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7.2 万有引力定律
学习目标 核心素养
1.知道太阳对行星的引力提供了行星做圆周运动的向心力，能利用开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星之间引力的表达式. 2.通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，理解万有引力定律的内容、含义及适用条件. 3.认识引力常量测量的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题． 1、物理观念：万有引力定律。 2、科学思维：了解万有引力定律的发现过程，推导万有引力表达式。 3、科学探究：万有引力定律的普遍性。 4、科学态度与责任：万有引力定律对人力探索未知世界的作用。
知识点1 行星与太阳间的引力
1．行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动．行星受到一个指向圆心(太阳)的引力，这个引力提供行星做匀速圆周运动的向心力．
2．若行星的质量为m，行星到太阳的距离为r，行星公转的周期为T，则行星需要的向心力的大小F＝，结合＝k，可知F＝4π2k，即F∝.
3．行星与太阳的引力在本质上和太阳与行星的引力地位完全相当，即F′∝.
4．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律知F＝F′，所以有F∝，写成等式就是F＝G.
知识点2 月—地检验
1．检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为同一性质的力．
2．检验方法：(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝G.
(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝G.
(3)＝，由于r≈60R，所以＝.
(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．
知识点3 万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式：F＝G，其中G叫作引力常量．
3.牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值．
英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值．通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
万有引力和重力的关系
1．地球表面处重力与万有引力的关系
除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力．地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力mg，如图所示．
(1)当物体在两极时：向心力F′＝0，mg0＝F引，重力达到最大值，mg0＝G.
方向与引力方向相同，指向地心．
(2)当物体在赤道上时：
F′＝mω2R最大，此时重力最小，
mg1＝G－mω2R
方向与引力方向相同，指向地心．
(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力mg在增大，重力加速度增大．
因为F′、F引、mg不在一条直线上，重力mg与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg(4)由于地球自转角速度非常小，在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G.
2．重力与高度的关系
若物体距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小．
（2023春 东城区校级期末）关于万有引力，以下说法中正确的是（　　）
A．只有天体之间才有万有引力
B．万有引力的大小与两物体间的距离成反比
C．地球对太阳的万有引力比太阳对地球的万有引力小
D．任何两个有质量的物体之间都存在万有引力
（2023 凉州区开学）万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一。它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一起来，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的运用。现有两个质地均匀完全相同的实心球，它们间的万有引力为F，若两球心间的距离变为原来的两倍，则此时两球间的万有引力变为（　　）
A． B． C． D．
（2023春 湖北期末）华中科技大学引力中心团队在引力常量的测量中作出了突出贡献，于2018年得到了当时最精确的引力常量G的值。下列说法正确的是（　　）
A．G值与物体间的距离有关
B．G值是卡文迪什最先测量出来的
C．G值是牛顿最先测出的
D．G值与物体的质量有关
（2023春 隆阳区校级期末）下列关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（　　）
A．不能看成质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看成质点的两物体间的引力才能用计算
C．由知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力只存在于质量大的天体之间
（2023春 平顶山期末）如图所示，是卡文迪什测量万有引力常数的实验示意图，根据胡克定律及转动理论可知，两平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡杆的水平力F与石英丝N发生扭转的角度Δθ成正比，即F＝kΔθ，k的单位为N/rad，Δθ可以通过固定在T形架上平面镜M的反射点在弧形刻度尺上移动的弧长求出来，弧形刻度尺的圆心正是光线在平面镜上的入射点，半径为R。已知两平衡球质量均为m，两施力小球的质量均为m′，与对应平衡球的距离均为r，施加给平衡球的力水平垂直平衡杆，反射光线在弧形刻度尺上移动的弧长为Δl，则测得万有引力常数为（平面镜M扭转角度为Δθ时，反射光线扭转角度为2Δθ）（　　）
A． B．
C． D．
（2023春 龙凤区校级月考）已知太阳的质量大约是月亮质量的2.7×107倍，太阳到地球的距离大约是月球到地球距离的3.9×102倍，若太阳对地球的引力大小为F1，月亮对地球的引力大小为F2，则约为（　　）
A．130 B．178 C．226 D．274
