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原阳重点中学2023-2024学年上学期高一年级12月月考
数 学 试 卷
总分 150分 时长120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3. 命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
4. 若规定，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系是（ ）
A y＝m(1－x)2 B. y＝m(1＋x)2 C. y＝2m(1－x) D. y＝2m(1＋x)
已知，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
7 某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（ ）
A 2026年 B. 2027年 C. 2028年 D. 2029
8. 定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（ 　）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知函数的值域为，则的定义域可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知正实数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D.
11. （多选）已知函数定义域为，则函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
12. 设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．
13. 已知奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为________．
14. 若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________．
15. 若正数，满足，则的最大值为________．
16. 设函数，，（其中），
（1）________；
（2）若函数与的图象有3个交点，则实数的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求下列各式的值．
（1）；
（2）．
18. （1）已知集合，满足，，求实数，的值；
（2）已知集合，函数定义域为，若，求实数的取值范围．
19. 已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围．
20. 某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为，，其中为污水治理调节参数，且．
（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
（2）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？
21. （1）对任意，函数的值恒大于0，求实数的取值范围；
（2）不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
22. 已知函数和有相同的最小值，（e为自然对数的底数，且）
（1）求m；
（2）证明：存在直线与函数，恰好共有三个不同交点；
（3）若（2）中三个交点的横坐标分别为，，，求的值．
月考数学答案
一、单项选择
1---4 AABD 5----8 AACB
多项选择:
9.AB 10.ABC
11.【详解】因为函数的定义域为，对称轴为直线，开口向下，所以函数满足，所以.
又且图象的对称轴为直线，所以由二次函数的图象与性质可知，函数的单调递增区间是和.故选BC.
12.【详解】解：作出函数图像如下：
又有三个不同的实数根，
所以函数与直线有三个交点，
由图像可得：.
故选：AB
填空：13 9
14 【详解】关于的不等式的解集为.
当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
15.因为正数，满足，所以，即，
则，
当且仅当且，即时取等号，
此时取得最小值9，则的最大值为．
16.【详解】由题意，函数，
所以；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得，
画出函数和的图象，如图所示，
由，可得；又由，可得，
由图象可知，若两个函数的图象有3个交点时，可得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：；.
解答题：
17.【答案】（1） （2）
18.（1），，故，
故，解得；
（2）由题意得，解得，故，
，当时，，解得，
当时，需满足或，
解得或，
综上，实数的取值范围是.
19.【详解】（1）时， ，
令可得，即．
的零点是．
（2）令，显然，则．
有两个零点，且为单调函数，
方程在上有两解，
，解得：．
的取值范围是．
20.因为，.
当时，，即，解得.
所以一天中早上点该厂的污水污染指数最低.
【小问2详解】
设，则当时，.
设,
则,
在上是减函数，在上是增函数，
则,
因为,
则有 ，解得，
又，故调节参数应控制在内.
21.【详解】（1）由题意，当时，恒成立，
则，
因为，所以，
所以，由单调递减，知当时，，
即.
（2）因为对于任意的成立，
所以对于任意的成立.
即恒成立，
由二次不等式的性质可得，
，
所以，解得
故实数入的取值范围为.
22.【答案】（1）0. （2）见解析； （3）2.
【解析】（1）根据，单调性求出最小值，两个最小值相等求出m的值.
（2）根据函数单调性与图像判断并证明即可.
（3）根据三个交点处函数值相等，再由函数式的结构得到三个交点的横坐标分别为，，之间的关系，转化为即可求解.
【小问1详解】
由，
时，
时
则在单调递减，在单调递增，
所以最小值；
时，，
时，
所以在单调递减，在单调递增，
所以最小值；
，
即
令，
所以在定义域上单调递增，
因为，
所以解得.
小问2详解】
由（1）知，即；
因为，
所以当时，考虑与解的个数，
根据，单调性作图如下：
易知时，；时，；
时，；时，；
则在区间与各有一个根，
在区间与各有一个根，
要证：存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点，
即证：在上有交点.
当时，
令
，所以在上单调递增，
，，
所以存在，使，
即在上有交点，得证.
所以存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点.
【小问3详解】
如图与函数，恰好共有三个不同的交点，
三个交点的横坐标分别为，，，，
则有，
因为
而单调递减，所以，
因为，
而单调递增，所以，
又因为.
所以.
【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，利用同构去解决三个交点横坐标之间的数量关系.

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