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湖南省长沙市长郡教育集团2023-2024学年八年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（2023八上·长沙期中）我们生活在一个充满对称的世界中：许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受!在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·长沙期中）小明和小红两位小朋友在做拼三角形的游戏，小明手上有两根木棒长分别为和，小红手上有四根木棒，长度如下：，，，，小明从小红手中选一根要能拼成一个三角形的木棒，小明应选的木棒长度是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023八上·长沙期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023八上·长沙期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2016八上·卢龙期中）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD
6．（2023八上·长沙期中）如图，在中，已知，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2016八上·思茅期中）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（　　）
A．360° B．250° C．180° D．140°
8．（2023八上·长沙期中）如图，已知，添加下列一个条件后，无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2023八上·长沙期中）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（　　）
A． B． C． D．16或
10．（2023八上·长沙期中）如图，平分，于点，于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2023八上·长沙期中）已知，，则的值是　 　．
12．（2023八上·长沙期中）已知边形的内角和等于，则的值是　 　．
13．（2023八上·长沙期中）如图，已知线段是等边的高，点在上，且，则　 　．
14．（2023八上·长沙期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接，若，，则的周长为　 　．
15．（2023八上·长沙期中）如图，已知，，，，垂足点分别是，，，，则的长为　 　．
16．（2023八上·长沙期中）如图，已知是的中线，，，则线段的取值范围是　 　．
三、解答题（本题共8个小题，共72分）
17．（2023八上·长沙期中） 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（2023八上·长沙期中） 先化简，再求值：，其中，．
19．（2023八上·长沙期中） 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，在小正方形的顶点上．
⑴在图中画出与关于直线成轴对称的；
⑵求的面积；
⑶在直线上找一点（在答题纸上图中标出），使的值最小．
20．（2023八上·长沙期中） 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．（2023八上·长沙期中） 如图，已知在与中，与交于点，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
22．（2017八上·兰陵期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=3，求DF的长．
23．（2023八上·长沙期中） 阅读材料，解决后面的问题：
若，求的值．
解：，
，
即：，，，
解得：，，．
（1）若，求的值；
（2）已知等腰的两边长，，满足，求该的周长；
（3）已知正整数，，满足不等式，求的值．
24．（2023八上·长沙期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足．
图1 图2 图3
（1）求的面积；
（2）如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标；
（3）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．
①若是的角平分线，求证：；
②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】根据轴对称图形定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。选项A不是轴对称图形；选项B不是轴对称图形；选项C是轴对称图形；选项D不是轴对称图形。
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形定义可解答本题。
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】 三角形三边关系：在一个三角形中，任意两边之和必大于第三边，任意两边之差必定小于第三边或两个最短的边之和大于第三边，并且最大边减去最小边小于第三边。
由题意得：7-4<第三边<7+4，
即：3<第三边<11，
∴小明应选的木棒长度是8cm。
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系，先算出两边之差是3，两边之和是11，则第三边大于3且小于11，故8cm。
3．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】 ∵点关于轴对称，
∴横坐标不变，即11；纵坐标互为相反数，即-2，
∴对称点坐标为（11，-2）。
故答案为：B.
【分析】 关于轴对称的点的坐标 ，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可作答。
4．【答案】C
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】A、（x+1）2=x2+2x+1，故A错；
B、（-2nm2）3=-8n2n6，故B错；
C、x·x3=x4，故C正确；
D、a6÷a3=a3，故D错。
故答案为：C.
【分析】A、根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2计算；
B、根据幂的乘方（am）n=amn(m、n都是正整数）计算；
C、根据同底数幂的乘方am·an=am+n(m、n都是正整数）计算；
D、根据同底数幂的除法am÷an=am-n(a ≠ 0，m、n都是正整数，且m>n)计算。
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
【分析】此题需对每一个选项进行验证从而求解．
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】 ∵在中，，
∴∠B=∠ADB=70°，∠DAC=∠C，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，即∠ADB=2∠C=70°，
∴∠C=35°，
∴=180°-∠B- ∠C=180°-70°-35°=75°。
故答案为：A.
