资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 方程与不等式
第二节 分式方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 解分式方程 ☆☆ 中考本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
考点2 分式方程的应用 ☆☆☆
■考点一　解分式方程
1．分式方程的概念：分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据。
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为 整式 方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找 最简公分母 ，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④ 验根 ．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的 增根 。由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使 最简公分母为零 的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根。若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解。
■考点二　分式方程的应用
1. 列分式方程解应用题的一般步骤：①审题（找等量关系）；②设未知数；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答。
2. 分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题、利润问题等。
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝，总利润=单件利润×销售量，利润率=利润÷成本×100%等。
■易错提示
1.解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解。
2. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念。分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解。
■考点一　解分式方程
◇典例1：（2023·山东淄博·统考中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】将代入方程，即可求解．
【详解】解：将代入方程，得解得：故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程．
◆变式训练
1．（2023上·河南开封·九年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义判断即可．
【详解】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意；
C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
2．（2023·四川成都·统考二模）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【分析】解分式方程，根据方程的解为，即可求解．
【详解】解：，方程两边同时乘以得：，
解得， 且，
方程的解为， ，即，故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键．
◇典例2：（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．
【详解】解：，两边同乘去分母，得，故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
◆变式训练
1．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）分式方程的解是（ ）
A． B． C．无解 D．
【答案】C
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程求解，再进行检验即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项合并，得：，
检验，当时，，即是原分式方程的增根，
∴原分式方程解．故选：C．
【点睛】本题主要考查了解分式，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤．
2．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设，则原方程可变形为，即；故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
3．（2023·山西·统考中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．解得．
检验：当时，．∴原方程的解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
4．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得，
去括号，得，
解得，，经检验：是方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
◇典例3：（2023·山东日照·统考中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围．
【详解】解：
∵方程的解为正数，且分母不等于0
∴，
∴，且故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．
◆变式训练
1．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】D
【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是负数，
∴，，即，
解得：且，故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．
2．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，解得：，
∵分式方程的解是非负数，
∴，且，∴且，故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．
◇典例4：（2023下·安徽六安·九年级校考期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
【详解】去分母得：，解得
∵分式方程有增根，∴，即，∴增根为3，，
把代入整式方程得：，解得．故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的增根问题，解题的关键是掌握分式方程的解题步骤以及对分式方程增根的理解．
◆变式训练
1．（2023上·河南安阳·九年级校考期末）若分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先化分式方程为整式方程，令分母，代入整式方程计算m的值．
【详解】因为，
去分母得：，解得：
因为分式方程有增根，
所以，即：是方程增根，
