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沪教版八年级上册

第 19 章 几何证明
单元复习（4个概念2个性质3个判定2个定理2个应用2种思想方法1个轨迹）
学习目标
1.理解命题、逆命题、定理、逆定理等的含义；
2.掌握证明真命题正确性的方法步骤，会举反例说明假命题的错误；掌握证明线段相等　角度相等的基本方法和思路；
3.理解轨迹的定义，掌握三种基本轨迹；
4.能判断直角三角形全等，能应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
?
1.下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.并指出条件和结论。
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；
如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；
如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
4个概念
考点01 命题
考点02 互逆命题
1 [2022·上海中考]下列说法正确的是（　A　）
A.命题一定有逆命题
B.所有的定理一定有逆定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题
A
解析：A.命题一定有逆命题，此选项说法正确；B.不是所有的定理一定有逆定理，如“全等三角形的对应角相等”没有逆定理，此选项说法错误；C.真命题的逆命题不一定是真命题，如“对顶角相等”的逆命题是假命题，此选项说法错误；D.假命题的逆命题不一定是假命题，如假命题“对应角相等的三角形全等”，其逆命题是真命题，此选项说法错误.故选A.
2 [2022·江苏无锡中考]请写出命题“如果a＞b，那么b－a＜0”的逆命题：?　如果b－a＜0，那么a＞b　?.?
如
果b－a＜0，那么a＞b
考点03 公理、定理
3. 下列真命题能作为公理的是 (　　)
A．对顶角相等
B．三角形的内角和是180°
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．内错角相等，两直线平行
4.“经过两点有且只有一条直线”是(　　)
A．公理 B．假命题
C．定义 D．以上都不是
C
A
5.命题“直角三角形的两个锐角互余”是(　　)
A．角的定义 B．假命题
C．公理 D．定理
分析：可以用逻辑推理的方法判断此命题是正确的
D
定义、命题、公理、定理之间的区别与联系：
(1)联系：这四者都是命题．
(2)区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据．
考点04 互逆定理
6. [2022·江苏无锡宜兴市二模]下列命题的逆命题成立的是?　①④　?.?
①同旁内角互补，两直线平行
②等边三角形是锐角三角形
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等
①④
④全等三角形的三条边对应相等
解析：①“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”，成立；②“等边三角形是锐角三角形”的逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，不成立；③“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题为“平方相等的两个实数相等”，不成立；④“全等三角形的三条边对应相等”的逆命题为“三条边对应相等的三角形全等”，成立.故答案为①④.
7.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
考点05 线段的垂直平分线
2个性质3个判定
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
8.已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？
证明：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD.
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∵ OP=OP，
PC=PD，
∴Rt△OCP≌ Rt△ODP（HL）.
∴ ∠CPO=∠DPO，OC=OD.
9.如图，OP为∠AOB 的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，则下列结论错误的是（ ）
A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
B
考点06 角平分线
分析：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC.
又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD，
DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE.
∵AC=BC， ∴AE=BC， ∴△DEB的周长为8cm.
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，
DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，则△DEB 的周长为（ ）
A.10cm B.7cm C.8cm D.不能确定
C
11.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线.
C
E
A
F
D
B
┐
┐
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF，
DB=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线.
12.如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
E
A
B
C
D
F
┌
┐
证明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°， ∴∠ABC=∠EDC.
∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠CED=∠CFB=90°.
∵在△BCF和△DCE中， ∠CFB=∠CED，
∠FBC=∠EDC，
BC=DC，
∴△BCF≌△DCE（AAS）.
∴CF=CE，即AC平分∠BAD.
D
13.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB 的平分线.
证明：过点E作EF⊥AD于点F，
∵∠B=∠C=90°， ∴DC⊥EC，EB⊥AB.
∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF.
∵E是BC的中点， ∴EC=EB.
又∵EF⊥AD，EB⊥AB，
∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线.
A
B
C
E
D
┌
┌
F
14.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.求证：△ABE≌△CBF.
证明：∵∠ABC=90°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
AE=CF，
AB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
考点07 判定直角三角形全等
15.如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明.
解：AB//CD，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°
∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC，
BE=CF，
∴ Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）.
∴∠B=∠C，则AB//CD.
C
A
B
D
E
F
D
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直AC的射线AM上运动，且PQ=AB.当点P运动到AC上什么位置时，△ABC与△QPA全等？
分析：△ABC和△QPA是直角三角形，题目中已经有一边相等.
①因为AB，PQ分别为Rt△ABC和Rt△QAP的斜边，可以令“BC=AP”，选择“HL”.
②因为AB，PQ分别为Rt△ABC和Rt△QAP的斜边，可以令“AC=AP”，选择“HL”.
D
解：①当点P运动到AP=BC的位置时，
在Rt△APQ和Rt△CBA中，
PQ=BA，
AP=BC，
∴Rt△APQ≌Rt△CBA（HL）.
∴AP=BC=5cm.

D
解：②当点P运动到AP=AC的位置时，
Rt△APQ和Rt△CBA中，
PQ=AB，
AP=CA，
∴Rt△APQ≌Rt△CAB（HL）.
∴AP=AC=10cm.
综上，当点P运动到使AP=5cm或者10cm位置时，
△APQ和△CAB全等.

