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第二章 方程与不等式
第一节 一元一次方程（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 等式的基本性质 ☆☆ 一次方程（组）在中考数学中较为简单，每年考查2-3题左右，分值为10分左右。 各地中考中，对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程组的工具性的考查。预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
考点2 一元一次方程 ☆☆
考点3 二元一次方程（组） ☆☆☆
考点4 一次方程（组）的应用 ☆☆☆
■考点一　等式的基本性质
1.等式的基本性质
1）等式两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式 ，所得的结果仍是等式；
2）等式两边都乘以（或除以） 同一个不等于零的数 ，所得的结果仍是等式；
3）若a=b，b=c，则 a=c （传递性）。
■考点二　一元一次方程
1.方程：含有 未知数 的 等式 叫做方程．
2.方程的解：使方程左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做 解方程 。
3.一元一次方程：只含有 一个 未知数，并且未知数的次数为 1 ，这样的 整式 方程叫做一元一次方程。它的一般形式为。 注意：x前面的系数不为0。
4.一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做 一元一次方程的解 。
5.一元一次方程的求解步骤
变形名称 具体做法
去分母 在方程两边都乘以各分母的 最小公倍数 。
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项 把方程化成的形式
系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
■考点三　二元一次方程（组）
1.二元一次方程：含有 2个 未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的 整式方程 叫做二元一次方程。
2.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的 未知数的值 叫做二元一次方程的解。
3.二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。
方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为。
4.解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是 消元 ，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。
5.二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
■考点四　一次方程（组）的实际应用
1.列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；
（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．
2.一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：
利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：
利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
■易错提示
1.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母。
2. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。
3.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
■考点一　等式的基本性质
◇典例1：（2023·浙江衢州·三模）已知，下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
B. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵，∴ ，故该选项正确，不符合题意；
D. ∵，且，∴，故该选项不正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
◆变式训练
1.（2023·内蒙古包头·二模）设、、是实数，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质，即可一一判定．
【详解】解：A.若，则，故该选项错误，不符合题意；
B.若，则，故该选项正确，符合题意；
C.若且，则，故该选项错误，不符合题意；
D. 若，则，故该选项错误，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握和运用等式的性质是解决本题的关键．
◇典例2：（2022·山东滨州·统考中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
【答案】B
【分析】根据等式的性质2可得答案．
【详解】解：去分母得，其变形的依据是等式的性质2，故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立．
◆变式训练
1.（2023·安徽宿州·统考三模）若a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据直接计算可判断B、C错误；将变形求出，然后计算可判断A错误，D正确．
【详解】解：∵，∴，故B、C错误；
∵，∴，∴，
∴，故A错误，D正确；故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是正确的变形，等量代换．
2.（2023·福建·统考模拟预测）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，
等式两边都乘以x，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
【答案】④
【分析】根据等式的性质2即可得到结论．
【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，
∴第④步等式两边都除以，得，前提必须为，因此错误；故答案为：④．
【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
◇典例3：（2023·河北保定·校考一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析左图可知，1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．两个物体等可能的向左或向右落时，共有4种情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出和的关系．
【详解】解：由左图可知2个“○”与1个“ ”的质量等于2个“ ”的质量，
1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．
右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，
共有4种情况：（1）“○”和“ ”都落到左边的托盘时：
左边有3个“○”2个“ ”，相当于7个“○”，右边有2个“ ”，相当于4个“○”，此时；
（2）“○”和“ ”都落到右边的托盘时：
左边有2个“○”1个“ ”，相当于4个“○”，右边有3个“ ” 1个“○”，相当于7个“○”，此时；
（3）“○”落到左边的托盘，“ ” 落到右边的托盘时：
左边有3个“○”1个“ ”，相当于5个“○”，右边有3个“ ”，相当于6个“○”，此时；
（4）“○”落到右边的托盘，“ ” 落到左边的托盘时：
左边有2个“○”2个“ ”，相当于6个“○”，右边有2个“ ” 1个“○”，相当于5个“○”，此时；观察四个选项可知，只有选项C符合题意，故选C．
【点睛】本题考查等可能事件、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况下和的比值．
◆变式训练
1.（2023·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（　　）
A．如果，那么（a，b，c均不为0）
B．如果，那么（a，b，c均不为0）
