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第1章　功和机械能
第1节　机　械　功　　　 　　　　　　
一、机械功的含义
任务驱动　用一定的力斜拉小车移动时,拉力方向与小车的位移方向有一定的夹角,拉力对小车做功了吗
提示:做功了,做的功等于力和力方向上位移的乘积。
1.做功的条件:
如果_______某物体,并使该物体在__________________
_____,我们就说力对这个物体做了功。
2.功的定义:
作用于某物体的恒力大小为F,该物体沿_________运动
位移为s,则___________叫机械功,简称功。
施力于
力的方向上移动一段
距离
力的方向
F和s的乘积
3. 公式:W=________。
(1)α是力与_____方向之间的夹角,s为物体对___的位移。
(2)该公式只适用于_____做功。
(3)功是__量。
(选填: A.标　　　B.矢)
Fscosα
位移
地
恒力
A
4.单位:
国际单位制中,功的单位是_____,简称___,符号是__。
1 J=1 _____。
焦耳
焦
J
N·m
二、机械功的计算
任务驱动　飞机降落的时候,打开尾部的减速伞。在这个过程中,减速伞拉力的方向与飞机位移的方向相反,拉力对飞机做功了吗 做了什么功
提示:拉力对飞机做了负功。
1.正功和负功:
2.几个力的总功的求法:
(1)先由W=Fscos α计算各个力对物体所做的功W1、
W2、W3、…然后求所有力做功的_______,即
W总=W1+W2+W3+…
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合,然
后由W总=_________计算总功,此时α为F合的方向与s的
方向间的夹角。
代数和
F合scosα
主题一　机械功的公式和正负
【生活情境】
情境1:如图甲所示,运动员举重时举着杠铃不动;如图乙所示,足球在水平地面上滚动。
【问题探究】
(1)举杠铃的力对杠铃做功了吗
提示:举着杠铃不动,杠铃没有发生位移,举杠铃的力对杠铃没有做功。
(2)重力对球做功了吗
提示:足球在水平地面上滚动,重力方向竖直向下,球的位移方向水平,重力对球没有做功。
情境2:甲图中人拉车向前运动,乙图中人拉车阻止车前进。
【问题探究】
(1)甲图中人对小车做什么功 为什么
提示:人对小车做正功　力和位移的夹角是锐角。
(2)乙图中人对小车做什么功 为什么
提示:人对小车做负功　力和位移的夹角是钝角。
【结论生成】
1.功是过程量( 物理观念)
描述了力的作用效果在空间上的累积,它总与一个具体过程相联系。
2.公式W=Fscos α的含义(科学思维)
(1)相关性:由公式W=Fscos α可以看出力对物体做功,只与F、s、α有关,与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素均无关。
(2)同时性:计算时应注意F与s必须具有同时性,即s必须是力F作用过程中物体发生的位移。
(3)同一性:同一个客观运动,相对于不同的参考系,位移s是不同的。在中学物理中约定,计算功都以地面为参考系,即s应理解为“受力质点的对地位移”。
(4)适用性:明确公式W=Fscos α适用于计算恒力做功,若是变力做功,此公式不再适用。
3.正功、负功的物理意义(物理观念)
(1)功的正、负由力和位移之间的夹角决定,所以功的正负不表示方向,而只能说明做功的力对物体来说是动力还是阻力。
(2)功是标量,只有量值,没有方向。功的正、负并不表示功的方向,而且也不是数量上的正与负。我们既不能说“正功与负功的方向相反”,也不能说“正功大于负功”,它们仅表示相反的做功效果。
【典例示范】
如图所示的人,没有对物体做功的是 (　　)
【解析】选A。根据功的定义可知,力对物体是否做功关键是看力及力的方向上的位移两个因素,上述情境中,A项在力的方向上没有位移,故人对墙没做功,应选A项。
【规律方法】判断力对物体做功正、负的思路
(1)要抓住做功的两个条件:力及力的方向上的位移。