【分析】 在中，的度数=180°-∠B- ∠C，根据已知信息 ， ，可得 ∠C=35°，所以=75°。
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．
故选B．
【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
8．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、添加CB=CD，
在ΔABC与Δ ADC中
所以ΔABC ≌ Δ ADC（SSS），故A项不符合题意；
B、添加，
在ΔABC与Δ ADC中，
所以ΔABC ≌ Δ ADC（SAS），故B项不符合题意；
C、添加BCA=DC时，不能判定ΔABC ≌ Δ ADC，故C项符合题意；
D、添加，
在ΔABC与Δ ADC中，
所以RtΔABC ≌Rt Δ ADC（HL），故D项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）成立条件可判断。
9．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】①当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm；
②当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为8cm、4cm、4cm，此时4+4=8，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系：在一个三角形中，任意两边之和必大于第三边，任意两边之差必定小于第三边或两个最短的边之和大于第三边，并且最大边减去最小边小于第三边， 确定等腰三角形的另一边为8cm，故三边和为20cm.
10．【答案】D
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】∵AD平分∠BAC， 于点，于点，
∴∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，故②正确；
∵在△AED中，DE+AE>AD，
∴DF+AE>AD，故①正确；
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AEDRt△AFD（HL)，
∴AE=AF，
∵平分 ，
∴ADEF，故③正确；
∵S△ABD=AB×DE，S△ACD=AC×DF，
又∵DE=DF，
∴S△ADB：S△ACD=AB：AC，故④正确。
综上①②③④都正确，
故答案为：D.
【分析】根据三角形角平分线性质得出DE=DF，故②正确；根据三角形三边关系在△AED中DF+AE>AD，故①正确；根据全等三角形的判定推出Rt△AEDRt△AFD，根据全等三角形的性质得出AE=AF，AD是∠BAC平分线，得出ADEF，故③正确；根据三角形面积公式，S△ADB和S△ACD的高DE=DF，所以面积之比等于底边长之比，即AB：AC，故④正确。
11．【答案】20
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵x2-y2=(x+y)(x-y)
又∵x+y=-5，x-y=-4，
∴原式=20.
故答案为：20.
【分析】利用平方差公式 a -b =(a+b)(a-b ），即可求解。
12．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据题意，得（n-2)×180°=720°，
解得n=6.
故答案为：6.
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2)×180°列式计算即可解答。
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵线段是等边的高，
∴∠DAC=∠DAB=∠BAC=30°，
∵，
∴∠ADE=∠AED===75°，
故答案为：75°。
【分析】先根据等边三角形的性质求出∠DAC的度数，再根据等腰三角形的性质即可求出∠ADE的度数。
14．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】由题意可知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AD+BD=AD+CD=AC=6，
∵AB=4，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10，
故答案为：10.
【分析】根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。即可得到BD=CD，即可得到△ABD的周长
15．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】∵，，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°，
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA，
在△CED和△ADC中，
∴△CED△ADC，（AAS)
∴BE=DC=2，CE=AD=5，
∴DE=EC-CD=5-2=3.
故正确答案为：3.
【分析】根据 ，， 可得∠E=∠ADC=90°，根据等式性质可得∠EBC=∠DCA，，进而得出△CED△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值。
16．【答案】
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】
如图，延长AD到E，使DE=AD，
∵是的中线，
∴BD=CD，
在△A BC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC (SAS)，
∴CE=AB，
∵AB=4，AC=6，
∴6-4∴1故答案为：1【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解.
17．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据先计算幂的乘方，再计算单项式相除可解答；
(2)利用积的乘方逆运算计算即可；
(3)利用多项式乘多项式，再合并同类项；
(4)利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项.
18．【答案】解：原式，
将，．代入原式得．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据整式的混合运算顺序去括号化简，利用完全平方公式、平方差公式解（2x+3y)2-（2x+3y)（2x-3y)化简合并同类项得3y(4x+6y)，再除以3y计算可得原式=4x+6y。将x、y值代入得-6.