所以，故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是熟练掌握分式方程中关于增根的解题方法．
◇典例5：（2022·四川遂宁·统考中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【答案】D
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘，得，整理得，
原方程无解，当时，；
当时，或，此时，，解得或，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或4；故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·四川德阳·统考二模）若关于的分式方程无解，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程为，由分式方程无解可得或，求出的值，再代入整式方程即可．
【详解】解：，，
去分母得：，整理得：，
关于的分式方程无解，
或，解得：或，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
的值是或，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；让最简公分母为0确定增根；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
◇典例6：（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．14
【答案】B
【分析】先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且，即可求得满足条件的所有整数的值．
【详解】解不等式，得．解不等式，得．
因为关于的不等式组无解，可得．解得．
解关于的分式方程，得．
∵为整数，，,∴或或．
∴满足条件的所有整数的和．故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键．
◆变式训练
1．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
【答案】
【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值．
【详解】解：，
整理得：
若分式方程的解为整数，
为整数，当时，解得：，经检验：成立；
当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上:，故答案是：．
【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．
2．（2023·广西九年级课时练习）若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是_____．
【答案】2
【分析】关于一元二次方程（a+1）x2+（2a-3）x+a-2=0利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a＜ 且a≠-1，再解分式方程得到，接着利用分式方程的解为整数得到a=0，2，-1，3，5，-3，然后确定满足条件的a的值，从而得到满足条件的所有整数a的和．
【详解】∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，
∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，解得a＜且a≠﹣1．
把关于x的方程去分母得ax﹣1﹣x＝3，解得
∵x≠﹣1，∴，解得a≠﹣3，
∵ (a≠﹣3)为整数，∴a﹣1＝±1，±2，±4，
∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，而a＜且a≠﹣1且a≠﹣3，
∴a的值为0，2，∴满足条件的所有整数a的和是2．故答案是：2．
【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
■考点二　分式方程的应用
◇典例7：（2023·辽宁丹东·统考中考真题）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米
【答案】施工队原计划每天改造6米．
【分析】设施工队原计划每天改造米，根据提前2天成功地完成了大桥的改造任务得：，解方程并检验可得答案．
【详解】解：设施工队原计划每天改造米，
根据题意得：，解得，
经检验，是原方程的解，
答：施工队原计划每天改造6米．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出分式方程．
◆变式训练
1．（2023·山东淄博·统考中考真题）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树棵，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同列式求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，，故选：D；
【点睛】本题考查分式方程解决应用问题，解题的关键是找到等量关系式．
2．（2023·河北邯郸·校考一模）某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“…”表示的条件应是（　　）
A．每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成
B．每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成
C．每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成
D．每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成
【答案】B
【分析】设实际每天生产零件x个，则原计划每天生产零件个，根据提前10天完成任务，列方程即可．
【详解】解： ， 由分式方程可知，实际每天比原计划多生产5个，实际提前10天完成． 故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
3．（2023·福建漳州·统考一模）某村要修建一条长为1200米的水泥路面村道，现有两支施工队前来应聘，村委会派出相关人员了解这两支施工队的情况，获得如下信息．
信息一：甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天；
信息二：乙队每天施工的数量是甲队每天施工的数量的倍．
(1)根据以上信息，求甲、乙两支施工队每天分别修多少米道路？
(2)村委会将工程交给乙队，要求25天内完成．几天后因乙队接到抢险任务，经村委会同意，就将余下工程交给甲队．那么在转交给甲队之前乙队至少要施工多少天，才能按照村委会要求按时完成？
【答案】(1)甲施工队每天修40米道路，乙施工队每天修60米道路；
(2)在转交给甲队之前乙队至少要施工10天，才能按照村委会要求按时完成．
【分析】（1）设甲施工队每天修x米道路，则乙施工队每天修米道路，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲施工队每天修路的长度，再将其代入中，即可求出乙施工队每天修路的长度；
（2）设在转交给甲队之前乙队施工y天，根据要求25天内完成修路任务，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲施工队每天修x米道路，则乙施工队每天修米道路，
