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出平移后函数解析式，然后由图象关于轴对称得出的表达式，从而得出结论．
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得函数解析式为，它的图象关于轴对称，
则，又，则，
故选：B．
2．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上的最大值为M，最小值为N，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】求出，换元可得.当的对称轴恰好为时，有最小值，求出，根据函数的周期性，任取一个满足的知，代入得出区间，即可得出的值.
【详解】由题意知，，
令，
因为，所以.
由正弦函数的图象与性质知，
当的对称轴恰好为，
即时，取得最小值，
此时.
根据正弦函数的周期性，不妨取， 则.
当时，有最大值为1，所以；
当或时，有最小值为，所以.
所以，.
故选：D．
3．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．的图象关于直线对称
C．是奇函数
D．
【答案】C
【分析】由函数图象的平移变换法则求出的解析式，利用复合函数的单调性即可判断A的正误；计算的对称轴，即可判断B的正误；求出的解析式，即可判断C的正误；计算的值，即可判断D的正误．
【详解】由题知，，
对于A：因为在区间上单调递增且值域为，
在区间上先减后增，
所以在区间上先减后增，故A错误；
对于B：函数的对称轴为，即，
所以的图象不关于直线对称，故B错误；
对于C：是奇函数，故C正确；
对于D：，故D错误．
故选：C.
二、多选题
4．（2023·河北·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则下列关于的说法错误的是（ ）
A．最小正周期为 B．图象关于点对称
C．在区间上单调递增 D．图象关于直线对称
【答案】ACD
【分析】根据函数图象平移法则，求出函数图象平移后得到的函数的解析式，再根据正切函数的性质一一判断即可．
【详解】函数，的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
所以函数；
对于A，函数的最小正周期为，选项A错误；
对于B，时，，所以的图象关于点对称，选项B正确；
对于C，，，在上单调递减，选项C错误；
对于D，正切型函数的图象不是轴对称图形，所以选项D错误．
故选：ACD．
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）函数的图象的对称中心为
【答案】
【分析】根据的对称中心为可求解.
【详解】令，，解得，所以对称中心为.
故答案为: .
【解题技巧】
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
考点八：三角函数奇偶性
【典例精析】（多选）（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数（）的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上，有极小值，则（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．在上单调递增
【答案】AD
【分析】根据函数与的最小正周期相同，求得，经验证求得，再求出值，再对各个选项逐项验证.
【详解】由题意，函数与的最小正周期相同，则，且.
当时，，其一个对称中心为，
也是的一个对称中心，
所以，所以，，
又，所以，
所以，，，有极大值，无极小值，不合题意；
当时，，其一个对称中心为，
也是的一个对称中心，
所以，所以，，
又，所以，
所以，，，有极小值，满足题意.
，，A项正确，B项不正确；
，不是偶函数，C项不正确；
当时，，函数在上单调递减，则在上单调递增，D项正确.
故选：AD
【变式训练】
一、单选题
1．（2023上·四川成都·高三石室中学校考期中）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后，得到偶函数的图象，则正实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题图可知，周期，则，所以，又点在的图象上，求出，得到函数解析式，利用平移规律得的解析式，根据函数的奇偶性求得到答案．
【详解】由题图可知，周期，则，所以，
因为点在的图象上，所以＝－2，
所以，得，
因为，所以，，
所以，
是偶函数，，
，则当时，正实数取最小值.
故选：C.
2．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦型函数的对称性、奇偶性、单调性进行求解即可.
【详解】因为函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，
所以有，
所以，
因为是奇函数，
所以，由可得：，
而，所以，
当时，，
因为，所以，
即，
当时，，显然此时函数单调递减，符合题意，
所以；
当时，，
因为，所以，
即，
当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，
故选：D
3．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知函数同时满足性质：①；②当时，，则函数可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定函数的奇偶性和在上的单调性，再逐项判断作答.
【详解】由，知函数是偶函数，由当时，，知在上单调递减，
对于A，函数在上单调递增，A不是；
对于B，指数函数不具奇偶性，B不是；
对于D，当时，在上单调递增，D不是；
对于C，函数是偶函数，当时，，
而余弦函数在上单调递减，即在上单调递减，C是.
故选：C
二、多选题
4．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．不等式的解集为
【答案】AB
【分析】A选项，由左加右减得到的解析式，从而判断出奇偶性；B选项，，故B正确；C选项，整体法判断函数的单调性；D选项，由得到，求出不等式的解集.