设力和位移的夹角为α,那么,力和位移的夹角为
0≤α< ,力对物体做正功;α= ,力对物体不做功;
<α≤π,力对物体做负功。
(2)明确正功和负功的意义。
【探究训练】
1.下列关于做功的说法中,正确的是 (　　)
A.凡是受力作用的物体,一定有力对物体做功
B.凡是发生了位移的物体,一定有力对物体做功
C.只要物体受力的同时又有位移发生,则一定有力对物体做功
D.只要物体受力,又在力的方向上发生了位移,则一定有力对物体做功
【解析】选D。做功的两个不可缺少的因素是:力和在力的方向上的位移,也就是说,只有力或只有位移,是不符合做功条件的,故选项A、B错误;若物体发生位移的同时也受力的作用,当力与位移垂直时,此力并不做功,故选项C错误,选项D正确。
2.光滑的水平面上放着一辆小车,站在小车上的人拉系在墙壁上的水平绳子,使小车和人在一起向右加速运动,则下列说法正确的是 (　　)
A.绳子的拉力对人做了负功
B.绳子的拉力对小车做了正功
C.小车对人的摩擦力对人做了正功
D.人对小车的摩擦力对小车做了正功
【解析】选D。绳子对人的拉力方向向右,小车和人一起向右加速运动,拉力对人做正功,由于拉力未作用在小车上,所以拉力对小车不做功,A、B均错误;小车对人的摩擦力水平向左,则小车对人的摩擦力对人做负功,C错误;人对小车的静摩擦力方向水平向右,则此静摩擦力对小车做正功,D正确。
【补偿训练】
1.(多选)下列说法中正确的是 (　　)
A.功是矢量,正负表示其方向
B.功是标量,正负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C.力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系
D.力对物体做的功总是在某过程中完成的,所以功是一个过程量
【解析】选B、C、D。功是标量,是过程量,功的正负不代表其大小,也不代表其方向,只说明做功的力是动力还是阻力。
2.如图所示的四幅图是小明提包回家的情境,小明提包的力不做功的是 (　　)
【解析】选B。根据功的概念及做功的两个因素可知,只有同时满足力及在力的方向上有位移两个条件时,力对物体才做功,A、C、D做功,B没有做功,选B。
主题二　求恒力做功的两个思路
【生活情境】
光滑的水平面上,两个互相垂直的水平作用力F1和F2作用在同一物体上,使物体运动,如图所示。物体通过一段位移时,力F1对物体做功4 J,力F2对物体做功3 J。
【问题探究】
力F1与F2的合力对物体做的功为多少
提示:合力的功W合=WF1+WF2=7 J。
【结论生成】
求恒力做功的两个思路(科学思维)
(1)先确定物体所受的合力,再根据公式W合=F合scos α求解合力的功。该方法适用于物体的合力不变的情况,常见的是发生位移s过程中,物体所受的各力均没有发生变化。求解流程:
(2)先根据W=Fscos α,求出每个分力做的功W1、W2…Wn,再根据W总=W1+W2+…+Wn,求解合力的功,即合力做的功等于各个分力做功的代数和。
该方法的适用范围更广,求解流程:
【典例示范】
如图所示,质量为m=2 kg的物体静止在水平地面上,受到与水平地面夹角为θ=37°、大小F=10 N的拉力作用,物体移动了s=2 m,物体与地面间的动摩擦因数μ=0.3,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。求:
(1)拉力F所做的功W1。
(2)摩擦力f所做的功W2。
(3)重力G所做的功W3。
(4)弹力N所做的功W4。
(5)各力所做的总功W。
【解析】(1)对物体进行受力分析,如图所示。
W1=Fscos θ=10×2×0.8 J=16 J
(2)N=G-Fsin θ
=20 N-10×0.6 N=14 N
f=μN=0.3×14 N=4.2 N
W2=fscos 180°=-4.2×2 J=-8.4 J
(3)W3=Gscos 90°=0
(4)W4=Nscos 90°=0
(5)W=W1+W2+W3+W4=7.6 J
也可由合力求总功