根据题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，．
答：甲施工队每天修40米道路，乙施工队每天修60米道路；
（2）设在转交给甲队之前乙队施工y天，
根据题意得：，解得：，∴y的最小值为10．
答：在转交给甲队之前乙队至少要施工10天，才能按照村委会要求按时完成．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
◇典例8：（2023·广东湛江·统考三模）某周日，珂铭和小雪从新天地小区门口同时出发，沿同一条路线去离该小区米的少年宫参加活动，为响应节能环保，绿色出行的号召，两人步行，已知珂铭的速度是小雪的速度的倍，结果珂铭比小雪早6分钟到达．
(1)求小雪的速度；(2)活动结束后返回，珂铭与小雪的速度均与原来相同，若小雪计划比珂铭至少提前6分钟回到小区，则小雪至少要比珂铭提前多长时间出发？
【答案】(1)小雪的速度是米/分钟(2)小雪至少要比珂铭提前出发12分钟
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设小雪的速度是米/分钟，则珂铭速度是米/分钟，根据“珂铭比小雪早6分钟到达”列出方程，解方程并检验后即可得到答案；（2）求出珂铭与小雪全程所用的时间，根据“小雪计划比珂铭至少提前6分钟回到小区”列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：设小雪的速度是米/分钟，则珂铭速度是米/分钟，依题意得：
，解得：，经检验是原方程的解，
答：小雪的速度是米/分钟．
（2）由（1）可知，珂铭速度是（米/分钟），
珂铭全程用的时间是（分钟），
小雪全程用的时间是（分钟），
设小雪比珂铭提前a分钟出发，根据题意得，，解得，
答：小雪至少要比珂铭提前出发分钟．
◆变式训练
1．（2023·广东广州·统考中考真题）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60，动车提速后行驶480与提速前行驶360所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据提速前后所用时间相等列式即可．
【详解】解：根据题意，得．故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．
2．（2023·青海·统考中考真题）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校九年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达；已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为.根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：；故选：B．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意．
3．（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
【答案】张老师骑车的速度为千米/小时
【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．
【详解】解：设张老师骑车的速度为千米/小时，则汽车速度是千米/小时，
根据题意得：，解之得，经检验是分式方程的解，
答：张老师骑车的速度为千米/小时．
【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．
◇典例9：（2023·江苏盐城·统考中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元；(2)乙商店硬面笔记本的原价18元
【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可；（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得
，解得，经检验，是原方程的根，且符合题意，
故甲商店硬面笔记本的单价为16元；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，
由题意可得， 解得，
根据题意得，解得，
为正整数，，，，，，分别代入，
可得，，，，，由单价均为整数可得，
故乙商店硬面笔记本的原价18元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相应方程．
◆变式训练
1.（2023·辽宁阜新·统考中考真题）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元．(1)求：足球和排球的单价各是多少元？(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？
【答案】(1)足球的单价是80元，排球的单价是65元；(2)学校最多可以购买70个足球．
【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量=总价÷单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价=单价×数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元，
依题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，∴．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球，
依题意得：，解得：．
又∵m为正整数，∴m可以取的最大值为70．
答：学校最多可以购买70个足球．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
2．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【答案】(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
(2)当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答；
（2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可．
【详解】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，
由题意可得：，解得：
经检验，是分式方程的解
每台A型机器每天搬运吨
答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
（2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台
由题意可得：，解得：，
公司采购金额：
∵∴w随m的增大而减小
∴当时，公司采购金额w有最小值，即，
∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键．
1.（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程即可求解．
【详解】解：
程两边同时乘以得，解得：
经检验，是原方程的解，故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解： 解得： 且
∵关于的分式方程的解是负数，
∴，且∴且，故选：D．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
