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2023-2024学年山东省青岛市西海岸新区高二上学期期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.抛物线的焦点到准线的距离为
( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
3.若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是
( )
A. B.
C. D.
4.坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
5.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体各面都是全等的正多边形数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体已知一个正八面体的棱长都是如图，，分别为棱，的中点，则( )
A. B. C. D.
6.设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为
( )
A. B. C. D.
8.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知曲线( )
A. 若，则为椭圆
B. 若，则为双曲线
C. 若为椭圆，则其长轴长一定大于
D. 若为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于
10.阿波罗尼斯古希腊数学家，约公元前年的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有圆：和点，若圆上存在点，使其中为坐标原点，则的取值可以是
( )
A. B. C. D.
11.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是
( )
A. B.
C. D. 直线与所成角的余弦值为
12.已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则
( )
A. 的周长为 B.
C. 平分线的斜率为 D. 椭圆的离心率为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，则直线的方程为_________．
14.圆关于直线对称的圆的标准方程为___________．
15.已知为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点．若，则线段的长为 ．
16.，是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的倍，则椭圆的离心率为___．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知的三个顶点是，，．
求的面积；
若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且短轴长为．
求的方程；
若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程．
19.本小题分
如图，矩形中，，，为的中点，现将，分别沿，向上翻折，使点，分别到达点，的位置，且平面，平面均与平面垂直如图．

证明：、、、四点共面；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
数学家欧拉在年提出；三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且的欧拉线的方程为，记外接圆圆心记为求：
圆的方程；
已知圆：，过圆和圆外一点分别作两圆的切线，与圆切于点，与圆切于点，且，求点的轨迹方程．
21.本小题分
图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图．
求证：平面平面；
在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为．
求轨迹的方程；
过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，交直线于点且，设直线，，的斜率分别为，，，若，证明：为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】将抛物线化为标准方程，利用定义即可求解．
解：因为抛物线 可化为 ，则 ，
由抛物线的定义可知：焦点到准线的距离为 ，
即焦点到准线的距离为 ，
故选： ．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的投影向量，属于基础题．
根据空间向量的投影向量公式计算即可．
【解答】
解：向量，，设向量与向量的夹角为，
则向量在向量上的投影向量的模长为
，
所以向量在向量上的投影向量为
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】根据共面定理逐一判断即可．
解：因为 ，所以 ， ， 共面，
所以 不是空间的另一个基底，A错误．
因为 ，所以 ， ， 共面，
所以 不是空间的另一个基底，B错误．
假设存在，，使得 ，
则 ，显然无解，所以 ， ， 不共面，
所以 是空间的另一个基底，C正确．
因为 ，所以 ， ， 共面，
所以 不是空间的另一个基底，D错误．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】利用斜率公式求出 ，再利用三角函数求出 的范围，利用斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围．
本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意是相异的两个点，利用 求出斜率的范围，再利用倾斜角与斜率的关系求出倾斜角的范围，属于易错题．
解：因为点 ， 是相异两点，
，且 ，
设直线的倾斜角为 ，则
当 ，倾斜角 的范围为 ．
当 ，倾斜角 的范围为 ．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】根据正八面体的性质得到 ，然后利用线性运算和数量积的运算律计算即可．
解：
由正八面体的性质可得 ， ，则 ，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查范围与最值问题，直线的斜率的求法，属中档题．
利用斜率的计算公式，点到直线的距离公式，数形结合求解即可．
【解答】
解：曲线表示的是以点为圆心，为半径的半圆，
表示的是求点到点的斜率，半圆的左端点为，
所以，设，可得，
依题意知直线与圆相切时取得最大值，
根据圆心到直线距离等于半径可得，
，解得舍
故的取值范围是，
故本题选B．
7.【答案】
【解析】【分析】设右焦点为 ，通过双曲线的特点知原点 为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出 的长度及判断出 垂直于 ，通过勾股定理得到 的关系，进而求出双曲线的离心率．
解：如图，设右焦点为 ，则 为 的中点，
因为 ，所以 为 的中点，
所以 为 的中位线，所以 ， ，
因为 为圆 的切点，所以 ，
所以 ，
因为点 在双曲线右支上，所以 ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，即 ，
所以离心率 ，
故选：