C．如果，那么（a，b，c均不为0）
D．如果，那么（a，b，c均不为0）
【答案】A
【分析】根据等式的性质解答即可．
【详解】解：观察图形，是等式的两边都减去c（a，b，c均不为0），
利用等式性质1，得到，即如果，那么（a，b，c均不为0）．故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
■考点二　一元一次方程
◇典例4：（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】A
【分析】把代入再进行求解即可．
【详解】解：把代入得：，解得：．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．
◆变式训练
1. （2023·广东清远·统考二模）下列方程中，解是的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出每个一元一次方程的解即可做出判断．
【详解】解：A．，解得，故选项不符合题意；
B．，解得，故选项不符合题意；
C．，解得，故选项不符合题意；
D．，解得，故选项符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法并正确求解是解题的关键．
2.（2023上·湖南永州·七年级校考期中）已知是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义：一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．熟记相关结论即可．
【详解】解：由题意得：且，∴故答案为：
◇典例6：（2023·浙江衢州·统考中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)划线见解析 (2)，过程见解析
【分析】（1）根据解一元一次方程去分母的过程，即可解答；
（2）根据解一元一次方程的步骤，计算即可．
【详解】（1）解：划线如图所示：
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解方程的步骤是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022·贵州黔西·统考中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【详解】解：方程两边同乘6，得①
∴开始出错的一步是①，故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．
2．（2023·浙江温州·统考一模）解方程，以下去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】各项同时乘以运算即可．
【详解】解：，
去分母得，，故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程去分母．解题的关键在于正确的运算．
3．（2023·浙江·统考一模）解方程：
【答案】
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可．
【详解】解：去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤．
■考点三　二元一次方程（组）
◇典例7：（2023·浙江衢州·统考中考真题）下列各组数满足方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】代入的值，逐一判断即可解答．
【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意；
当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意；
当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意；
当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·河北秦皇岛·模拟预测）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
【详解】将代入原方程，可得：，解得： 故选：C
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能够将方程的解代入原方程是解题的关键．
2．（2023·四川凉山·校考一模）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义解答．
【详解】解：A中含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
B符合定义，故是二元一次方程组；C中含有分式，故不符合定义；
D含有三个未知数，故不符合定义；故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程是二元一次方程组，熟记定义是解题的关键．
◇典例8：（2022·浙江台州·中考真题）解方程组：．
【答案】
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可；
【详解】．解：，得．把代入①，得．
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，本题使用加减消元法比较简单，当然使用代入消元求解二元一次方程组亦可．
◆变式训练
1. （2023·浙江衢州·校考一模）解二元一次方程组最好的做法首先采用（ ）
A．代入法 B．加减法 C．都可以 D．无法确定
【答案】B
【分析】观察方程中的y的系数特点为互为相反数，即可得出最好的解法．
【详解】解：解二元一次方程组最好的做法首先采用加减消元法，故选B
【点睛】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．（2022·湖南株洲·中考真题）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将①式代入②式消去括号即可求得结果．
【详解】解：将①式代入②式得，，故选B．
【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
3．（2022·广西桂林·中考真题）解二元一次方程组：．
【答案】
【分析】利用加减消元法可解答．
【详解】解：①+②得：2x＝4，∴x＝2，
把x＝2代入①得：2﹣y＝1，∴y＝1，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
◇典例9：（2023·浙江杭州·校考三模）若方程组的解也是方程的解，则的值是（　　）
A．6 B．10 C．9 D．
【答案】D
【分析】先解二元一次方程组，再将二元一次方程组的解代入，求解即可得到答案．
【详解】解：，
②①得：，，
将代入①得：，，
方程组的解为，
将代入得：，
，故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．
◆变式训练
1. （2023·江苏苏州·统考二模）如果实数x，y满足方程组，那么 ．
【答案】
【分析】把分解因式，再整体代入即可．
【详解】解：∵实数x，y满足方程组，
∴；故答案为：
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，二元一次方程组的解的含义，熟记平方差公式是解本题的关键．
2．（2023·江苏镇江·统考二模）已知二元一次方程组，则代数式
【答案】6
【分析】将两个方程相加，可得，等式两边同时除以2，可得代数式的值．
【详解】解：两个方程相减，得，即，
两边同时除以2，得．故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是将看作一个整体，可以使计算简便．
◇典例10：（2023下·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）解方程组：
(1)(2)(3)
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）用加减消元法先算出x的值，然后代入计算y即可；
（2）先化简方程组，然后用加减消元法算出x的值，代入计算y值即可；（3）先将后边两个方程相加，得到一个和x，y相关的方程，在和第一个方程联立求解x，y，在代入求z即可．
【详解】（1），
可得：，解得：，
将代入可得：，
∴原方程组的解是；
（2）化简原方程组可得：，
可得：，解得：，
将代入可得：
∴原方程组的解是；
（3），
可得：，
可得：，解得：，
将代入可得：，
将，代入可得：，
∴原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和三元一次方程组，选择合适的消元法解方程是解题的关键．