（2023春 蒙阴县期中）关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（　　）
A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大
C．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的2倍
D．地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则
（2023春 长安区期中）开普勒认为所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的焦点上。如图所示，地球绕太阳运动的轨道就是一个椭圆，太阳处在焦点F上，OF距离为d，OB距离为R称为长半轴，OC距离为r称为短半轴，A点离太阳距离较近称为近日点，B点离太阳距离较远称为远日点。若已知太阳的质量为M，地球质量为m，万有引力常量为G，当地球在远日点B时，受到太阳的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
（2023春 雨山区校级期中）对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　）
A．该表达式仅对质量较大的天体适用
B．当r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．质量为m1、m2的物体之间的引力是一对平衡力
D．质量为m1、m2的物体之间的引力总是大小相等的
（2023 天宁区校级学业考试）发现万有引力定律和测出引力常量的物理学家分别是（　　）
A．牛顿、库仑 B．开普勒、库仑
C．牛顿、卡文迪许 D．伽利略、卡文迪许
（多选）（2023春 宁江区校级期中）要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可采用的是（　　）
A．使两物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增大为原来的2倍，质量不变
D．使两物体的质量和距离都减小为原来的
（多选）（2023春 大名县校级期中）关于万有引力和重力的关系，下列说法正确的是（　　）
A．地面附近的物体所受到的重力就是万有引力
B．若地球自转角速度变大，则赤道上物体所受重力变小
C．物体所受重力方向总是与万有引力方向相同
D．在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和
（2022春 滦南县校级期中）如甲图所示实验装置结构图，下列说法错误的是（　　）
A．该实验体现了物理学中放大的思想
B．该实验是牛顿用来测量万有引力常量
C．该实验装置被称为卡文迪许扭称实验
D．该实验测量了万有引力常量，使万有引力定律的具体运用得以实现
（2022春 乌兰浩特市校级期末）卡文迪什通过扭秤实验第一次测出了引力常量。某位科学家在重做扭秤实验过程中，将质量分别为M、m和半径分别为R、r的两均匀小球分别放置，两小球球面间的最小距离为L，通过巧妙的放大方法测得两小球之间的万有引力大小为F，则所测万有引力常量G的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
（2022春 西城区校级期中）万有引力定律发现的历史是物理学中一段波澜壮阔的历史，开普勒、牛顿等科学家都贡献了自己的智慧。开普勒在第谷留下的浩繁的观测数据中发现了行星运动的三大定律：①所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；②对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积；③所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即：K．牛顿是经典物理学的集大成者，他利用数学工具和开普勒定律发现万有引力定律之时，虽未得到万有引力常量G的具体值，但在不停的思考中猜想到：拉住月球使它围绕地球运动的力与使苹果落地的力，是否都是地球的引力，并且都与太阳和行星间的引力遵循统一的规律—平方反比规律？牛顿给出了著名的“月—地检验”方案：他认为月球绕地球近似做匀速圆周运动，首先从运动学的角度计算出了月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度an1；他又从动力学的角度计算出了物体在月球轨道上的向心加速度an他认为可以通过比较两个加速度的计算结果是否一致验证遵循统一规律的猜想。
（1）牛顿对于万有引力定律的推导过程严谨而繁琐，中学阶段可以借鉴牛顿的思想（即从运动角度推理物体的受力）由简化的模型得到。若将行星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，圆周运动半径为r，行星质量为m，太阳质量为M，请你结合开普勒定律、圆周运动、牛顿定律等知识，证明：太阳与行星之间的引力与它们质量的乘积成正比，它们距离平方成反比，即：F引∝。
（2）牛顿时代已知如下数据：月球绕地球运行的周期T、地球半径R、月球与地球间的距离60R、地球表面的重力加速度g。
a．请你分别从运动学的角度和动力学的角度推导出“月—地检验”中的两个加速度an1、an2的大小表达式；
b．已知月球绕地球做圆周运动的周期约为T＝2.4×106s，地球半径约为R＝6.4×106m，计算时可取g≈π2m/s结合题中的已知条件，求上述两个加速度大小的比值（保留两位有效数字），并得出合理的结论。
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7.2 万有引力定律
学习目标 核心素养
1.知道太阳对行星的引力提供了行星做圆周运动的向心力，能利用开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星之间引力的表达式. 2.通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，理解万有引力定律的内容、含义及适用条件. 3.认识引力常量测量的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题． 1、物理观念：万有引力定律。 2、科学思维：了解万有引力定律的发现过程，推导万有引力表达式。 3、科学探究：万有引力定律的普遍性。 4、科学态度与责任：万有引力定律对人力探索未知世界的作用。
知识点1 行星与太阳间的引力
1．行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动．行星受到一个指向圆心(太阳)的引力，这个引力提供行星做匀速圆周运动的向心力．
2．若行星的质量为m，行星到太阳的距离为r，行星公转的周期为T，则行星需要的向心力的大小F＝，结合＝k，可知F＝4π2k，即F∝.