【详解】A选项，，
由于的定义域为R，且，
故为奇函数，A正确；
B选项，，故的图象关于直线对称，B正确；
C选项，时，，其中在上不单调，
故在上不单调，故C错误；
D选项，，则，则，
故，D错误.
故选：AB
三、填空题
5．（2023·广西玉林·统考三模）函数，若，则 ．
【答案】3
【分析】根据题意可得，结合计算即可求解.
【详解】由题得，
∴，
所以．
故答案为：3.
【解题技巧】
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
考点九：三角函数的取值范围
【典例精析】（多选）（2021·广东汕头·统考一模）知函数，则下述结论中正确的是（ ）
A．若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点
B．若在有且仅有个零点，则在上单调递增
C．若在有且仅有个零点，则的范围是
D．若的图象关于对称，且在单调，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】令，由，可得出，作出函数在区间上的图象，可判断A选项正误；根据已知条件求出的取值范围，可判断C选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D选项的正误.
【详解】令，由，可得出，
作出函数在区间上的图象，如下图所示：
对于A选项，若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点，A选项正确；
对于C选项，若在有且仅有个零点，则，解得，C选项正确；
对于B选项，若，则，
所以，函数在区间上不单调，B选项错误；
对于D选项，若的图象关于对称，则，.
，，，.
当时，，当时，，
此时，函数在区间上单调递减，合乎题意，D选项正确.
故选：ACD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·陕西·统考模拟预测）已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知在上有且只有5个零点，进而得，再结合正弦函数的图像可知，解不等式即可得答案.
【详解】解：因为，
令，即，
所以，在上有且只有5个零点，
因为，所以，
所以，如图，由正弦函数图像，要使在上有且只有5个零点，
则，即，
所以实数的范围是.
故选：C
2．（2021·全国·校联考三模）函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简得，由求得范围，根据条件与函数图象即可求解结果．
【详解】，
因为在内存在最小值但无最大值，
当时，，
故结合图象可得：，
所以．
故选：A
3．（2021·江西抚州·校考模拟预测）若函数的图象在区间上只有一个对称中心，则的取范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得，即可求出.
【详解】由题可知，在上只有一个零点，
又，，所以，即.
故选：A.
二、多选题
4．（2022·广东·校联考模拟预测）函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．若为偶函数，则的最小正值是
B．若为偶函数，则的最小正值是
C．若为奇函数，则的最小正值是
D．若为奇函数，则的最小正值是
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的平移变换可得，根据其为偶函数可得，从而求得 的最小正值，判断A,B; 根据其为奇函数可得，从而求得 的最小正值，判断C,D.
【详解】由题意得，，
若为偶函数，则 ,
故，所以当 时，的最小正值是，
故A错误，B正确；
当为奇函数时，，
故，故当 时，的最小正值是，
故C正确，D错误，
故选：BC
三、填空题
5．（2023·贵州黔西·校考一模）已知函数，下述四个结论：
①若，且在有且仅有5个零点，则在有且仅有3个极大值点；
②若，且在有且仅有4个零点，则在有且仅有2个极大值点；
③若，且在有且仅有5个零点，则在上单调递增；
④若，且在有且仅有2个零点和3个极值点，则的范围是．
其中所有正确结论的编号是 ．
【答案】①③
【分析】对①②可以通过作图判别，对于③令，根据题意得到不等式，解出范围，当时，即可.对于④令，根据题意得到不等式，解出范围即可.
【详解】对于①，若，则，在有且仅有5个零点，如图，
其图象的右端点的横坐标在上，此时在有且仅有3个极大值点，故①正确；
对于②，若，则，在有且仅有4个零点，如图，
其图象的右端点的横坐标在上，则在有2个或3个极大值点，故②不正确；
对于③，若，令，且,
在上有且仅有5个零点，在上有且仅有5个零点，
，当时，，
又，,
在上单调递增.
在上单调递增，故③正确.
对于④，若，令,且，
因为在有且仅有2个零点和3个极值点，
在上有且仅有2个零点和3个极值点，
，故④错误.
故答案为：①③.