F合=Fcos θ-f=10×0.8 N-4.2 N=3.8 N
F合与s方向相同,所以W=F合s=3.8×2 J=7.6 J
答案:(1)16 J　(2)-8.4 J　(3)0　(4)0　(5)7.6 J
【规律方法】计算总功的一般步骤
(1)对物体进行正确的受力分析,明确物体受到哪几个力作用,以及每个力的大小和方向。
(2)分析每一个力作用过程中所对应的位移,根据功的定义式W=Fscos α,求出每一个力所做的功。
(3)将各个力所做的功进行代数求和,即可计算出总功。
(4)若各个力是同时作用在物体上,也可先求出各个力的合力,再根据功的定义式求出合力所做的总功。
【探究训练】
如图所示,坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m,在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下,沿水平地面向右移动了一段距离s。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ,雪橇受到的 (　　)
A.支持力做功为mgs
B.重力做功为mgs
C.拉力做功为Fscos θ
D.滑动摩擦力做功为-μmgs
【解析】选C。支持力和重力与位移垂直,不做功,A、B错误;拉力和摩擦力分别做功为WF=Fscos θ,
Wf=-μ(mg-Fsin θ)s,C正确,D错误。
【补偿训练】
1.如图所示,物体在力的作用下在水平面上发生一段位移s,试分别计算这四种情况下力F对物体所做的功。设在这四种情况下力F和位移s的大小都相同:F=10 N,s=1 m,角θ的大小如图所示,分别说明每种情况下力F做功的正负,并求出功。
【解析】甲图中力F做正功,
W=Fscos (180°-θ)=Fscos 30°=5 J。
乙图中力F做负功,
W=Fscos (180°-θ)=Fscos 150°=-5 J。
丙图中力F做正功,W=Fscos 30°=5 J。
丁图中力F做正功,W=Fs=10 J。
答案:见解析
2.如图所示,利用斜面从货车上卸货,每包货物的质量m=20 kg,斜面倾角α=37°,斜面的长度l=0.5 m,货物与斜面间的动摩擦因数μ=0.2,求货物从斜面顶端滑到底端的过程中受到的各个力所做的功以及合外力做的功。(g取10 m/s2)
【解析】斜面上的货物受到重力G,
斜面支持力N和摩擦力f共三个力的作用。货物位移的方向沿斜面向下,可以用正交分解法,将货物所受的重力分解到与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向。如图所示,可以看出,三个力中重力和摩擦力对货物做功,而斜面支持力对货物没有做功。其中重力G对货物做的功W1=mglsin 37°=20×10×0.5×0.6 J=60 J。
支持力N对货物做功W2=0。
摩擦力f对货物做负功
W3=μmgcos 37°·lcos 180°=
-0.2×20×10×0.8×0.5 J=-16 J。
所以,外力做的总功为
W=W1+W2+W3=(60+0-16) J=44 J。
若先计算合外力再求功,则合外力做的功
W=F合l=(mgsin 37°-μmgcos 37°)l=
(20×10×0.6-0.2×20×10×0.8)×0.5 J=44 J。
答案:重力做的功60 J　支持力做的功0　摩擦力做的功-16 J　合力做的功44 J
主题三　变力做功的求法
【生活情境】
如图所示,磨杆长为R,在杆端施以与杆垂直且大小不变的力F。
【问题探究】
求杆绕轴转动一周过程中力F所做的功。
提示:磨杆绕轴转动过程中,力的方向不断变化,不能直接用公式W=Flcos α进行计算。这时,必须把整个圆周分成许多小弧段,使每小弧段都可以看作是这段弧的切线,即可以看成是这段的位移。这样,由于F的大小不变,加之与位移的方向相同,因而对于每小段圆弧均可视为恒力做功。杆绕轴转动一周所做功的总和为:W=W1+W2+…+Wn=F·Δl1+F·Δl2+…+F·Δln
因为Δl1+Δl2+…+Δln=2πR