19．【答案】解：⑴如图所示：
⑵的面积；
⑶如图所示，点即为所求．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】(1)首先确定A、B、C三点关于l轴的对称点位置，顺次连接可得即可△A'B'C'；
(2)利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可；
(3)连接B'C，于直线的交点就是p点位置，求出PB+PC的值即可。
20．【答案】（1）解：，，
原式；
（2）解：，，
．
则．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1) 根据(a-b)2= a2+b2- 2ab，代入 a - b和ab的值就可以求出a2 + b2的值；
(2)根据(a+b)2 =a2十2ab+b2=a2 - 2ab + b2 + 4ab= (a- b)2 + 4ab，代入a - b和ab的值就可以求出(a+b)2的值，进而求出a十b值.
21．【答案】（1）解：在和中，
．
（2）解：，，．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定AAS可得；
（2）根据，可得EB=EC，可得∠EBC=∠ECB根据三角形外角和可得∠EBC=∠AEB.
22．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°
（2）解：∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=3，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=6．
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
23．【答案】（1）解：，．
，，解得：，．
；
（2）解：，，
，即，．，是等腰的两边长，
当是腰，是底时，的周长；
当是腰，是底时，的周长．
（3）解：，，
，，，为正整数，所以，即，
或1或，即或5或3，
当时，或1或，或2.5或1.5且，，为正整数，，，，
；
当时，，即，与题意不符，舍去；
当时，，即，与题意不符，舍去．
综上所述，．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1))根据完全平方公式配方得：x 2 +y2+6x- 8y+ 25= (x+ 3)2 + (y- 4)2，据此即可求解；
(2)将a2 +b2 = 10a + 12b- 61配凑成(a-5)2+(b-6)2= 0，分类讨论当a是腰，b是底时和当b是腰，a是底时，两种情况即可求解；
(3)将已知式配方后可得(2a-b)2 +3(b-4)2 +4(c-5)2 < 4，结合 a，b，c是正整数可得C= 5；分类讨论当b= 4 时，当b= 5时，当b = 3时三种情况即可.
24．【答案】（1）解：，，，即，．
，，的面积；
（2）或
（3）解：①延长，，它们相交于点，
等腰直角中，，，
且，，又，，
，．
是的角平分线，，
，，且为公共边，，，
即，．
②的大小不变，总为，理由如下：
作，，垂足分别是，，，
由①可知：，，
，，
是的角平分线，．
【知识点】三角形的面积；三角形的综合
【解析】【解答】解：（2）以AB为斜边构造等腰直角三角形时，可分两种情况：点C在第一象限或第二象限。
①如图1，点C在第一象限时，过C作CGy轴于点G；过A作AFGC于点F；
则AF=OG=OB+BG=2+BG，GF=OA=6，∠CGB=∠AFC=90°；
∴∠BCG+∠CBG=90°
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠ACF=90°，
∴∠CBG=∠ACF，
在△CBG和△ACF中，
∴△CBG△ACF（AAS)，
∴BG=CF，CG=AF=OG=BG+OB=BG+2，
∵CG+CF=GF=6，
∴2+BG+BG=6，
∴BG=2，
∴OG=CG=2+2=4，
∴（4，4）。
②如图1-1，当C在第四象限时，过C作CGx轴于G，过A作AFGC于点F，
同①得：△CBG△ACF（AAS)，
∴BG=CF，CG=AF=OG=BG-OB=BG-2，
∵CG=CF=GF=OA=6，
∴BG-2+BG=6，
∴BG=4，
∴OG=CG=4-2=2，
∴C(2，-2)，
综上，C的坐标为（4，4）或（2，-2）。
【分析】(1)由绝对值和偶次方的非负性质得x一6= 0， y-2=0，则x= 6， y=2，进而得OA= 6 OB = 2，然后由三角形面积公式列式计算即可；
(2)分两种情况，①点C在第一象限时， ②点C在第四象限时，过点C作CG⊥y轴于点G，过点A作 AF⊥GC于点F，证△CBG≌△ACF (AAS)得BG=CF，CG=AF=OG，即可解决问题；
(3)①延长BC、AE，相交于点F，证△BCD≌ △ACF(ASA) ，得BD= AF，再△ABE≌△FBE(ASA)，得AE= FE，则AF= 2AE，即可得出结论；②过点C作CM⊥BD于点M，CN⊥AE于点N 证△BCM≌△ACN( AAS)，得CM = CN则EC是∠BEN的角平分线，即可解决问题.