3．行星与太阳的引力在本质上和太阳与行星的引力地位完全相当，即F′∝.
4．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律知F＝F′，所以有F∝，写成等式就是F＝G.
知识点2 月—地检验
1．检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为同一性质的力．
2．检验方法：(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝G.
(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝G.
(3)＝，由于r≈60R，所以＝.
(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．
知识点3 万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式：F＝G，其中G叫作引力常量．
3.牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值．
英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值．通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
万有引力和重力的关系
1．地球表面处重力与万有引力的关系
除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力．地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力mg，如图所示．
(1)当物体在两极时：向心力F′＝0，mg0＝F引，重力达到最大值，mg0＝G.
方向与引力方向相同，指向地心．
(2)当物体在赤道上时：
F′＝mω2R最大，此时重力最小，
mg1＝G－mω2R
方向与引力方向相同，指向地心．
(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力mg在增大，重力加速度增大．
因为F′、F引、mg不在一条直线上，重力mg与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg(4)由于地球自转角速度非常小，在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G.
2．重力与高度的关系
若物体距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小．
（2023春 东城区校级期末）关于万有引力，以下说法中正确的是（　　）
A．只有天体之间才有万有引力
B．万有引力的大小与两物体间的距离成反比
C．地球对太阳的万有引力比太阳对地球的万有引力小
D．任何两个有质量的物体之间都存在万有引力
【解答】解：AD、自然界中任意两个有质量的物体间都存在万有引力作用，故A错误、D正确；
B、万有引力的大小与两物体间的距离的平方成反比，故B错误；
C、地球对太阳的万有引力和太阳对地球的万有引力为一对作用力与反作用力，大小相等，故C错误。
故选：D。
（2023 凉州区开学）万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一。它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一起来，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的运用。现有两个质地均匀完全相同的实心球，它们间的万有引力为F，若两球心间的距离变为原来的两倍，则此时两球间的万有引力变为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据万有引力定律公式F＝G
可知将这两个质点之间的距离变为原来的2倍，则万有引力的大小F′F．故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2023春 湖北期末）华中科技大学引力中心团队在引力常量的测量中作出了突出贡献，于2018年得到了当时最精确的引力常量G的值。下列说法正确的是（　　）
A．G值与物体间的距离有关
B．G值是卡文迪什最先测量出来的
C．G值是牛顿最先测出的
D．G值与物体的质量有关
【解答】解：AD．根据万有引力定律知，引力常量G是一个常数，与任何物理量无关，故AD错误；
BC．引力常量G的值是在牛顿发现万有引力定律100多年后，由卡文迪许通过扭秤实验得到的，是卡文迪什最先测量出来的，故B正确，C错误。
故选：B。
（2023春 隆阳区校级期末）下列关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（　　）
A．不能看成质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看成质点的两物体间的引力才能用计算
C．由知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力只存在于质量大的天体之间
【解答】解：A、万有引力存在于一切物体之间，两个质点之间存在万有引力，即使不能看作质点的两物体间也存在相互作用的引力，故A错误；
B、万有引力定律的公式适用于质点间的万有引力，非质点间的引力也可以用这个公式来算，但是不能直接得到引力，需要用微分的思想来对物体分割计算万有引力，故B错误；
C、由知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，故C正确；