◆变式训练
1. （2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据加减消元法求解即可．
【详解】解：，
由得：，解得：．
由得：，解得：．
由得：，解得：．
故原方程组的解为．故选D．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键．
2．（2023下·四川成都·七年级校考期中）已知方程组，则的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答．．
【详解】解：，得：，∴．故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键．
■考点四　一次方程（组）的实际应用
◇典例11：（2023·新疆·乌市一中校联考一模）商场按标价打八折销售某品牌电器一件，可获利500元，利润率为．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ）
A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元
【答案】A
【分析】先根据打八折后获利500元，利润率为，求出该电器成本价，设该电器售价为x，列出方程，求出x的值，即可求出该电器打九折后获得利润．
【详解】解：该电器成本为：，设该电器售价为x，
，解得：，
∴该电器打九折后获得利润为：（元），故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
◆变式训练
1．（2023·四川成都·统考中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设木长尺，根据题意得，，故选：A
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
2．（2023·四川南充·统考中考真题）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省________N的力．（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂）
【答案】100
【分析】设动力为，根据阻力阻力臂动力动力臂，分别解得动力臂在1.5m和2m时的动力，即可解答．
【详解】解：设动力为，根据阻力阻力臂动力动力臂，
当动力臂在1.5m时，可得方程，解得，
当动力臂在2m时，可得方程，解得，
，故节省100N的力，故答案为：100．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题目中给出的等量关系，正确列方程是解题的关键．
◇典例12：（2021·四川资阳·统考中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；（2）购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．
【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可得答案；（2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，根据甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的可得m的取值范围，根据需甲、乙两种奖品共60件可得购买乙种奖品为（60-m）件，根据（1）中所求单价可得w与m的关系式，根据一次函数的性质即可得答案．
【详解】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，
∵1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元，
∴，解得：，
答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元．
（2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，
∵需甲、乙两种奖品共60件，∴购买乙种奖品为（60-m）件，
∵甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元，∴w=20m+10（60-m）=10m+600，
∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，∴m≥（60-m），∴20≤m≤60，
∵10>0，∴w随m的增大而增大，∴当m=20时，w有最小值，最小值为10×20+600=800（元），
∴购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，正确得出等量关系及不等关系列出方程组及不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
◆变式训练
1．（2023·浙江杭州·校考一模）“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需 元．
【答案】48
【分析】设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元，根据“1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，将其代入中，即可得出结论．
【详解】解：设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元，
根据题意得：，解得：，∴．故答案为：48．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键
2．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，年月日是我国第个植树节，某班组织学生在某园林基地进行植树活动，活动开始前对若干棵树苗进行分配，若人合作种植一棵树苗，则还剩棵，若人合作种植一棵树苗，则还有人未分到树苗，问共有多少棵树苗，多少学生？
【答案】共有14棵树苗，44名学生．
【分析】设共有棵树苗，名学生，根据若人合作种植一棵树苗，则还剩棵，若人合作种植一棵树苗，则还有人未分到树苗．列出二元一次方程组，解方程组即可．、
【详解】解：设共有棵树苗，名学生，
由题意等：，解得：，
答：共有棵树苗，名学生．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）太原古县城，位于山西省太原市晋源区，是2500年晋阳古城文脉的延续．春节期间，在太原古县城内举办的“锦绣太原中国年·凤舞龙城花灯会”以及清明上河图数字体验馆吸引了众多游客．网上购买一张体验馆的门票比一张花灯会的门票多20元．一张体验馆的门票比现场购买少10元，一张花灯会的门票比现场购买少2元．现场购买，一张体验馆的门票比一张花灯会门票的2倍少22元．(1)请求出网上购买体验馆与花灯会的门票价格；(2)春节期间，某一购票网站搞活动，游客可以购买满300送30元的优惠券，若一个五口之家，通过网上购买体验馆门票和花灯会门票各5张，比现场购买便宜多少元？

【答案】(1)网上购买体验馆与花灯会的门票价格分别为68元和48元(2)90
【分析】（1）设网上购买体验馆与花灯会的门票价格分别为元和元，可得到现场购买的价格，再根据网上购买体验馆与花灯会门票的价格关系与现场购买体验馆与花灯会门票的价格关系建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）分别计算出现场购买的价格，计算出现场购买的总价，再计算出网上购买的总价，减去优惠券的额度，得到网上购买优惠后的价格，即可求得答案．
【详解】（1）解：设网上购买体验馆与花灯会的门票价格分别为元和元，
则现场购买体验馆的门票价格为：元，现场购买花灯会的门票价格为：元；
∵网上购买一张体验馆的门票比一张花灯会的门票多20元，∴，
∵现场购买，一张体验馆的门票比一张花灯会门票的2倍少22元，∴，
∴，解方程组得：，
∴网上购买体验馆与花灯会的门票价格分别为68元和48元；
（2）解：根据（1）得现场购买体验馆的门票价格为78元，现场购买花灯会的门票价格为50元 ，
∴现场购买体验馆门票和花灯会门票各5张的价格为元，
网上购买体验馆门票和花灯会门票各5张的价格为元，
∵游客可以购买满300送30元的优惠券，
∴网上购买体验馆门票和花灯会门票各5张的价格为元，
∴比现场购买便宜元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程组．
◇典例13：（2021·四川泸州·统考中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少．
