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第二章 整式的加减—2023-2024学年人教版数学七年级上册单元知识链接
【单元学习目标】
1.借助现实情境了解字母表示数的意义.
2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用含有字母的式子表示，初步形成抽象能力.
3.能正确识别单项式、多项式、整式，并能说出单项式的次数和系数、多项式的次数和项.
4.会把具体的数代入整式进行计算.
5.理解同类项概念，掌握合并同类项的方法，能正确进行合并同类项.
6.掌握去括号时符号的变化规律，能正确地区括号.
7.理解整式中的字母表示数，整式的加减运算建立在数的运算基础上，理解数的运算律和运算法则在整式的加减运算中仍然成立，体会“数式通性”.
8.能够熟练地进行整式的加减运算、化简求值.
【单元思维导图】
【单元知识梳理】
用字母表示数：用字母或含有字母的式子表示数或数量关系.在用字母表示数中，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来
用含有字母的式子表示数的书写规定
（1）数与字母相乘或字母与字母相乘，通常将乘号写作“”或省略不写
（2）数与字母相乘时，通常把数写在前面
（3）数字因数是1或时，“1”常省略不写
（4）带分数与字母相乘时要将带分数化为假分数
（5）除法运算要表示成分数
（6）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应用小括号括起来
【注意】
1.同一问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示
2.用字母可以表示任意数或式子.用字母表示数后，同一式子可以表示不同的含义
3.用字母表示实际问题中的某个量时，字母的取值必须使式子有意义且符合实际情况
单项式和多项式
单项式 多项式
定义 数或字母的积组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式 几个单项式的和叫做多项式
次数 一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数 多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数
系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数
项 多项式中，每个单项式叫做多项式的项
同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项.
判断同类项的方法：
（1）同类项必须同时满足“两个相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同，两者缺一不可.
（2）是不是同类项有“两个无关”：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关.如与是同类项.
（3）同类项可以有两项，也可以有三项，四项或更多项，但至少有两项.
【注意】
1.同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式；
2.判断两个单项式是否为同类项的关键就是看其是否满足同类项中“两个相同”
去括号法则
（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
（2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
整式的加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
【单元常考题型】
题型1 利用单项式、多项式的相关概念求系数或次数中字母的值
①利用单项式的相关概念求值
1.若单项式的系数是m，次数是9，则的值为_______.
②利用多项式的相关概念求值
2.已知多项式是关于x的二次三项式，则常数m的值为_______.
题型2 列整式表示数量关系
①根据实际情景列整式
3.今年秋季，斗门土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙，丙三种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一士特产，且必须装满，设装运甲种士特产的汽车有x辆，装运乙种特产的汽车有y辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：
土特产种类 甲 乙 丙
每辆汽车运载量（吨） 4 3 6
每吨土特产获利（元） 1000 900 1600
（1）装运丙种土特产的车辆数为________辆（用含有x，y的式子表示）；
（2）用含有x，y的式子表示这10辆汽车共装运土特产的数量；
（3）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x，y的式子表示）.
②根据变化规律列整式
4.观察下面的三行单项式：
x，，，，，…
，，，，，…
，，，，，…
（1）第一行第8个单项式为_____；
（2）第二行第n个单项式为_____；
（3）第三行第11个单项式为_____；
（4）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当时，的值.
题型3 利用同类项的概念求含字母的式子的值
5.若单项式与是同类项，则________，________.
题型4 整式的化简求值
①化简后，直接代入求值
6.先化简，再求值：；其中a、b满足.
②化简后，整体代入求值
7.已知，.
（1）化简.
（2）当，，求的值.
题型5 运用整式的加减解决情景问题
①数据污染问题
8.王明在准备化简代数式■时一不小心将墨水滴在了作业本上，使得前面的系数看不清了，于是王明就打电话询问李老师，李老师为了测试王明对知识的掌握程度，于是对王明说：“该题标准答案的结果不含有y.”请你通过李老师的话语，帮王明解决如下问题：
（1）■的值为________；
（2）求出该题的标准答案.
②看错符号问题
9.一位同学做一道题，“已知两个多项式A、B，计算”，他误将看作，求得，若，则的正确答案为( )
A. B. C. D.
题型6 利用整式的加减解决实际问题
10.已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红的年龄的还多1岁.
（1）用含m的式子表示这三名同学的年龄的和.
（2）小红比小华大几岁 （用含m的式子表示）
题型7 整式加减与数轴、绝对值的综合应用
11.已知，数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“>”或“<”连接：
_____0，_____0，_____0，_____0；
（2）化简：.
题型8 利用整式加减解决数字问题
①整除问题
12.如果一个四位自然数满足，那么称这个四位数为“弦歌六秩数”.例如：四位数2023，，不是“弦歌六秩数”；又如：四位数，，是“弦歌六秩数”.若四位数是“弦歌六秩数”，则m与n的关系为______________；若“弦歌六秩数”满足它的前两位数字组成的两位数与它的后两位数字组成的两位数之差能被11整除，且满足它的前三位数字组成的三位数与它的个位数字d之和能被10整除，则满足条件的“弦歌六秩数”的最小值为____________.
②月历中的数字问题
13.在如图的2018年4月的月历表中任意框出竖排中三个相邻的数和横排中三个相邻的数.这六个数的和可能是( )
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30
A.98 B.99 C.100 D.101
题型9 规律探究性问题
14.下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题
图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个
涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b
(1)_______，_______；
(2)按照这种规律继续下去，则第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为___________；(用含n的代数式来表示)
(3)按照这种规律继续下去，用(2)中的代数式求第2022个图形中涂有阴影的小正方形的个数.
