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第二十一章 一元二次方程—2023-2024学年九年级数学人教版期末复习知识小锦
第一步：单元学习目标
1.一元二次方程 （1）会判断一个方程是不是一元二次方程. （2）会将一元二次方程化为一般形式，知道各项的名称.
2.解一元二次方程 （1）能根据一元二次方程的特征选择适当的方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. （2）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，并能根据根的情况，确定方程中字母系数的取值范围. （3）了解一元二次方程的根与系数的关系，会运用一元二次方程根与系数的关系解决一些简单问题.
3.实际问题与一元二次方程 会分析实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解决实际问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
第二步：思维导图回顾知识
第三边：知识梳理
一元二次方程的概念
一元二次方程必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2.
【注意】
对于二次项的系数含有字母的方程，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程.例如，关于x的方程，当时，该方程是一元一次方程.
一元二次方程的一般形式
（1）“”是一元二次方程的重要组成部分，当时，就成了一元一次方程，但如果明确了是一元二次方程，就隐含了这个条件.
（2）确定一元二次方程的项及系数时，必须先将方程化成一般形式，习惯上把二次项系数化为正数.
（3）指出一元二次方程的项和各项的系数时，一定要带上系数前的符号.
直接开平方法解一元二次方程
1.直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.
2.方程的根
（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根
（2）当时，方程有两个相等的实数根
（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.
【注意】
（1）直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程.
（2）若，则x为p的平方根，即，切记不要漏掉负的平方根.
（3）因为负数没有平方根，所以关于x的一元二次方程有解的前提条件是p是非负数，即.
配方法解一元二次方程
1.配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
2.可化为的形式的一元二次方程的根
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.
3.用配方法解一元二次方程的一般步骤
一般步骤 方法 示例
一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边.
二化 二次项系数化为1 左右两边同时除以二次项系数
三配 配方 左右两边同时加上一次项系数一半的平方 ，即
四开 开平方求根 利用平方根的意义直接开平方
【注意】
配方法的依据是完全平方公式的逆用和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的方程形式，从而把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式：当时，方程的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
（1）整理方程：将方程整理为的形式，找到公式中的，要注意的符号.
（2）计算根的判别式：将的值代入计算，并判断的符号.
（3）求根：当时，方程有两个不相等的实数根，即
；当时，方程有两个相等的实数根，即；当时，方程无实数根.
【注意】公式法是解一元二次方程的通用解法，它适用于所有一元二次方程，但不一定是最高效的解法.
因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法：先对方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）移项：将方程化为一般式；
（2）分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
（3）转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是医院二次方程的解.
【注意】不能随意在方程两边约去含未知数的代数式.如，若约去x，则会导致丢掉这个根.
3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型
常见类型 因式分解为 方程的解
(a，b为常数)
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系
数学语言 若的两个根为，则，
文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
使用条件 （1）方程时一元二次方程，即二次项系数不为0； （2）方程有实数根，即.
重要结论 （1）若一元二次方程的两根为，则，. （2）以实数为两根的二次项系数为1的一元二次方程是.
【拓展】与一元二次方程的两个根有关的几个代数式的变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
一元二次方程的应用
常见实际问题的数量关系及表示方法
常见问题 公式 注意
平均增长率（降低率）问题 为起始量，为终止量，为增长（或降低）的次数，平均增长率公式：（为平均增长率）；平均降低率公式：（为平均降低率）. 传播问题、复息存款问题的本质与平均增长率问题相同.在传播问题中，为传染源数，在复息存款问题中，利率相当于增长率.
几何图形面积问题 涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长公式. 图形问题常将数量关系隐含在图形中，审题时需要结合图形分析，当所涉及的图形是不规则图形时，需割补成规则图形或用“求补”（即“总体-多余”）的方法来处理.
存款利息问题 本息和=本金+利息； 利息=本金×利率×期数. 如果存在利息税，利息的计算要扣除交税的部分，本算法是“单息存款”的算法.“复息”即“利滚利”的算法同增长率.
数字问题 （1）两位数=十位上的数字×10+个位上的数字 （2）三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字. 用数位上的数字乘以它的计数单位，就可以将这个数表示出来.审题时一定要注意数与数字之间的联合与区别.
商品销售问题 ； ； ； . 在理解的基础上记忆公式，针对实际问题理清各个量之间的关系.
第四步：专题探究
专题1 一元二次方程的解法
解一元二次方程的基本思想是“降次”，即通过适当的方法把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程分别求解.在选择合适的解法时，要观察方程的特征，其中直接开平方法和因式分解法适用于部分特殊形式的方程，公式法和配方法适用于所有有解的一元二次方程，但有时计算量较大.
1.解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2.先请阅读材料：
为解方程时，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，解得,
当时，，得；当时，，得.
故原方程的解为,,,
在解方程的过程中，我们将用y替换，先解出关于y的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫作“换元法”，体现了转化的数学思想.
请你根据以上的阅读材料，解下列方程：
（1）.
（2）.