【解题技巧】
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
2．（2023·全国·统考高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
3．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
5．（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
6．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
7．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
8．（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
9．（2021·北京·统考高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
10．（2021·全国·统考高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
二、多选题
11．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
三、填空题
12．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ．
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
一、单选题
1．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）设函数，若函数与的图象关于直线对称，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据对称可得，进而根据整体方法求解最值即可.
【详解】在的图象上任取一点，它关于的对称点为.
故点在的图象上，从而.
当时，，由在上单调递减可知：
在区间上的最大值为，
故选：B.
2．（2023·全国·模拟预测）为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】化简函数的解析式，再根据函数的平移变换法可得函数的变换情况.
【详解】由已知，
设将函数向左平移个单位，得，
所以，解得，
即将函数向左平移个单位长度可得，
故选：D.
3．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角的终边经过点，求出角的余弦值，即可求出结果.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以.
故选：A
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若函数的最小正周期为，且对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用辅助角公式化简，利用的最小正周期为得，根据恒成立得到的最小值.
【详解】由，
所以函数的最小正周期是，
于是函数的最小正周期是，
因此函数的最小正周期为，
所以，则，
因此．由于对任意的恒成立，
所以在处取得最小值，
于是，
即，因为，所以的最小值为．
故选：C
【点睛】关键点睛：（1）利用三角函数的图象与性质得到；（2）根据恒成立得到在处取得最小值．
5．（2023·全国·模拟预测）设函数.若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式和三角函数值域可得，再由可得，即可求出的最小值为.
【详解】因为，
所以.
因为，所以，
故，.
所以，
解得，
故，其最小值为.
故选：A.
6．（2023·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.
【详解】由题意得，，
两式相加得，得，
故选：C
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，以下四种变换方式能得到函数的图象的是（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
B．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
C．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
D．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
【答案】BC
【分析】先利用诱导公式将函数变为正弦型三角函数；再利用三角函数图象间的变换规律即可得出答案.
【详解】
由三角函数图象间的变换规律知：
将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
故选：BC．
8．（2023·广东·统考二模）已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的最小正周期为
C．的最大值为2
D．在处的切线方程为
【答案】AD
【分析】利用可对A项判断；利用周期函数定义可得可对B项判断；由的周期为，分情况讨论出的最大值即可对C项判断；求出的导数，从而可对D项判断.
【详解】对于A项：
所以为奇函数，故A项正确；
对于B项：
，所以的最小正周期不是，故B项错误；
对于C项：由B项知，取，时，，且在区间上单调递增，，
同理可得：当时，，，
当时，，，
所以的最大值为，故C项错误.
对于D项：，由C项知：时，，所以，
所以，
所以可得在处的切线方程为：.故D项正确.
故选：AD.
三、填空题
9．（2023·全国·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，当时，，则当函数在区间上有4个零点时，a的取值范围为 .
【答案】
【分析】先根据题意得出函数的特点：定义域为R的奇函数，周期为8，且图象关于直线对称；再将函数零点问题转化为两函数图象交点问题；最后数形结合求解即可.
【详解】函数是定义域为R的奇函数
又函数满足，即.
，且函数图象关于直线对称.
则，
所以函数的一个周期为8.
综上可知：函数是定义域为R的奇函数，周期为8，且图象关于直线对称.
因为当时，，所以可作出函数在上的大致图象如图所示：
因为函数在区间上的零点个数即曲线与直线在区间上的交点个数，
所以数形结合可知，当函数在区间上有4个零点时，a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数满足恒成立，，且在区间上有5个零点，则 .
【答案】
【分析】由可知，由此可求得的值；根据函数在区间零点的个数，结合正弦函数的图象可知的取值范围；由可知函数的对称轴，得出,再结合的取值范围即可得出的值.
【详解】由题意，
所以，得，
因为，所以，所以；
因为在区间上有5个零点，
所以，
解得；
因为，
所以函数的图象关于直线对称，
所以，得，
所以.
故答案为：.
11．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上的最大值为，最小值为，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】先得到的解析式，然后利用整体思想及正弦函数的图象得到当取得最小值时的表达式，最后取特殊值即可得解．
【详解】由题意知，，令，则当时，，
由正弦函数的图象知，当的图象关于直线对称时，取得最小值，
所以当取得最小值时，，
即．不妨取，
则，
所以．
故答案为：
四、解答题
12．（2023·全国·模拟预测）已知，且.