D、万有引力存在于任何两个有质量的物体之间，并不是只存在于质量大的天体之间，故D错误。
故选：C。
（2023春 平顶山期末）如图所示，是卡文迪什测量万有引力常数的实验示意图，根据胡克定律及转动理论可知，两平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡杆的水平力F与石英丝N发生扭转的角度Δθ成正比，即F＝kΔθ，k的单位为N/rad，Δθ可以通过固定在T形架上平面镜M的反射点在弧形刻度尺上移动的弧长求出来，弧形刻度尺的圆心正是光线在平面镜上的入射点，半径为R。已知两平衡球质量均为m，两施力小球的质量均为m′，与对应平衡球的距离均为r，施加给平衡球的力水平垂直平衡杆，反射光线在弧形刻度尺上移动的弧长为Δl，则测得万有引力常数为（平面镜M扭转角度为Δθ时，反射光线扭转角度为2Δθ）（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：所施加的力为万有引力，由万有引力定律得：
根据平面镜反射定律及几何关系可知，石英丝N发生扭转的角度为：
又F＝kΔθ
联立解得：，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023春 龙凤区校级月考）已知太阳的质量大约是月亮质量的2.7×107倍，太阳到地球的距离大约是月球到地球距离的3.9×102倍，若太阳对地球的引力大小为F1，月亮对地球的引力大小为F2，则约为（　　）
A．130 B．178 C．226 D．274
【解答】解：根据万有引力定律得：
其中M太＝2.7×107M月，r1＝3.9×102r2
代入数据得：，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2023春 蒙阴县期中）关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（　　）
A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大
C．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的2倍
D．地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则
【解答】解：A．万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用，宇宙中各物体之间均存在万有引力，故A错误；
B．万有引力公式只适用于两个可以看成质点的物体，r趋近于0时，不能看作质点，万有引力的公式不适用，故B错误；
C．由万有引力公式
当质量均变为原来的2倍，则万有引力会增加为原来的4倍，故C错误；
D．在地面上，有
h处有
联立解得
故D正确。
故选：D。
（2023春 长安区期中）开普勒认为所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的焦点上。如图所示，地球绕太阳运动的轨道就是一个椭圆，太阳处在焦点F上，OF距离为d，OB距离为R称为长半轴，OC距离为r称为短半轴，A点离太阳距离较近称为近日点，B点离太阳距离较远称为远日点。若已知太阳的质量为M，地球质量为m，万有引力常量为G，当地球在远日点B时，受到太阳的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当地球在远日点B时，地球的轨道半径为：r′＝R+d
根据万有引力定律可得，地球在远日点B时，
受到太阳的万有引力大小为：
故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023春 雨山区校级期中）对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　）
A．该表达式仅对质量较大的天体适用
B．当r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．质量为m1、m2的物体之间的引力是一对平衡力
D．质量为m1、m2的物体之间的引力总是大小相等的
【解答】解：A、自然界的任何两个物体都是相互吸引的，对于质量较大的天体适用，对质量较小的一般物体也适用，故A错误；
B、万有引力定律的表达式适用于质点间引力的计算，当r趋于零时，两物体不能看成质点，公式不再适用，故不能根据公式得出，故B错误；
CD、质量为m1、m2的物体之间的引力是一对相互作用力，由牛顿第三定律可知，物理之间的引力大小相等，故C错误，D正确；
故选：D。
（2023 天宁区校级学业考试）发现万有引力定律和测出引力常量的物理学家分别是（　　）
A．牛顿、库仑 B．开普勒、库仑
C．牛顿、卡文迪许 D．伽利略、卡文迪许
【解答】解：发现万有引力定律的科学家是牛顿，首次比较精确地测出引力常量的科学家是卡文迪许。牛顿发现万有引力定律之后，并没有测得引力常量，引力常量是由卡文迪许用扭秤实验测得的。故ABD错误，C正确。
故选：C。
（多选）（2023春 宁江区校级期中）要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可采用的是（　　）
A．使两物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增大为原来的2倍，质量不变
D．使两物体的质量和距离都减小为原来的
【解答】解：A.使两物体的质量都减到原来的一半，距离不变，根据万有引力定律，可知万有引力变为原来的，故A正确；
B.使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变，根据万有引力定律，可知万有引力变为原来的，故B正确；