3．（2023·山东聊城·统考中考真题）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】A
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，解得：，
∵，即：，∴，
又∵分式方程的解为非负数，∴，∴，
∴的取值范围是且，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．
4．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
【答案】B
【分析】先将分式方程化成整式方程，再分①整式方程无解，②关于的方程有增根两种情况，分别求解即可得．
【详解】解：将方程化成整式方程为，即，
因为关于的方程无解，所以分以下两种情况：
①整式方程无解，则，解得；
②关于的方程有增根，则，即，
将代入得：，解得；
综上，的值为1或3，故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．
5．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程的解为 ．
【答案】
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出的值．
【详解】解：，
方程两边同时乘以得，，
，，，或．
经检验时，，故舍去．原方程的解为：．故答案为：．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
6．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．
【答案】
【分析】根据解分式方程的方法中确定公分母的方法求解即可．
【详解】解：分式方程的两个分母分别为x，(x+1)，
∴最简公分母为：x(x+1)，故答案为：x(x+1)．
【点睛】题目主要考查解分式方程中确定公分母的方法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．
7．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）甲、乙两船从相距150km的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行90km时与从地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 km/h．
【答案】6
【分析】设江水的流速为千米每小时，则甲速度为，乙速度为，根据行驶时间相等列出方程解答即可．
【详解】解：设江水的流速为千米每小时，根据题意得：
，解得，经检验符合题意，
答：江水的流速．故答案为：6．
【点睛】本题考查了列分式方程，读懂题意找出等量关系是解本题的关键．
8．（2023·山东青岛·统考中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 ．
【答案】
【分析】根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元，
∴乙种劳动工具单价为元．
根据题意得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（2022·江苏苏州·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】根据解分式方程的步骤求出解，再检验即可．
【详解】方程两边同乘以，得．
解方程，得． 经检验，是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．即去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．
10．（2023·江苏泰州·统考中考真题）（1）计算：；（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；
（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
方程两边都乘，得，
解得：，检验：当时，，
所以分式方程的解是．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
11．（2023·吉林长春·统考中考真题）随着中国网民规模突破亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使伽瑶，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？

【答案】原计划平均每天制作个摆件．
【分析】设原计划平均每天制作个，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原计划平均每天制作个，根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天制作个摆件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
12．（2023·山东泰安·统考中考真题）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
【答案】这个学校九年级学生有300人．
【分析】设零售价为x元，批发价为y，然后根据题意列二元一次方程组求得零售价为12元，然后用3600除以零售价即可解答．
【详解】解：设零售价为x元，批发价为y，根据题意可得：
，解得：，经检验是原方程组的解
则学校九年级学生人．
答：这个学校九年级学生有300人．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、列二元一次方程组求得零售价是解答本题的关键．
1．（2023上·河北邢台·九年级校联考阶段练习）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】未知数在分母中的有理方程是分式方程，根据分式方程的定义可得答案．
【详解】解：是一元一次方程，故A不符合题意；
是二元一次方程，故B不符合题意；是一元一次方程，故C不符合题意；
符合分式方程的定义，故D符合题意；故选D
【点睛】本题考查分式方程的定义，理解分式方程的定义为解题的关键．
2．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题中的新定义化简，转化为分式方程，解分式方程即可．
【详解】由题意化简：，∴，解得：，
经检验：是原分式方程的解，故选：．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
3．（2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测）若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：，
方程两边同乘得，，解得，，
，，由题意得，，解得，，
实数的取值范围是：且．故选：D．
【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
4．（2023·黑龙江绥化·统考二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．0 B．2或4 C．4 D．0或2
【答案】D
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，分别进行计算即可．
【详解】解：方程两边同乘，得，整理得，
∵原方程无解，∴当时，；
