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第6章　圆周运动
第3节　向心加速度
导入
环节一：明确向心加速度的存在
（1）分析图中的小球或木块在做什么运动呢
匀速圆周运动
环节一：明确向心加速度的存在
（2）对小球或木块进行受力分析，判断什么力提供了向心力，并画出对应位置的合力及速度的示意图。
Fn
G
FT
Fn
G
Ff
v
v
环节一：明确向心加速度的存在
（3）通过以上分析判断物体在做匀速圆周运动时是否具有加速度，并说明理由。
Fn
G
FT
Fn
G
Ff
v
v
环节一：明确向心加速度的存在
视角1：动力学视角
由于做匀速圆周运动的物体总受到指向圆心的合力，合力不为0，由牛顿第二定律可知加速度不为0。
视角2：运动学视角
由于做匀速圆周运动的物体的速度时刻在变化，由加速度的定义可知加速度不为0。
环节二：通过双线索推理，分析向心加速度的大小及方向
小球做匀速圆周运动的线速度大小为v，角速度为ω，圆周半径为r，质量为m。推理分析做匀速圆周运动的物体在A点的加速度的方向有什么特点，大小满足什么规律。
提示：如何通过受力得出物体的加速度计算式呢
环节二：通过双线索推理，分析向心加速度的大小及方向
从动力学视角：物体做匀速圆周运动，总受到指向圆心的向心力的作用，由牛顿第二定律可得Fn=man。
由于向心力始终指向圆心，故向心加速度的方向也始终指向圆心。
环节二：通过双线索推理，分析向心加速度的大小及方向
从运动学视角引导提示：
（1）如何从运动学角度获得加速度
（2）如何获得Δt时间内的速度变化量Δv
（3）由此得到的加速度是小球运动到A点时的加速度吗
（4）如何才能得到A点的瞬时加速度呢
（5）当Δt趋近于0时，加速度的表达式是什么，指向什么方向呢
分析过程中可能用到的关系：弧Δs=Δθ·r。
环节二：通过双线索推理，分析向心加速度的大小及方向
从A点到B点，设半径转过的角度为Δθ，速度矢量转过的角度为Δφ，由几何关系可知，Δθ=Δφ。
环节二：通过双线索推理，分析向心加速度的大小及方向
当Δt趋近于0时，Δv的方向无限趋近于与vA垂直，且沿半径AO的方向指向圆心。
环节二：通过双线索推理，分析向心加速度的大小及方向
向心加速度的其他表达形式
环节三：通过实例分析，加深学生对向心加速度表达式的理解
（1）请通过推理分析比较自行车做匀速圆周运动时三个点的向心加速度的大小。
环节三：通过实例分析，加深学生对向心加速度表达式的理解
（2）通过以上分析过程及向心加速度的表达式，你能否获得向心加速度an与轨迹半径r之间的关系呢
①当角速度一定时，向心加速度与半径成正比。
②当线速度一定时，向心加速度与半径成反比。
环节四：评估学生对向心加速度的掌握情况
一圆锥摆的摆绳长为L，小球质量为m，绳子的上端固定，使小球在水平面内做圆周运动。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时。
（1）小球运动的向心加速度an的大小为多少
（1）由牛顿第二定律可得man =mgtan θ，
解得向心加速度an =gtan θ。
环节四：评估学生对向心加速度的掌握情况
一圆锥摆的摆绳长为L，小球质量为m，绳子的上端固定，使小球在水平面内做圆周运动。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时。
（2）通过计算分析：要增大夹角θ，应该如何调整角速度ω。
（2）由向心加速度的表达式可得an=ω2r，其中r=Lsin θ。
结合（1）的结果可得cos θ=，分析可知，当角速度增大时，绳与竖直方向的夹角变大。
环节四：评估学生对向心加速度的掌握情况
一圆锥摆的摆绳长为L，小球质量为m，绳子的上端固定，使小球在水平面内做圆周运动。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时。
（3）通过计算分析：增加绳长L，要保证小球在同一水平面内做匀速圆周运动，应该如何调整角速度ω。
（3）要保证小球在同一水平面上做匀速圆周运动，即保证圆锥摆的高度不变，可知h=Lcos θ 一定，由以上分析可得h=Lcos θ=，由此可得，若仍要小球在同一水平面上运动，则要保持小球的角速度不变。
课堂练习
C
1.如图所示，某同学用细线拴一小球使其在一水平面内做匀速圆周运动，下列物理量保持不变的是 （ ）
A.细线对小球的拉力
B.小球的向心加速度
C.小球做匀速圆周运动的周期
D.小球的线速度
2.关于向心加速度，下列说法中正确的是 （ ）
A.向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量
B.向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
C.向心加速度是描述角速度变化快慢的物理量
D.向心加速度的方向始终保持不变
课堂练习
A
课堂练习
3.如图所示，门上有a和b两个质点，若它们与门一起绕轴OO转动，两个质点a、b的角速度大小分别为ωa和ωb，向心加速度大小分别为aa和ab，则 （ ）
A.ωa >ωb
B.ωa <ωb
C.aa D.aa >ab
C
4.如图所示为皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中
皮带不打滑，则 （ ）
A.a、c两点的角速度大小之比为1∶1
B.a、c两点的向心加速度大小之比为1∶2
C.b、d两点的角速度大小之比为1∶1
D.b、c两点的向心加速度大小之比为2∶1
课堂练习
C

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