C.使两物体的距离增为原来的2倍，质量不变，根据万有引力定律，可知万有引力变为原来的，故C正确；
D.使两物体的质量和距离都减到原来的，根据万有引力定律，可知万有引力不变，故D错误；
故选：ABC。
（多选）（2023春 大名县校级期中）关于万有引力和重力的关系，下列说法正确的是（　　）
A．地面附近的物体所受到的重力就是万有引力
B．若地球自转角速度变大，则赤道上物体所受重力变小
C．物体所受重力方向总是与万有引力方向相同
D．在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和
【解答】解：A．地面附近物体所受到的重力是由于万有引力而产生的，它只是万有引力的一个分力，故重力并不是万有引力，故A错误；
B．若地球自转角速度变大，由牛顿第二定律得：
可知，物体受的万有引力不变，所以赤道上物体所受重力变小，故B正确；
C．万有引力的方向指向地心，而重力的方向竖直向下，两个方向不同，只有在南北两极和赤道上，方向才一致，故C错误；
D．在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和，故D正确。
故选：BD。
（2022春 滦南县校级期中）如甲图所示实验装置结构图，下列说法错误的是（　　）
A．该实验体现了物理学中放大的思想
B．该实验是牛顿用来测量万有引力常量
C．该实验装置被称为卡文迪许扭称实验
D．该实验测量了万有引力常量，使万有引力定律的具体运用得以实现
【解答】解：A、本实验利用了光学上：入射光线方向不变，反射光线转过的角度是平面镜转过角度的两倍，使M转动的效果放大，体现了物理学中放大的思想，故A正确；
BCD、该实验装置被称为卡文迪许用来测量了万有引力常量，被称为卡文迪许扭称实验，从而使万有引力定律的具体运用得以实现。故B错误，CD正确；
本题选错误的，故选：B。
（2022春 乌兰浩特市校级期末）卡文迪什通过扭秤实验第一次测出了引力常量。某位科学家在重做扭秤实验过程中，将质量分别为M、m和半径分别为R、r的两均匀小球分别放置，两小球球面间的最小距离为L，通过巧妙的放大方法测得两小球之间的万有引力大小为F，则所测万有引力常量G的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：将质量分别为M、m和半径分别为R、r的两均匀小球分别放置，两小球球面间的最小距离为L，由万有引力定律有，
解得，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2022春 西城区校级期中）万有引力定律发现的历史是物理学中一段波澜壮阔的历史，开普勒、牛顿等科学家都贡献了自己的智慧。开普勒在第谷留下的浩繁的观测数据中发现了行星运动的三大定律：①所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；②对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积；③所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即：K．牛顿是经典物理学的集大成者，他利用数学工具和开普勒定律发现万有引力定律之时，虽未得到万有引力常量G的具体值，但在不停的思考中猜想到：拉住月球使它围绕地球运动的力与使苹果落地的力，是否都是地球的引力，并且都与太阳和行星间的引力遵循统一的规律—平方反比规律？牛顿给出了著名的“月—地检验”方案：他认为月球绕地球近似做匀速圆周运动，首先从运动学的角度计算出了月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度an1；他又从动力学的角度计算出了物体在月球轨道上的向心加速度an他认为可以通过比较两个加速度的计算结果是否一致验证遵循统一规律的猜想。
（1）牛顿对于万有引力定律的推导过程严谨而繁琐，中学阶段可以借鉴牛顿的思想（即从运动角度推理物体的受力）由简化的模型得到。若将行星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，圆周运动半径为r，行星质量为m，太阳质量为M，请你结合开普勒定律、圆周运动、牛顿定律等知识，证明：太阳与行星之间的引力与它们质量的乘积成正比，它们距离平方成反比，即：F引∝。
（2）牛顿时代已知如下数据：月球绕地球运行的周期T、地球半径R、月球与地球间的距离60R、地球表面的重力加速度g。
a．请你分别从运动学的角度和动力学的角度推导出“月—地检验”中的两个加速度an1、an2的大小表达式；
b．已知月球绕地球做圆周运动的周期约为T＝2.4×106s，地球半径约为R＝6.4×106m，计算时可取g≈π2m/s结合题中的已知条件，求上述两个加速度大小的比值（保留两位有效数字），并得出合理的结论。
【解答】解：（1）由牛顿第二定律可知，行星做圆周运动的向心力等于行星与恒星之间的引力：
①
根据开普勒第三定律可知：k…②
由①②可知∝③
由对称性，可知F引④
根据牛顿第三定律可知，力的作用是相互的，可知F引∝⑤
从而可知：F引∝；
（2）a．月球绕地球做匀速圆周运动，由运动学公式：an1＝ω2×60R，
解得：an1
质量为m的物体在地面上受到的重力：mh∝
质量为m的物体在月球轨道上受到的引力：F＝man2∝
解得：an2
b．由以上结果得：，代入已知数值得：0.96
由以上结果可以看出，在误差范围内可认为a1＝a2，这说明物体在地面上所受重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，遵循与距离的平方成反比的规律。
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