8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义，抛物线的几何性质，属于中档题．
分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及图象可得，结合已知条件求得，即可．
【解答】
解：如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，
设，则由己知得，
由抛物线的定义得，
故，
在中，，，
又因为，
则，解得，
又因为，
所以解得．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质和几何意义，双曲线的性质和几何意义，属于基础题．
根据曲线所表示的图形求出对应的参数的取值范围，可判断选项的正误；求出椭圆长轴长的表达式，可判断选项的正误；利用双曲线的离心率公式可判断选项的正误．
【解答】
解：对于选项，若为椭圆，
则不正确；
对于选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确；
对于选项，当时，椭圆长轴长，
当时，椭圆长轴长，C正确；
对于选项，若为焦点在轴上的双曲线，
则，解得，
双曲线的离心率为
，D正确．
故答案选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆有关的轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，考查分析与计算能力，属于中档题．
设，由，得，又点在圆上，所以圆与圆有公共点，则，即可求解．
【解答】
解：设点，因为，
所以，
化简得，
即，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
由题意，点在圆上，
所以圆与圆有公共点，则，
即，
由，得，解得；
由，得，解得，
所以的取值范围为．
故选AB．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查向量思想以及运算求解能力，属于基础题．
利用向量的线性运算，向量的夹角，向量的模长以及数量积公式逐项分析判断即可．
【解答】
解：对于，，
则
，
则，选项A正确；
对于，，则，选项B正确；
对于，，选项C错误；
对于，，
则，，
又，
则，选项D正确．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】【分析】由分析知点为直线与椭圆的交点，故的周长为，可判断；设，由椭圆的定义和角平分线定理求出，，可判断；由余弦定理可判断；点在轴上方，设直线的倾斜角为，由两角差的正切公式求出可判断．
解：点关于平分线的对称点在直线上，
又点关于平分线的对称点也在椭圆上，
所以点为直线与椭圆的交点，故的周长为，故 A正确；
设的平分线交于点，设，
则，
所以，而，
设则，于是，
所以，， ，，，
所以，故 B正确；
在，由余弦定理可得：，
则，则，所以，故 D正确；
不妨设点在轴上方，由题意可知，点在椭圆的下顶点处，则，
，，
设直线的倾斜角为，则，
由对称性知平分线的斜率为或，故 C不正确．
故选：．
13.【答案】或
【解析】【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解．
解：当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，所以直线的方程为；
当直线在两坐标轴上的截距均不为时，
设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，
则直线的方程为，
又因为 直线过点，所以，
解得：，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或，
故答案为：或．
14.【答案】
【解析】【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心关于直线的对称点的坐标，即为对称圆圆心，又因为关于直线对称的圆半径不变，从而求出对称圆的方程．
解：圆，即，
表示以为圆心，半径为的圆，
设圆心关于直线对称点的坐标为，
由
解得，，
故圆心关于直线对称点的坐标为，
故对称圆的圆心为，
因为对称圆半径不变，所以对称圆半径为，
故所求对称圆方程为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线的位置关系以及弦长公式，属于中档题，
首先根据抛物线的性质转化，代入弦长公式即可求解．
【解答】
解：设，
由抛物线的性质可知，，
代入弦长公式，
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆定义的应用，是中档题．
设的内切圆半径为，分别写出与的面积，由的面积是面积的倍列式求椭圆的离心率．
【解答】解：如图：
点为的内心，
的面积是面积的倍，
设的内切圆半径为，
则
，
，则，
椭圆的离心率为．
故答案为：．
17.【答案】解：由，得直线的方程为，
，
点到直线的距离为；
所以的面积为．
因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，
当直线与平行，所以，所以：即．
当直线通过的中点，
所以，所以：，即．
综上：直线的方程为或．

【解析】【分析】先求直线的方程，再利用点到直线的距离可得三角形的高，结合面积公式可得答案；
分情况求解，所求直线可能与直线平行，也可能经过线段的中点，结合平行的特点及点斜式方程可得答案．
18.【答案】解：由题意可得椭圆中
又因为，解得，，
所以椭圆的方程为．
设，，则
两式相减，得，
又根据题意带入可得，
所以的斜率，
故的方程为，即．


【解析】【分析】根据椭圆离心率和的关系求解即可；
设，，利用点差法求解即可
19.【答案】解：证明：如图：

取，的中点，，连接，，如图，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
同理可得平面，所以，
在直角三角形中，，
所以，同理，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，是，的中点，所以，
所以，所以、、、四点共面．
在图中，，
所以，所以，
取的中点，连接，则，所以，
由知，，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，
，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，即
令，则，
又，设直线与平面所成角为，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．

【解析】【分析】分别取，的中点，，连接，，由面面垂直的性质可得平面，平面，故，再证明四边形是平行四边形，可得，从而可证明；
取的中点，可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
20.【答案】解：因，则的中点为，
又，则的中垂线方程为，
将其与欧拉线方程联立有，解得
故的外心为，则外接圆半径为，故圆的方程为．
设，由题有
，
．
因，则．
化简得：
所以点的轨迹方程为：．

【解析】【分析】由，，可知的中垂线方程为，将其与欧拉线联立，可得外心坐标，后可得外接圆的方程；
设，由题有，，后可得答案．
21.【答案】解：在图中取中点，连接，，
，，，，，
，，，四边形为矩形，
，，又，
为等边三角形又，
为等边三角形
在图中，取中点，连接，，
，为等边三角形，
，，
，又，
，
，又，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
以为坐标原点，，，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，，，，，设棱
上存在点满足题意，
．
解得：，即，
则，设平面的法向量，
则，令，则
到平面的距离为解得：，
，又平面的一个法向量，
，，
又二面角为锐二面角，
二面角的大小为．
【解析】本题考查面面垂直证明，线面角与存在性问题，属于拔高题．
先连接连结，连结交于点，然后证明面，即可证明面面垂直；
建立空间直角坐标系，假设存在，设，，根据到平面的距离为然求出，后分别求出平面和平面的法向量，即可求出二面角的大小。
22.【答案】解：由已知圆可化为标准方程：，即圆心，半径，
圆可化为标准方程：，即圆心，半径，，经分析可得，，则由题意可知，两式相加得，，
所以，点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，，，，所以，轨迹的方程为．
由题意直线的斜率一定存在，由知，，则椭圆的右焦点坐标为，
设直线方程为：，坐标为所以，
设，，将直线方程与椭圆方程联立得．恒成立，
由韦达定理知，且，，
则
．
故定值．

【解析】【分析】根据两圆内切和外切满足的几何关系，即可得，结合椭圆的定义即可求解，
联立直线与椭圆方程，根据两点斜率公式即可代入求解．
圆锥曲线中取值范围或者定值问题的 求解策略：
利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造关系，从而确定参数的取值或者范围；
利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
利用隐含的关系建立不等式或者方程，从而求出参数的取值或者范围；
利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
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