1 / 1湖南省长沙市长郡教育集团2023-2024学年八年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（2023八上·长沙期中）我们生活在一个充满对称的世界中：许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受!在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】根据轴对称图形定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。选项A不是轴对称图形；选项B不是轴对称图形；选项C是轴对称图形；选项D不是轴对称图形。
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形定义可解答本题。
2．（2023八上·长沙期中）小明和小红两位小朋友在做拼三角形的游戏，小明手上有两根木棒长分别为和，小红手上有四根木棒，长度如下：，，，，小明从小红手中选一根要能拼成一个三角形的木棒，小明应选的木棒长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】 三角形三边关系：在一个三角形中，任意两边之和必大于第三边，任意两边之差必定小于第三边或两个最短的边之和大于第三边，并且最大边减去最小边小于第三边。
由题意得：7-4<第三边<7+4，
即：3<第三边<11，
∴小明应选的木棒长度是8cm。
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系，先算出两边之差是3，两边之和是11，则第三边大于3且小于11，故8cm。
3．（2023八上·长沙期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】 ∵点关于轴对称，
∴横坐标不变，即11；纵坐标互为相反数，即-2，
∴对称点坐标为（11，-2）。
故答案为：B.
【分析】 关于轴对称的点的坐标 ，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可作答。
4．（2023八上·长沙期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】A、（x+1）2=x2+2x+1，故A错；
B、（-2nm2）3=-8n2n6，故B错；
C、x·x3=x4，故C正确；
D、a6÷a3=a3，故D错。
故答案为：C.
【分析】A、根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2计算；
B、根据幂的乘方（am）n=amn(m、n都是正整数）计算；
C、根据同底数幂的乘方am·an=am+n(m、n都是正整数）计算；
D、根据同底数幂的除法am÷an=am-n(a ≠ 0，m、n都是正整数，且m>n)计算。
5．（2016八上·卢龙期中）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
【分析】此题需对每一个选项进行验证从而求解．
6．（2023八上·长沙期中）如图，在中，已知，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】 ∵在中，，
∴∠B=∠ADB=70°，∠DAC=∠C，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，即∠ADB=2∠C=70°，
∴∠C=35°，
∴=180°-∠B- ∠C=180°-70°-35°=75°。
故答案为：A.
【分析】 在中，的度数=180°-∠B- ∠C，根据已知信息 ， ，可得 ∠C=35°，所以=75°。
7．（2016八上·思茅期中）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（　　）
A．360° B．250° C．180° D．140°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．
故选B．
【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
8．（2023八上·长沙期中）如图，已知，添加下列一个条件后，无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、添加CB=CD，
在ΔABC与Δ ADC中
所以ΔABC ≌ Δ ADC（SSS），故A项不符合题意；
B、添加，
在ΔABC与Δ ADC中，
所以ΔABC ≌ Δ ADC（SAS），故B项不符合题意；
C、添加BCA=DC时，不能判定ΔABC ≌ Δ ADC，故C项符合题意；
D、添加，
在ΔABC与Δ ADC中，
所以RtΔABC ≌Rt Δ ADC（HL），故D项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）成立条件可判断。
9．（2023八上·长沙期中）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（　　）
A． B． C． D．16或
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】①当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm；
②当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为8cm、4cm、4cm，此时4+4=8，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系：在一个三角形中，任意两边之和必大于第三边，任意两边之差必定小于第三边或两个最短的边之和大于第三边，并且最大边减去最小边小于第三边， 确定等腰三角形的另一边为8cm，故三边和为20cm.
10．（2023八上·长沙期中）如图，平分，于点，于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】∵AD平分∠BAC， 于点，于点，
∴∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，故②正确；
∵在△AED中，DE+AE>AD，
∴DF+AE>AD，故①正确；
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AEDRt△AFD（HL)，
∴AE=AF，
∵平分 ，
∴ADEF，故③正确；
∵S△ABD=AB×DE，S△ACD=AC×DF，
又∵DE=DF，
∴S△ADB：S△ACD=AB：AC，故④正确。
综上①②③④都正确，
故答案为：D.