专题2 一元二次方程根与系数的关系的探究
①代数式求值
3.已知a是方程的一个实数根，则的值为____________.
4.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则的值是( )
A. B.7 C.5 D.
5.已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________.
②解决新定义问题
6.定义表示不超过实数x的最大整数，如，，.函数的图像（部分）如图所示，则方程有( )个解.
A.4 B.3 C.2 D.1
7.我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.
（1）请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；
（2）若是倍根方程，则___________.
③求字母的值（或取值范围）
8.关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是_____.
9.已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数根m，使成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由
第五步：单元对接中考
1.【2023.北京】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为( )
A.-9 B. C. D.9
2.【2023.河南】关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
3.【2023.吉林】一元二次方程根的判别式的值是( )
A.33 B.23 C.17 D.
4.【2023.广西】据国家统计局发布的2022年国民经济和社会发展统计公报显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
5.【2023.新疆】用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( )
A. B. C. D.
6.【2023.山东菏泽】一元二次方程的两根为，，则的值为( )
A. B.-3 C.3 D.
7.【2023.贵州】若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是________.
8.【2023.重庆A】某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个.设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为___________.
9.【2023.山东济宁】已知实数m满足，则_________.
10.【2023.浙江杭州】设一元二次方程.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①，；②，；③，；④，.
11.【2023.安徽】【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“”的个数为____________；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为______________.
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n个图案中“”的个数的2倍.
12.【2023.北京】对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的.
某人要装裱一副对联，对联的长为100 cm，宽为27 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.
13.【2023.河北】现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示.某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为，.
（1）请用含a的式子分别表示，；当时，求的值；
（2）比较与的大小，并说明理由.
答案以及解析
【专题探究】
1.答案：（1），
（2），
（3），
（4），
解析：（1），
移项，得，
二次项系数化为1，得.
配方，得，即.
开方，得，
，.
（2），
，，，
，
该方程有两个不相等的实数根，
，
，.
（3），
方程整理，得，
因式分解，得，
于是得或，
，.
（4），
整理，得，
因式分解，得，
即，
于得或，
，.
2.答案：（1），
（2），
解析：（1）设，
则原方程化为，
解得，（舍去）
当时，，
解得，
故原方程的解为，.
（2）设，
则原方程化为，
解得，，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
故原方程的解为，.
3.答案：2023
解析：a是方程的一个实数根，
，即
.
4.答案：C
解析：一元二次方程的两个实数根为，，
，，
.
故选：C.
5.答案：2022
解析：m是一元二次方程的实数根，
，
，
，
m，n是一元二次方程的两个实数根，
，
.
故答案为：2022.
6.答案：A
解析：由题意可知，
，
，
，
即，
，
①当时，，，解得；
②当时，，，解得，（舍去）；
③当时，，，解得，（舍去）；
④当时，，，解得，（舍去）；
所以方程的解为或或或3，共4个，
故选：A.
7.答案：（1）是，理由见解析
（2）4或16
解析：（1）方程是倍根方程，
理由如下：
由方程，
解得，，
，
方程是倍根方程.
（2）由方程，
解得，，
方程是倍根方程，
或，
得或，
故或.
故答案为：4或16.
8.答案：且
解析：根据题意可知，
解得：.
实数k的取值范围是且.
故答案为：且.
9.解析：（1）由题意得：
解得：
即：m的取值范围为：
（2）存在
由根与系数的关系得：
∴
解得：
.
【单元对接中考】
1.答案：C
解析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,
解得.故选C.
2.答案：A
解析：，，，，方程有两个不相等的实数根.故选A.
3.答案：C
解析：.
4.答案：B
5.答案：D
解析：一元二次方程，移项，得.等式两边同时加9，得.配方，得.故选D.
6.答案：C
解析：一元二次方程的两根为，，，，.故选C.
7.答案：
解析：根据一元二次方程的定义和根的判别式，得且，.
8.答案：
9.答案：8
解析：，，
.
10.答案：选择条件②的解答：
选择条件③的解答：
解析：可以选择条件②或③解答.
选择条件②的解答：
选择条件②，得一元二次方程为，
由求根公式，得.
选择条件③的解答：
选择条件③，得一元二次方程为，
由求根公式，得.
11.答案：（1）
（2）
（3）11
解析：（1）第1个图案中有个，第2个图案中有个，
第3个图案中有个，第4个图案中有个，……
第n个图案中有个，故答案为：.
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，
第2个图案中“★”的个数可表示为，
第3个图案中“★”的个数可表示为，
第4个图案中“★”的个数可表示为，……，
第n个图案中“★”的个数可表示为.
（3）由（2），得，令，
解得（舍），，即n的值为11.
12.答案：边的宽为4 cm，天头长为24 cm.
解析：天头长与地头长的比为，
可设天头长为，地头6x cm长为4x cm，
边的宽为x cm.
由题意，得，
解得，
.
答：边的宽为4 cm，天头长为24 cm.
13.答案：（1），；当时，
（2）
解析：（1）根据题意，得，，
当时，.
（2）.
理由：由（1）知，，，
.
，
，
.

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