所以W=F·2πR。
【结论生成】
求变力做功的四种常用方法　 (科学思维)
1.平均值法:当力F的大小发生变化,且F与l成线性关系
时,F的平均值 ,用 计算F做的功。
2.图像法:变力做的功W可用F-l图线
与l轴所围成的面积表示。l轴上方的
面积表示力对物体做正功的多少,l轴
下方的面积表示力对物体做负功的多少。
3.分段法(或微元法):当力的大小不变,力的方向时刻与速度同向(或反向)时,把物体的运动过程分为很多小段,这样每一小段可以看成直线,先求力在每一小段上做的功,再求和即可,力做的总功W=Fs路或W=-Fs路。空气阻力和滑动摩擦力做功可以写成力与路程的乘积就是这个原理。
4.等效替换法:若某一变力做的功和某一恒力做的功相等,则可以用求得的恒力的功来替代变力做的功。
【典例示范】
用铁锤将一铁钉击入木块,设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时,能把铁钉击入木块内1 cm。铁锤击第二次时,能击入多深 (设铁锤每次做功相等)
【解析】法一:铁锤每次击打都用来克服铁钉阻力做功,
但摩擦阻力不是恒力,其大小与深度成正比,F=kx,可用
平均阻力来代替。
如图所示,第一次击入深度为x1,
平均阻力 = kx1,
做功为W1= x1= k 。
第二次击入深度为x1到x2,平均阻力 = k(x2+x1),
位移为x2-x1,做功为W2= (x2-x1)= k( )。
两次做功相等,W1=W2,
可解得:x2= x1≈1.41 cm,
Δx=x2-x1=0.41 cm。
法二:(图像法)因为阻力F=kx,以F为纵坐标,F方向上的
位移x为横坐标,作出F-x图像(如图所示),图线与横轴
所围成的面积的值等于F对铁钉做的功。
由于两次做功相等,故有:S1=S2(面积),
即: k = k(x2+x1)(x2-x1),
所以Δx=x2-x1≈0.41 cm。
答案:0.41 cm
【探究训练】
如图所示,某人用大小不变的力F拉着放在光
滑水平面上的物体,开始时与物体相连的绳和
水平面间的夹角是α,当拉力F作用一段时间后,
绳与水平面间的夹角变为β。已知图中的高度h,求绳的拉力T对
物体所做的功。(绳的质量、滑轮的质量及绳与滑轮间的摩擦不
计)
【解析】设绳的拉力T对物体做的功为WT,人的拉力F对
绳做的功为WF,由题意知T=F,WT=WF
在绳与水平面间的夹角由α变为β的过程中,拉力F的
作用点的位移大小为Δs=l1-l2。由W=Fs,得
WF=FΔs=Fh( ),
故绳子的拉力T对物体做的功
WT=WF=Fh( )。
答案: Fh( )
【补偿训练】
1.如图所示,一根绳子绕过高4 m的滑轮(大小、摩擦均不计),绳的一端拴一质量为10 kg的物体m,另一侧沿竖直方向的绳被人拉住。若人拉住绳子前进3 m,使物体匀速上升,g取10 m/s2。则人拉绳所做的功为 (　　)
A.500 J　　　B.300 J　　　
C.100 J　　　D.50 J
【解析】选C。拉力是变力,但拉力做的功等于物体克
服重力做的功,所以求拉力做的功可以转化为求重力做
的功。物体上升的位移h= m-4 m=1 m,重力做的功
W=-mgh=-10×10×1 J=-100 J,所以人拉绳所做的功
W′=-W=100 J,故选C。
2.如图所示,在水平面上,有一弯曲的槽道 ,槽道由半径分别
为 和R的两个半圆构成。现用大小恒为F的拉力将一光滑小球
从A点沿槽道拉至B点,若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致,
则此过程中拉力F所做的功为(　　)
A.0　　　 B.FR　　　
C. πFR　　　 D.2πFR
【解析】选C。在拉动的过程中,力F的方向总是与速度
同向,用微元法的思想,在很小的一段位移内力F可以看
成恒力,小球路程为(πR+π× ),由此得W= πFR,
C正确。
【课堂小结】

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