【分析】根据三角形角平分线性质得出DE=DF，故②正确；根据三角形三边关系在△AED中DF+AE>AD，故①正确；根据全等三角形的判定推出Rt△AEDRt△AFD，根据全等三角形的性质得出AE=AF，AD是∠BAC平分线，得出ADEF，故③正确；根据三角形面积公式，S△ADB和S△ACD的高DE=DF，所以面积之比等于底边长之比，即AB：AC，故④正确。
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2023八上·长沙期中）已知，，则的值是　 　．
【答案】20
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵x2-y2=(x+y)(x-y)
又∵x+y=-5，x-y=-4，
∴原式=20.
故答案为：20.
【分析】利用平方差公式 a -b =(a+b)(a-b ），即可求解。
12．（2023八上·长沙期中）已知边形的内角和等于，则的值是　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据题意，得（n-2)×180°=720°，
解得n=6.
故答案为：6.
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2)×180°列式计算即可解答。
13．（2023八上·长沙期中）如图，已知线段是等边的高，点在上，且，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵线段是等边的高，
∴∠DAC=∠DAB=∠BAC=30°，
∵，
∴∠ADE=∠AED===75°，
故答案为：75°。
【分析】先根据等边三角形的性质求出∠DAC的度数，再根据等腰三角形的性质即可求出∠ADE的度数。
14．（2023八上·长沙期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接，若，，则的周长为　 　．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】由题意可知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AD+BD=AD+CD=AC=6，
∵AB=4，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10，
故答案为：10.
【分析】根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。即可得到BD=CD，即可得到△ABD的周长
15．（2023八上·长沙期中）如图，已知，，，，垂足点分别是，，，，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】∵，，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°，
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA，
在△CED和△ADC中，
∴△CED△ADC，（AAS)
∴BE=DC=2，CE=AD=5，
∴DE=EC-CD=5-2=3.
故正确答案为：3.
【分析】根据 ，， 可得∠E=∠ADC=90°，根据等式性质可得∠EBC=∠DCA，，进而得出△CED△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值。
16．（2023八上·长沙期中）如图，已知是的中线，，，则线段的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】
如图，延长AD到E，使DE=AD，
∵是的中线，
∴BD=CD，
在△A BC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC (SAS)，
∴CE=AB，
∵AB=4，AC=6，
∴6-4∴1故答案为：1【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解.
三、解答题（本题共8个小题，共72分）
17．（2023八上·长沙期中） 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据先计算幂的乘方，再计算单项式相除可解答；
(2)利用积的乘方逆运算计算即可；
(3)利用多项式乘多项式，再合并同类项；
(4)利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项.
18．（2023八上·长沙期中） 先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式，
将，．代入原式得．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据整式的混合运算顺序去括号化简，利用完全平方公式、平方差公式解（2x+3y)2-（2x+3y)（2x-3y)化简合并同类项得3y(4x+6y)，再除以3y计算可得原式=4x+6y。将x、y值代入得-6.
19．（2023八上·长沙期中） 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，在小正方形的顶点上．
⑴在图中画出与关于直线成轴对称的；
⑵求的面积；
⑶在直线上找一点（在答题纸上图中标出），使的值最小．
【答案】解：⑴如图所示：
⑵的面积；
⑶如图所示，点即为所求．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】(1)首先确定A、B、C三点关于l轴的对称点位置，顺次连接可得即可△A'B'C'；
(2)利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可；
(3)连接B'C，于直线的交点就是p点位置，求出PB+PC的值即可。
20．（2023八上·长沙期中） 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：，，
原式；
（2）解：，，
．
则．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1) 根据(a-b)2= a2+b2- 2ab，代入 a - b和ab的值就可以求出a2 + b2的值；
(2)根据(a+b)2 =a2十2ab+b2=a2 - 2ab + b2 + 4ab= (a- b)2 + 4ab，代入a - b和ab的值就可以求出(a+b)2的值，进而求出a十b值.
21．（2023八上·长沙期中） 如图，已知在与中，与交于点，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）解：在和中，
．
（2）解：，，．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定AAS可得；
（2）根据，可得EB=EC，可得∠EBC=∠ECB根据三角形外角和可得∠EBC=∠AEB.