当时，此时，，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或2；故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是有增根和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）“若关于的方程无解，求的值．”尖尖和丹丹的做法如下（如图1和图2）：

下列说法正确的是（ ）
A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都错 D．两人的答案合起来才对
【答案】D
【分析】根据分式方程无解情况①去分母后方程无解，②解出的解是增根，两类讨论即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，去分母可得，，
移项合并同类项得，，
当时，即时方程无解，
当时，即时，，
∵方程无解，
即是方程的增根，可得：，解得：，
∴，解得：，故选D；
【点睛】本题考查分式方程无解的情况，解题的关键是熟练掌握分式方程无解情况①去分母后方程无解，②解出的解是增根．
6．（2023·广东河源·统考二模）解分式方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先把方程变为，去分母，把分式方程化为整式方程即可求解，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
【详解】解：方程可变为，，
方程两边都乘以最简公分母得，，
去括号，得，解得，
检验：当时，，∴原方程的解是．
7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）解方程：
【答案】方程无解．
【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将的系数化为，求出的值，将求出的的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．
【详解】解：化为整式方程为：，
，解得：，检验：当，，
∴不是原分式方程的解，原分式方程无解．
【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键．
8．（2023·广东湛江·统考一模）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3750元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．(1)第一批仙桃每件进价是多少元？
(2)老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于2460元，剩余的仙桃每件售价最多打几折？（利润=售价﹣进价）
【答案】(1)第一批仙桃每件进价为120元(2)剩余的仙桃每件售价至多打6折
【分析】本题主要考查了分式方程、一元一次不等式的应用，的解题关键是根据件数作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．
（1）设第一批仙桃每件进价是元，则第二批每件进价是元，再根据等是关系：第二批仙桃所购件数是第一批的倍，列方程解答；（2）设剩余的仙桃每件售价元，由利件=售价-进价，根据第二批的销售利润不低于2460元，可列不等式求解．
【详解】（1）设第一批仙桃每件进价元，则：解得．
经检验，是原方程的根．
答：第一批仙桃每件进价为120元；
（2）设剩余的仙桃每件售价打折，则：
，解得：．
答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．
9．（2023·河南周口·校考模拟预测）某公司生产的960件新产品，需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想精加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天加工产品的数量是甲工厂每天加工产品的1.5倍，公司需付甲工厂加工费用每天80元，乙工厂加工费用每天120元．(1)求甲乙两个工厂每天各能加工多少件产品
(2)公司现有三种加工方案：①甲工厂单独完成；②工厂单独完成；③甲乙两工厂同时合作完成．
在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行指导，并负担每天15元的午餐补助．(合作时也只需要一名工程师到厂指导)请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
【答案】(1)甲工厂每天能加工16件，乙工厂每天能加工24件
(2)选择甲、乙两家工厂合作完成这批产品既省时又省钱，理由见解析
【分析】（1）设甲工厂每天能加工件产品，则乙工厂每天能加工件产品，根据题意列出分式方程，即可求解．（2）比较三种方案的价钱及相应的天数．
【详解】（1）解：设甲工厂每天能加工件产品，则乙工厂每天能加工件产品．
依题意，得 解得：，经检验是原方程的解；
答：甲工厂每天能加工件，乙工厂每天能加工件．
（2）甲工厂单独完成需天，所需费用为（元）
乙工厂单独完成需天，所需费用为（元）
设他们合作完成这批新产品所用时为天．
则：，解得：．所需费用为元．
答：通过比较，选择甲、乙两家工厂合作完成这批产品比较合适．
【点睛】本题考查分式方程、一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10．（2023·广东深圳·校联考一模）某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比每套B品牌服装进价多25元，若用2000元购进A种服装的数量是用750元购进B种服装数量的2倍．(1)求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？(2)若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总的获利超过1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？
【答案】(1)A每套100元，B每套75元(2)17套
【分析】（1）设每套A品牌服装进价为x元，则每套B品牌服装进价为元，根据题意，求解即可．（2）设购进a套A品牌服装,购进套B品牌，根据题意，求解即可．
【详解】（1）设每套A品牌服装进价为x元，则每套B品牌服装进价为元，
根据题意，解得，
经检验，是原方程的根，故，
答：每套A品牌服装进价为100元，则每套B品牌服装进价为75元．
（2）设购进a套A品牌服，则购进套B品牌，
根据题意，解得，故至少17套．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，根据数量关系列出方程和不等式是解题的关键．
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．或0 D．0或1
【答案】D
【分析】直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．
【详解】，去分母得：，整理得：
当时，方程无解，
当时,解得：，
当时，方程无解， 解得，
综上：或时原分式方程无解，故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程．
2．（2023·广东中考模拟）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.
【详解】根据题意得，，则，
经检验，是方程的解，故选B.