【单元对接中考】
1.代数式的意义可以是( )
A.与x的和
B.与x的差
C.与x的积
D.与x的商
2.若，则( )
A.5 B.1 C.-1 D.0
3.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是( )
A.39 B.44 C.49 D.54
4.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5.在日历上，某些数满足一定的规律.如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是( )
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A.左上角的数字为
B.左下角的数字为
C.右下角的数字为
D.方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
6.单项式的系数为________.
7.某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发_________套劳动工具.
8.2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为_________公里.（用含x的代数式表示）
9.如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片……依此规律，第n个图案中有__________个白色圆片（用含n的代数式表示）.
10.如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”.例如：四位数4129，，4129是“递减数”；又如：四位数5324，，5324不是“递减数”.若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________.
答案以及解析
【单元常考题型】
1.答案：1
解析：根据题意得：，，
解得：，，
则.
故答案为：1.
2.答案：
解析：多项式是关于x的二次三项式，
且，
当时，解得：；
当时，解得：；
，
，
故答案为：.
3.答案：（1）
（2）吨
（3）元
解析：（1）由题意得，
装运丙种土特产的车辆数为：（辆）.
故答案为：.
（2）根据题意得，
.
即这10辆汽车共装运土特产的数量为吨.
（3）根据题意得，
.
即销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为元.
4.答案：（1）
（2）
（3）
（4）1025
解析：（1）由题意得，第8个单项式为，即，
故答案为：；
（2）由题意得，第n个单项式为，
故答案为：；
（3）由题意得，第11个单项式为，
故答案为：；
（4）当时，
，
.
5.答案：，4
解析：单项式与是同类项
，且
，
，
故答案为：，4.
6.答案：，1
解析：原式
，
，且，
，，
，，
解得：，，
当，时，原式.
7.答案：（1）
（2）17
解析：（1）
.
（2），
.
8.答案：（1）4
（2）
解析：（1）设看不清的系数为a，
，
，
，
该题标准答案的结果不含有y，
，
，
（2），
，
.
9.答案：B
解析：由题意知，，
，
.
故选：B.
10.答案：（1）这三名同学的年龄的和是岁
（2）小红比小华大岁
解析：（1）由题意可知：
小红的年龄为岁，小华的年龄为岁，
则这三名同学的年龄的和为：
岁.
答：这三名同学的年龄的和是岁.
（2）
岁.
答：小红比小华大岁.
11.答案：（1）>；>；>；<
（2）
解析：（1）由题意得：c，
，，，，
故答案为：>，>，>，<；
（2），，，，
.
12.答案：；
解析：四位数是“弦歌六秩数”，
，
；
四位数是“弦歌六秩数”，
，
，
“弦歌六秩数”满足它的前两位数字组成的两位数与它的后两位数字组成的两位数之差能被11整除，且满足它的前三位数字组成的三位数与它的个位数字d之和能被10整除，
（k为整数），（m为整数），
（m为整数），
一定能被10整除，
，，
，
当，即时，则，
不能被11整除，
不符合题意；
，即，
，
一定能被11整除，
一定能被11整除，
，，，，
，
或，
，
，
，
要保证四位数最小，
a要最小，
当时，则或，
或，
或，
当时，则，此时，
此时满足题意的四位数为；
当，
，
b为奇数，
当时，，则，
四位数为，此时不满足，不符合题意；
同理，当时，不满足，不符合题意；
当时，，则，不符合题意；
在保证a最小的情况下，只有数字符合题意，
满足条件的“弦歌六秩数”的最小值为；
故答案为：；.
13.答案：B
解析：设竖排中三个相邻的数分别为，x，，横排中三个相邻的数分别为，y，，则这六个数的和为，即，因为99为3的整数倍，98，100，101不是3的整数倍，所以这六个数的和可能是99.故选B.
14.答案：(1)9，17
(2)
(3)8089根
解析：(1)第2个小正方形阴影有个；
第4个小正方形阴影有个
故答案为：9，17；
(2)观察图形规律，可知：
第1个小正方形阴影有5个，
第2个小正方形阴影有个，
第3个小正方形阴影有个，
以此类推，
第n个为；
故答案为：；
(3)将代入中得：
即第2022个图形需要的火柴棒根数为8089根.
【单元对接中考】
1.答案：C
解析：的意义可以是与x的积.故选C.
2.答案：A
解析：，，.
3.答案：B
解析：，，，，故第⑧个图案用的木棍根数是.故选B.
4.答案：B
5.答案：D
解析：右上角的数字为a，则左上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，这4个数字之和，故选项D正确.
6.答案：-5
7.答案：3n
解析：由题意得：3个年级共需配发得劳动工具总数为：套，
故答案为：.
8.答案：
解析：根据题意可得，
他离健康跑终点的路程为.
故答案为：.
9.答案：
解析：第1个图案中白色圆片的个数为，第2个图案中白色圆片的个数为，第3个图案中白色圆片的个数为，第4个图案中白色圆片的个数为……故第n个图案中白色圆片的个数为.
10.答案：4312；8165
解析：对于，由题意可得，解得，故这个数为4312.对于，由题意可得，整理，得，.由题意可知能被9整除，能被9整除.当时，无符合条件的b值；当时，，代入，可得，最大可取6，此时，故满足条件的数的最大值是8165.

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