17 [2022·浙江湖州中考]如图，在6×6的正方形（正方形ABCD）网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点.M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则在所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（　C　）
A.4
B.6
C.2
D.3
（第4题图）
C
2个定理
考点08 勾股定理
（第4题答图）
解析：如答图，△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长.根据勾股定理，得PM＝????????+????????＝????????＝2????????.故选C.
?
（第4题答图）
18.[2021·四川自贡中考]如图，A（8，0），C（－2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　D　）
A.（0，5）
B.（5，0）
C.（6，0）
D.（0，6）
（第5题图）
解析：根据已知，得AB＝AC＝10，OA＝8.在Rt△ABO中，∵OB＝?????????????????????????＝6，∴B（0，6）.故选D.
?
D
考点09 勾股定理的逆定理
19.[2022·河北石家庄模拟]如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　B　）
A.1，4，5
B.2，3，5
C.3，4，5
D.2，2，4
（第6题图）
B
解析：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是????×????????＝????????＝1；当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是????×????????＝????????；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是????×????????＝????????＝1.∵????????＞????????，∴选取的三块纸片的面积分别是2，3，5.故选B.
?
20.[2022·江苏盐城模拟]如图是正方形网格，则∠BAC＋∠CDE＝?　45°　?（A，B，C，D，E是网格线的交点）.?
（第7题图）
45°
（第7题答图）
解析：设小正方形的边长是1，连接AD，如答图.
∵AD＝????????+????????＝????????，CD＝????????+????????＝????????，AC＝????????+????????＝????????，∴AD＝CD，AD2＋CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°.∵AB∥DE，∴∠BAC＋∠DAC＋∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠BAC＋∠CDE＝45°.
?
（第7题答图）
2个应用
考点10 勾股定理的应用
21 [2022·浙江金华中考]如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，－2），下列各地点，离原点最近的是（　A　）
A.超市
B.医院
C.体育场
D.学校
（第8题图）
A
解析：如答图，点O到超市的距离为????????+????????＝????，点O到学校的距离为????????+????????＝????????，点O到体育场的距离为????????+????????＝????????，点O到医院的距离为????????+????????＝????????.∵????＜????????＝????????＜????????，∴离原点最近的是超市.故选A.
?
（第8题答图）
（第8题答图）
22.数学文化 中国非物质文化 [2022·江苏泰州中考]如图的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为?　????　?.?
?
（第9题图）
????　
?
（第9题答图）
解析：如答图，第一步走到①，第二步走到②.故走两步后的落点与出发点间的最短距离为????????+????????＝????.
?
（第9题答图）
考点11 勾股定理的逆定理的应用
23. [2022·广东茂名模拟]如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花.经测量，∠EDC＝90°，DC＝6 m，CE＝10 m，BD＝14 m，AB＝16 m，AE＝2 m.
（1）求DE的长；
解：（1）在Rt△EDC中，
∵∠EDC＝90°，DC＝6 m，CE＝10 m，
∴ED＝?????????????????????＝8（m）.
?
（第10题图）
（2）求四边形ABDE的面积.
解：（2）如答图，连接BE.
在Rt△EBD中，∵BD＝14 m，ED＝8 m，
∴BE2＝BD2＋ED2＝142＋82＝260（m2）.
∵AB＝16 m，AE＝2 m，
∴AB2＋AE2＝162＋22＝260（m2），∴AB2＋AE2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形，且∠A＝90°，
∴S△ABE＝????????AB·AE＝????????×16×2＝16（m2）.
又∵S△BDE＝????????BD·DE＝????????×14×8＝56（m2），
∴S四边形ABDE＝S△ABE＋????△????????????＝72（m2）.
?
（第10题图）
（第10题答图）
（第10题答图）
2种数学思想的运用
考点12 分类讨论思想的运用
24.[2022·广西百色中考]活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.例如，已知在△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（　C　）
?
A.2
B.2－3
C.2或
D.2或2－3
（第11题图）
C
（第11题答图）
解析：如答图，过点C作CH⊥AB于点H，在AB上取一点D，使CD＝CB，则DH＝BH.∵∠A＝30°，∴CH＝????????AC＝????????，AH＝?????????????????????????＝???????? ????.在Rt△CBH中，由勾股定理，得BH＝?????????????????????????＝?????????????＝????????，∴AB＝AH＋BH＝????????????＋????????＝2????，AD＝AH－DH＝????????????－????????＝????.故选C.
?
（第11题答图）
25. [2022·黑龙江牡丹江模拟]腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长是?　6或2????或4????　?.?
?
解析：①如答图（1），当AB＝AC＝5，AD＝4时，BD＝CD＝3，∴此时底边长为6；②如答图（2），当AB＝AC＝5，CD＝4时，AD＝3，∴BD＝2，∴BC＝????????+????????＝2????，∴此时底边长为2????；③如答图（3），当AB＝AC＝5，CD＝4时，AD＝?????????????????????????＝3，∴BD＝8，∴BC＝????????+????????＝4????，∴此时底边长为4????.综上可知，腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长是6或2????或4????.
?
6或2????
?
或4????
?
（第12题答图）
（第12题答图）
考点13 方程思想的运用
26. 数学文化 中国数学古典 [2021·江苏宿迁中考]《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深、葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），问：水深、芦苇长各多少尺？该问题中的水深是?　12　?尺.?
12
（第13题图）
（第13题答图）
（第13题答图）
解析：依题意画出图形，如答图.设芦苇长AC＝AC'＝x尺，则水深AB＝（x－1）尺.∵C'E＝10尺，∴C'B＝5尺.在Rt△AC'B中，52＋（x－1）2＝x2，解得x＝13，∴x－1＝12.故芦苇长13尺，水深是12尺.
(1)过点A,并且半径为5cm的圆的圆心的轨迹是 .
(2)底边为线段AB的等腰△ABC的顶点C的轨迹是 .
(3)在等腰三角形内部,到两腰距离相等的点的轨迹是 .
(4) 线段AB=10cm,到A和B的距离和等于10cm的点的轨迹是 .
以A点为圆心,5cm的长为半径的圆
线段AB的垂直平分线(AB的中点D除外)
底边上的高(中线)
线段AB
考点14 轨迹

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