【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
3．（2023·浙江·模拟预测）方程的所有实数根之和为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】先去分母，方程两边分别乘以转化为整式方程，再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：方程两边分别乘以，得：，
化简并整理，得：，
，
，
，
，
或，
由解得，
由得：，
无实数根，
经检验是原方程的根，
原方程只有一个实数根，
所有实数根之和为1．故选：A．
【点睛】本题考查的是解分式方程，去分母后对整式方程进行因式分解是解题关键．
4．（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】13
【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得，再解分式方程可得且，从而可得且，然后将所有满足条件的整数的值相加即可得．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
，解得，
方程可化为，解得，
关于的分式方程的解为正数，
且，解得且，且，
则所有满足条件的整数的值之和为，故答案为：13．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．
5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
【答案】m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，
整理得到：，
∵分式方程的解大于1，∴，解得：，
又分式方程的分母不为0，∴且，解得：且，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．故答案为：m >0且m≠1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
6．（2023·河南周口·校联考三模）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是 ．
【答案】
【分析】先根据关于x的一元一次不等式组的解集为，求得的范围，再根据分式方程有正整数解，求得的范围，综合即可求得的范围，再求整数和即可．
【详解】解：关于的一元一次不等式组解的，
解集为．．．
关于的分式方程，解得：，
有正整数数解，且．∴，
∴或或或或，
∴或或或或，但，
∴符合条件的所有整数为：、、．
符合条件的所有整数的和为：．故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．关于参数考查不等式，参数分式方程的知识，一般先将参数看成已知，解出不等式的解集或分式方程的解，然后利用数轴进行分析，或者已知条件分析从而，找到参数的取值范围．
7．（2023·浙江·模拟预测）已知关于的方程的方程恰好有一个实数解，求的值及方程的解．
【答案】, 或，；或或，或，
【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即，为一元二次方程，即，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为 方程有等根，满足方程恰好有一个实数解，若，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为或．
【详解】解：两边同乘,得，
若，
若，由题意，知，
解得，
当时，，当时，，
若方程有两不等实根，则其中一个为增根，
当时，，，
当时，，．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论．
8．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？
(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
【答案】(1)A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元
(2)共有三种购买方案，方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，方案三：购进A种家电67件，B种家电33件
(3)这10件家电中B种家电的件数4件
【分析】（1）根据题意设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元，建立分式方程求解即可；（2）设购进A种家电a件，购进B种家电件，建立不等式，求解不等式，选择符合实际的解即可；（3）设A种家电拿出件，则B种家电拿出件，根据题意，建立一元一次方程求解即可．
【详解】（1）设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元．
根据题意，得． 解得．
经检验是原分式方程的解． ．
答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
（2）设购进A种家电a件，购进B种家电件．
根据题意，得． 解得．，．
为正整数，，则， 共有三种购买方案，
方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，
方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，
方案三：购进A种家电67件，B种家电33件；
（3）解：设A种家电拿出件，则B种家电拿出件，
根据（1）和（2）及题意，当购进A种家电65件，B种家电35件时，得：
，
整理得：，解得：，不符合实际；
当购进A种家电66件，B种家电34件时，得：
，
整理得：，解得：，不符合实际；
当购进A种家电67件，B种家电33件时，得：
，
整理得：，
解得：，符合实际；则B种家电拿出件．
【点睛】本题考查分式方程的实际问题，一元一次方程的实际问题与一元一次不等的实际问题，正确理解题意，建立正确的等量关系与不等式是解题的关键，注意结果要符合实际及分式方程的检验．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 方程与不等式
第二节 分式方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 解分式方程 ☆☆ 中考本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
考点2 分式方程的应用 ☆☆☆
■考点一　解分式方程
1．分式方程的概念：分母中含有 的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据。
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为 方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找 ，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④ ．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的 。由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使 的根是增根，否则是原方程的根。
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根。若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解。
■考点二　分式方程的应用
1. 列分式方程解应用题的一般步骤：①审题（找等量关系）；②设未知数；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答。
2. 分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题、利润问题等。
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝，总利润=单件利润×销售量，利润率=利润÷成本×100%等。
■易错提示
1.解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解。
2. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念。分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解。
■考点一　解分式方程
◇典例1：（2023·山东淄博·统考中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
◆变式训练
1．（2023上·河南开封·九年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·统考二模）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
◇典例2：（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）分式方程的解是（ ）
A． B． C．无解 D．
2．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山西·统考中考真题）解方程：．
4．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
◇典例3：（2023·山东日照·统考中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
◆变式训练
1．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
2．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
◇典例4：（2023下·安徽六安·九年级校考期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
◆变式训练
1．（2023上·河南安阳·九年级校考期末）若分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