(1)求和的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据及得到，根据半角公式求出，结合同角三角函数关系得到；
（2）先求出，从而求出，利用凑角法求出的值，得到答案.
【详解】（1）因为，所以.
又，所以，故.
因为，
所以，
则.
（2）由已知条件，得.
又，所以.
由，得.
所以
.
因为，，所以，所以.
13．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知函数的最小值周期为.
(1)求的值与的单调递增区间；
(2)若且，求的值.
【答案】(1)，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的周期公式可求出的值，再利用正弦型函数的单调性可求出函数的增区间；
（2）由已知条件可得出，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的余弦公式可求出的值.
【详解】（1）解：
，
因为函数的最小正周期为，且。所以，解得，
所以，令，
得，所以的单调递增区间为.
（2）解：由（1）知，则，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以
.
14．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数图象向右平移个单位长度得到的图象，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由（1）可得，即可求出，再根据计算可得.
【详解】（1）因为
，
所以的最小正周期.
（2）将函数图象向右平移个单位长度得到，
则，所以，
因为，所以，所以，
所以
.
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3.1三角函数图象与性质
【备考指南】 1
【知识导图】
【考点梳理】
考点一：三角函数的同角基本关系
考点二：三角函数诱导公式
考点三：三角函数图象变换
考点四：三角函数图象
考点五：三角函数单调性
考点六：三角函数周期性
考点七：三角函数对称性
考点八：三角函数奇偶性
考点九：三角函数的取值范围
【真题在线】
【专项突破】
考点 考情分析 考频
三角恒等变换 2023年新高考Ⅰ卷T8 2023年新高考Ⅱ卷T7 2022年新高考Ⅱ卷T6 2021年新高考Ⅰ卷T6 2021年全国甲卷T9 3年5考
三角函数的图象与性质 2023年新高考Ⅰ卷T15 2023年新高考Ⅱ卷T16 2023年全国乙卷T6 2022年新高考Ⅰ卷T6 2022年新高考Ⅱ卷T9 2022年全国甲卷T11 2022年全国乙卷T15 2021年新高考Ⅰ卷T4 2021年全国甲卷T16 3年9考
解三角形及应用 2023年新高考Ⅰ卷T17 2023年新高考Ⅱ卷T17 2023年全国乙卷T18 2022年新高考Ⅰ卷T18 2022年新高考Ⅱ卷T18 2022年全国甲卷T16 2022年全国乙卷T17 2021年新高考Ⅰ卷T19 2021年新高考Ⅱ卷T18 3年9考
三角函数的图象变换与解析式 2023年全国甲卷T10 2021年全国乙卷T7 2年2考
同角三角函数的基本关系 2023年全国甲卷T7
三角函数的诱导公式 2023年全国甲卷T13
预测：三角函数图象与性质是高考考察的重点、热点问题，最近几年全国卷都有所考察.试题难度整体是基础题、中档题为主,有时考察的难度也较大.建议在二轮复习时重点做好查缺补漏，全面掌握好基础知识，进一步拓展学生的思维，从整体上对三角函数所全新的认识.
考点一：三角函数的同角基本关系
【典例精析】（多选）（2023上·江西·高三校联考阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．若锐角满足，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
4．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．为第二象限角 B．
C． D．
三、填空题
5．（2023上·江西·高二校联考期中）已知，则的值为 .
【解题技巧】
1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.
2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
考点二：三角函数诱导公式
【典例精析】（多选）（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数的导函数的图象经过点，记，则（ ）
A．在上单调递减 B．
C．的图象在内有5个对称轴 D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）关于函数，则下列结论正确的有（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．的最大值为 D．在单调递增
三、填空题
（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）若，则 .
【解题技巧】(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
考点三：三角函数图象变换
【典例精析】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数，，以下四种变换方式能得到函数的图象的是（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
B．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
C．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
D．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则a的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数(，)的图象中相邻两条对称轴的距离是，先将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，且最大值为4，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期是 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．在上单调递减
三、填空题
（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数（）的图象与的图象的两相邻公共点间的距离为，将的图象向左平移（）个单位长度得到的图象，则的最小值为 .
