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人教版 高中数学选择性必修二
第五章
《一元函数的导数及其应用》
单元解读
一、总体设计
导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本方法.本章通过具体情境，引导学生直观理解导数概念，感悟极限思想，知道极限思想是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质；通过本章的学习，学生能才理解导数是一种借助极限的运算，掌握导数的基本运算规则，
能求简单函数和简单复合函数的导数；能利用导数研究简单函数的性质和变化规律，能利用导数解决简单的实际问题 通过本章的学习，学生的数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理素养将得到进一步提升
二、本章内容
三、本章教学时间约需16课时
本章教学时间约需16课时，
具体分配如下（仅供参考）：
5.1导数的概念及其意义 约4课时
5.2导数的运算 约4课时
5.3导数在研究函数中的应用 约5课时
文献阅读与数学写作
微积分的创立与发展 约1课时
小结 约2课时
四、本章知识网络
五、本章重点
本章的重点是：导数的概念，利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数和简单复合函数的导数，利用导数研究简单函数的性质.
六、本章的难点
导数是瞬时变化率的数学表达，学生对导数的内涵一瞬时变化率的认识有一定难度；同时，从平均变化率过渡到瞬时变化率得到导数概念的过程，蕴含着“用运动变化的观点研究问题”“逼近（极限）”“以直代曲”等微积分的重要思想，需要学生不断感悟.因此，导数的概念是本章的一个教学难点.
在导数概念及其几何意义的得出过程中，让学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，不断渗透解决问题的思想方法，并借助具体数值和几何直观体会极限思想是突破难点的关键.由于复合函数的求导是“从外往内”分两层求导，需要准确分析复合函数的结构，而学生对复合函数的复合过程的认识存在一定的困难，所以求简单复合函数的导数是本章的另一个教学难点.
加强对复合函数的复合过程的分析，厘清复合函数中的自变量、中间变量、因变量，是突破这一难点的关键.
七、本章学业要求
通过实例了解导数概念的实际背景，通过函数图象直观理解导数的几何意义；掌握导数的基本运算规则，能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单复合函数（仅限于形如）=f（ax+b）的复合函数）的导数.
能利用导数研究函数的单调性、极值和最大（小）值，并会解决有关的方程、不等式问题.能利用导数解决某些简单的优化问题.
重点提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理素养.
八、核心知识评价要求
主题 知识单元 核心知识 评价要求 合计
个数
了解 理解 掌握 函数 一元函数的导数及其应用 导数的概念及其意义 导数的概念 √ 2
导数的几何意义 √ 导数的运算 基本初等函数的导数 √ 3
导数的四则运算法则 √ 简单复合函数的导数 √ 导数在研究函数中的应用 函数的单调性 √ 3
函数的极值与最大（小）值 √ 导数的实际应用 √ 总计个数 1 4 3 8
九、思想方法评价要求
思想方法 评价要求
极限 能以导数概念的产生过程为基础，初步了解并体会极限思想，理解切线的斜率就是割线斜率的极限.能应用极限思想画函数的图象.
数形结合 能从形的角度，建立切线斜率与导数的关系，获得导数的几何意义；能借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；结合函数图象，直观感受函数在某些特殊点的函数值与附近点的函数值大小的关系，建立函数的极大值、极小值的概念，并能借助几何直观探索函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件.
函数与方程 能构造函数，将不等式恒成立、证明不等式以及求参数的取值范围的问题转化为求函数的最大（小）值问题，并利用导数求出最大（小）值解决问题.
分类与整合 在用导数研究函数（特别是含参数的函数）的性质过程中，能正确地进行分类讨论并解决问题.
化归与转化 能够将含有一个或者两个量词（任意、存在）的不等（相等）问题化归为函数的最大（小）值问题，并利用导数求出最大（小）值来解决问题.
十、关键能力评价要求
关键能力 评价要求 _
抽象概括 能通过平均速度的极限是瞬时速度，函数图象的割线斜率的极限是切线的斜率，抽象出函数的
平均变化率的极限是瞬时变化率，并进一步抽象出导数的概念.
推理论证 能利用导数对函数的单调性、极值、最大(小)值等性质进行分析、判断或求解；能准确使用
导数的有关术语和数学符号进行数学表达，解决与函数有关的问题.
运算求解 能根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则计算导数；能通
过求函数的导数、解不等式等数学运算来判断函数的单调性，求函数的极值和最大(小)值.
直观想象 能借助函数的图象直观认识函数的单调性与导数的正负之间的关系，能利用导数画出简单函数
的图象，并由图象进一步认识函数的性质.