◇典例5：（2022·四川遂宁·统考中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
◆变式训练
1．（2023·四川德阳·统考二模）若关于的分式方程无解，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．或
◇典例6：（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．14
◆变式训练
1．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
2．（2023·广西九年级课时练习）若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是_____．
■考点二　分式方程的应用
◇典例7：（2023·辽宁丹东·统考中考真题）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米
◆变式训练
1．（2023·山东淄博·统考中考真题）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树棵，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北邯郸·校考一模）某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“…”表示的条件应是（　　）
A．每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成
B．每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成
C．每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成
D．每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成
3．（2023·福建漳州·统考一模）某村要修建一条长为1200米的水泥路面村道，现有两支施工队前来应聘，村委会派出相关人员了解这两支施工队的情况，获得如下信息．
信息一：甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天；
信息二：乙队每天施工的数量是甲队每天施工的数量的倍．
(1)根据以上信息，求甲、乙两支施工队每天分别修多少米道路？
(2)村委会将工程交给乙队，要求25天内完成．几天后因乙队接到抢险任务，经村委会同意，就将余下工程交给甲队．那么在转交给甲队之前乙队至少要施工多少天，才能按照村委会要求按时完成？
◇典例8：（2023·广东湛江·统考三模）某周日，珂铭和小雪从新天地小区门口同时出发，沿同一条路线去离该小区米的少年宫参加活动，为响应节能环保，绿色出行的号召，两人步行，已知珂铭的速度是小雪的速度的倍，结果珂铭比小雪早6分钟到达．
(1)求小雪的速度；(2)活动结束后返回，珂铭与小雪的速度均与原来相同，若小雪计划比珂铭至少提前6分钟回到小区，则小雪至少要比珂铭提前多长时间出发？
◆变式训练
1．（2023·广东广州·统考中考真题）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60，动车提速后行驶480与提速前行驶360所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·青海·统考中考真题）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校九年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达；已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为.根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
◇典例9：（2023·江苏盐城·统考中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
◆变式训练
1.（2023·辽宁阜新·统考中考真题）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元．(1)求：足球和排球的单价各是多少元？(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？
2．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
1.（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
3．（2023·山东聊城·统考中考真题）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
4．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
5．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程的解为 ．
6．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．
7．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）甲、乙两船从相距150km的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行90km时与从地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 km/h．
8．（2023·山东青岛·统考中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 ．
9．（2022·江苏苏州·中考真题）解方程：．
10．（2023·江苏泰州·统考中考真题）（1）计算：；（2）解方程：．
11．（2023·吉林长春·统考中考真题）随着中国网民规模突破亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使伽瑶，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？

12．（2023·山东泰安·统考中考真题）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
1．（2023上·河北邢台·九年级校联考阶段练习）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测）若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．且
4．（2023·黑龙江绥化·统考二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．0 B．2或4 C．4 D．0或2
5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）“若关于的方程无解，求的值．”尖尖和丹丹的做法如下（如图1和图2）：

下列说法正确的是（ ）
A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都错 D．两人的答案合起来才对
6．（2023·广东河源·统考二模）解分式方程 ．
7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）解方程：
8．（2023·广东湛江·统考一模）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3750元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．(1)第一批仙桃每件进价是多少元？
(2)老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于2460元，剩余的仙桃每件售价最多打几折？（利润=售价﹣进价）
9．（2023·河南周口·校考模拟预测）某公司生产的960件新产品，需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想精加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天加工产品的数量是甲工厂每天加工产品的1.5倍，公司需付甲工厂加工费用每天80元，乙工厂加工费用每天120元．(1)求甲乙两个工厂每天各能加工多少件产品
(2)公司现有三种加工方案：①甲工厂单独完成；②工厂单独完成；③甲乙两工厂同时合作完成．
在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行指导，并负担每天15元的午餐补助．(合作时也只需要一名工程师到厂指导)请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
10．（2023·广东深圳·校联考一模）某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比每套B品牌服装进价多25元，若用2000元购进A种服装的数量是用750元购进B种服装数量的2倍．(1)求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？(2)若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总的获利超过1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．或0 D．0或1
2．（2023·广东中考模拟）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
3．（2023·浙江·模拟预测）方程的所有实数根之和为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
4．（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
6．（2023·河南周口·校联考三模）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是 ．
7．（2023·浙江·模拟预测）已知关于的方程的方程恰好有一个实数解，求的值及方程的解．
8．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