【解题技巧】
作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
考点四：三角函数图象
【典例精析】（多选）（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在区间上有6个零点
C．直线是图象的一条对称轴
D．若对任意的恒成立，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数，记方程的最小的两个正实数解分别为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江杭州·统考一模）已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
4．（2021上·福建福州·高三福建省福州屏东中学校考开学考试）已知函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像关于对称，则的最小值是
D．若方程在上有个不同实根，则的最大值为
三、填空题
5．（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）若，，则 ．
【解题技巧】
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
考点五：三角函数单调性
【典例精析】（多选）（2023·江西景德镇·统考一模）已知向量，，以下结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．为奇函数
B．当时，的值域是
C．的图象关于点对称
D．在上单调递减
2．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若函数的最小正周期为，且对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．不等式的解集为
三、填空题
5．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为 .
【解题技巧】
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
考点六：三角函数周期性
【典例精析】（多选）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若函数的最小正周期为π，且对任意的恒成立，则θ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北保定·统考二模）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．时，关于对称
B．时，的一个周期为
C．时，在上单调递增
D．时，的两个零点为，则
3．（2023上·内蒙古包头·高三校考阶段练习）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）

A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
4．（2023上·河北·高三校联考阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）

A．的最小正周期为
B．
C．将曲线向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
D．若在区间上单调递增，则
三、填空题
5．（2023·山东烟台·统考二模）若点与关于x轴对称，则的一个可能取值为 ．
【解题技巧】
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
考点七：三角函数对称性
【典例精析】（多选）（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数的一个对称中心为，则（ ）
A．的最小正周期为π
B．
C．直线是函数图像的一条对称轴
D．若函数在上单调递减，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上的最大值为M，最小值为N，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．的图象关于直线对称
C．是奇函数
D．
二、多选题
4．（2023·河北·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则下列关于的说法错误的是（ ）
A．最小正周期为 B．图象关于点对称
C．在区间上单调递增 D．图象关于直线对称
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）函数的图象的对称中心为
【解题技巧】
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
考点八：三角函数奇偶性
【典例精析】（多选）（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数（）的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上，有极小值，则（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．在上单调递增
【变式训练】
一、单选题
1．（2023上·四川成都·高三石室中学校考期中）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后，得到偶函数的图象，则正实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知函数同时满足性质：①；②当时，，则函数可能为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．不等式的解集为
三、填空题
5．（2023·广西玉林·统考三模）函数，若，则 ．
【解题技巧】
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
考点九：三角函数的取值范围
【典例精析】（多选）（2021·广东汕头·统考一模）知函数，则下述结论中正确的是（ ）
A．若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点
B．若在有且仅有个零点，则在上单调递增
C．若在有且仅有个零点，则的范围是
D．若的图象关于对称，且在单调，则的最大值为
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·陕西·统考模拟预测）已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·校联考三模）函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江西抚州·校考模拟预测）若函数的图象在区间上只有一个对称中心，则的取范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2022·广东·校联考模拟预测）函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．若为偶函数，则的最小正值是
B．若为偶函数，则的最小正值是
C．若为奇函数，则的最小正值是
D．若为奇函数，则的最小正值是
三、填空题
5．（2023·贵州黔西·校考一模）已知函数，下述四个结论：
①若，且在有且仅有5个零点，则在有且仅有3个极大值点；
②若，且在有且仅有4个零点，则在有且仅有2个极大值点；
③若，且在有且仅有5个零点，则在上单调递增；
④若，且在有且仅有2个零点和3个极值点，则的范围是．
其中所有正确结论的编号是 ．
【解题技巧】
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
7．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·北京·统考高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
10．（2021·全国·统考高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
三、填空题
12．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ．
一、单选题
1．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）设函数，若函数与的图象关于直线对称，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．0
2．（2023·全国·模拟预测）为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
3．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若函数的最小正周期为，且对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·模拟预测）设函数.若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，以下四种变换方式能得到函数的图象的是（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
B．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
C．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
D．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
8．（2023·广东·统考二模）已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的最小正周期为
C．的最大值为2
D．在处的切线方程为
三、填空题
9．（2023·全国·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，当时，，则当函数在区间上有4个零点时，a的取值范围为 .
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数满足恒成立，，且在区间上有5个零点，则 .
11．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上的最大值为，最小值为，则的最小值为 ．
四、解答题
12．（2023·全国·模拟预测）已知，且.
(1)求和的值；
(2)若，且，求的值.
13．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知函数的最小值周期为.
(1)求的值与的单调递增区间；
(2)若且，求的值.
14．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数图象向右平移个单位长度得到的图象，若，，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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