22．（2017八上·兰陵期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=3，求DF的长．
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°
（2）解：∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=3，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=6．
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
23．（2023八上·长沙期中） 阅读材料，解决后面的问题：
若，求的值．
解：，
，
即：，，，
解得：，，．
（1）若，求的值；
（2）已知等腰的两边长，，满足，求该的周长；
（3）已知正整数，，满足不等式，求的值．
【答案】（1）解：，．
，，解得：，．
；
（2）解：，，
，即，．，是等腰的两边长，
当是腰，是底时，的周长；
当是腰，是底时，的周长．
（3）解：，，
，，，为正整数，所以，即，
或1或，即或5或3，
当时，或1或，或2.5或1.5且，，为正整数，，，，
；
当时，，即，与题意不符，舍去；
当时，，即，与题意不符，舍去．
综上所述，．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1))根据完全平方公式配方得：x 2 +y2+6x- 8y+ 25= (x+ 3)2 + (y- 4)2，据此即可求解；
(2)将a2 +b2 = 10a + 12b- 61配凑成(a-5)2+(b-6)2= 0，分类讨论当a是腰，b是底时和当b是腰，a是底时，两种情况即可求解；
(3)将已知式配方后可得(2a-b)2 +3(b-4)2 +4(c-5)2 < 4，结合 a，b，c是正整数可得C= 5；分类讨论当b= 4 时，当b= 5时，当b = 3时三种情况即可.
24．（2023八上·长沙期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足．
图1 图2 图3
（1）求的面积；
（2）如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标；
（3）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．
①若是的角平分线，求证：；
②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
【答案】（1）解：，，，即，．
，，的面积；
（2）或
（3）解：①延长，，它们相交于点，
等腰直角中，，，
且，，又，，
，．
是的角平分线，，
，，且为公共边，，，
即，．
②的大小不变，总为，理由如下：
作，，垂足分别是，，，
由①可知：，，
，，
是的角平分线，．
【知识点】三角形的面积；三角形的综合
【解析】【解答】解：（2）以AB为斜边构造等腰直角三角形时，可分两种情况：点C在第一象限或第二象限。
①如图1，点C在第一象限时，过C作CGy轴于点G；过A作AFGC于点F；
则AF=OG=OB+BG=2+BG，GF=OA=6，∠CGB=∠AFC=90°；
∴∠BCG+∠CBG=90°
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠ACF=90°，
∴∠CBG=∠ACF，
在△CBG和△ACF中，
∴△CBG△ACF（AAS)，
∴BG=CF，CG=AF=OG=BG+OB=BG+2，
∵CG+CF=GF=6，
∴2+BG+BG=6，
∴BG=2，
∴OG=CG=2+2=4，
∴（4，4）。
②如图1-1，当C在第四象限时，过C作CGx轴于G，过A作AFGC于点F，
同①得：△CBG△ACF（AAS)，
∴BG=CF，CG=AF=OG=BG-OB=BG-2，
∵CG=CF=GF=OA=6，
∴BG-2+BG=6，
∴BG=4，
∴OG=CG=4-2=2，
∴C(2，-2)，
综上，C的坐标为（4，4）或（2，-2）。
【分析】(1)由绝对值和偶次方的非负性质得x一6= 0， y-2=0，则x= 6， y=2，进而得OA= 6 OB = 2，然后由三角形面积公式列式计算即可；
(2)分两种情况，①点C在第一象限时， ②点C在第四象限时，过点C作CG⊥y轴于点G，过点A作 AF⊥GC于点F，证△CBG≌△ACF (AAS)得BG=CF，CG=AF=OG，即可解决问题；
(3)①延长BC、AE，相交于点F，证△BCD≌ △ACF(ASA) ，得BD= AF，再△ABE≌△FBE(ASA)，得AE= FE，则AF= 2AE，即可得出结论；②过点C作CM⊥BD于点M，CN⊥AE于点N 证△BCM≌△ACN( AAS)，得CM = CN则EC是∠BEN的角平分线，即可解决问题.
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