数学建模 能借助导数提升对函数模型的认识；能合理选择函数模型，解决增长率和优化等实际问题.
十一、本章知识梳理
1.瞬时速度：物体在 的速度称为瞬时速度.
2.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度.
3.瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则
物体在t0时刻的瞬时速度为 .
注意点：Δt可正，可负，但不能为0.
某一时刻
十一、本章知识梳理
1.抛物线的切线：设P0是抛物线上一定点，P是抛物线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线在点P0处的切线.
2.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.
注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率.
十一、本章知识梳理
1.平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).
我们把比值 ，即 ＝ 叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率.
十一、本章知识梳理
2.导数
如果当Δx→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，
则称y＝f(x)在x＝x0处 ，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在 处的_____(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即f′(x0)＝
＝ .
可导
x＝x0
导数
f′(x0)
十一、本章知识梳理
注意点：
(1)曲线切线的斜率即函数y＝f(x)在x＝x0处的导数；
(2)瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价.
十一、本章知识梳理
求瞬时变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
十一、本章知识梳理
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).
十一、本章知识梳理
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的
.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是
.相应地，切线方程为 .
切线的斜率
f′(x0)
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
求曲线过某点的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.
十一、本章知识梳理
若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝ ；
若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k 0，且函数在x＝x0附近_____
_____，且f′(x0)越大，说明函数图象变化得越快；
若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k 0，且函数在x＝x0附近_____
，且| f′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快.
0
>
单调
递增
<
单调
递减
十一、本章知识梳理
导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画.f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的.
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.
十一、本章知识梳理
导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的 (简称导数).y＝f(x)的导函数记作 或 ，即f′(x)＝y′
＝ .
导函数
f′(x)
y′
十一、本章知识梳理
注意点：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)、导函数f′(x)之间的区别与联系：
(1)区别：①f′(x0)是在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量.
②f′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的.
(2)联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值.
十一、本章知识梳理
基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝___
f(x)＝xα，(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝_____
f(x)＝cos x f′(x)＝_______
f(x)＝ax (a>0，且a≠1) f′(x)＝______
0
cos x
－sin x
axln a
十一、本章知识梳理
f(x)＝ex f′(x)＝____
f(x)＝logax (a>0，且a≠1)
f(x)＝ln x
ex
注意点：对于根式f(x)＝ ，要先转化为f(x)＝ ，所以f′(x)＝ .
十一、本章知识梳理
(1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
(3)要特别注意“ 与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
十一、本章知识梳理
(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
十一、本章知识梳理
1.[f(x)·g(x)]′＝ ，特别地，[cf(x)]′＝ .
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
cf′(x)
十一、本章知识梳理
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式.
(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
十一、本章知识梳理
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝ .
注意点：内、外层函数通常为基本初等函数.
f(g(x))
十一、本章知识梳理
复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于 .
y′u·u′x
y对u的导数与u对x的导数的乘积
十一、本章知识梳理
注意点：
(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；
(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；
(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.
十一、本章知识梳理
(1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；
②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
十一、本章知识梳理
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
十一、本章知识梳理
函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)上的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递____
f′(x)<0 单调递____
增
减
注意点：(1)在某个区间上恒有f′(x)＝0，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化.
十一、本章知识梳理
利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论.
十一、本章知识梳理
利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求出导数f′(x)的零点.
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域上的单调性.
十一、本章知识梳理
极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则把a叫做函数y＝f(x)的 ，f(a)叫做函数y＝f(x)的 .
f′(x)＜0
f′(x)＞0
极小值点
极小值
十一、本章知识梳理
(2)极大值点与极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则把b叫做函数y＝f(x)的 ，f(b)叫做函数y＝f(x)的 .
(3)极大值点、极小值点统称为 ，极大值和极小值统称为 .
f′(x)＞0
f′(x)＜0
极大值点
极大值
极值点
极值
十一、本章知识梳理
注意点：
(1)极值点不是点；
(2)极值是函数的局部性质；
(3)函数的极值不唯一；
(4)极大值与极小值两者的大小不确定；
(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；
(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.
十一、本章知识梳理
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)＝0的根.
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
十一、本章知识梳理
已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
十一、本章知识梳理
函数最值的定义
(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值.
十一、本章知识梳理
最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点在定义域内，但不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
十一、本章知识梳理
求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求在(a，b)内方程f′(x)＝0的所有根；
(2)计算(1)中所有根对应的函数值；
(3)把(2)中计算的函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
十一、本章知识梳理
证不等式恒成立，用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数的最值，即可得到结果.

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