【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得；
（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据．
【详解】解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，
根据题意可得：，解得：，
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；
（2）设安排A型车m辆，B型车n辆，
依题意得：20m+15n=190，即，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，∴共有3种运输方案，
方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；
方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；
方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．
方案1所需费用：5008+4002=4800(元)；
方案2所需费用：5005+4006=4900(元)；
方案3所需费用：5002+40010=5000(元)；
∵4800＜4900＜5000，∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据总费用=500×安排A型车的辆数+400×B型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用．
◆变式训练
1.（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．30种
【答案】B
【分析】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，根据将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，列二元一次方程，求解即可．
【详解】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，由题意得
，化简得，∴，
∴当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
综上，有5种方案，故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，准确理解题意，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
1．（2021·安徽·统考中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．
【详解】解：A．当，，时，，故A错误；
B．当，，时，，故B错误；
C．整理可得，故C错误；
D．整理可得，故D正确；故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
2．（2023·四川南充·统考中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”，可列出方程．
【详解】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据题意，得 故选：A
【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．
3．（2023年山东省威海市中考数学真题）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（　　）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
【答案】D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据顶角相等的两等腰三角形相似，相似三角形的对应边成比例，可列出方程，求解即可．
【详解】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据题意，得解得：
∴等腰三角形底边长为毫米千米．故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换算．
4．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
5．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】C
【分析】设和两种长度的导线分别为根，根据题意，得出，进而根据为正整数，即可求解．
【详解】解：设和两种长度的导线分别为根，根据题意得，
，即，∵为正整数，∴
则，故有7种方案，故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键．
6．（2023年四川省眉山市中考数学真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答．
【详解】解：，得，，
代入，可得，解得，故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
7．（2023年四川省南充市中考数学真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答．
法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：，
得，解得，
将代入，解得，
，，得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，∴，
，故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键．
8．（2022年湖北省宜昌市中考数学真题）五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）
A．30 B．26 C．24 D．22
【答案】B
【分析】设1艘大船与1艘小船分别可载x人，y人，根据“1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人”和“2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人”这两个等量关系列方程组，解出（x+y）即可．
【详解】设1艘大船与1艘小船分别可载x人，y人，
依题意：（①+②）÷3得： 故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用；注意本题解出（x+y）的结果即可．
9．（2023年河北省中考数学真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分（分） 3 1
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．

(1)求珍珍第一局的得分；(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分；(2)．
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；（2）根据题意列一元一次方程即可求解.
【详解】（1）解：由题意得(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）解：由题意得，解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
10．（2023年北京市中考数学真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一幅对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）

【答案】边的宽为，天头长为
【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示出装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设天头长为，
由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，
边的宽为，
装裱后的长为，
装裱后的宽为，
由题意可得：解得，∴，
答：边的宽为，天头长为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．
11．（2023年山东省临沂市中考数学真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．
(1)这台M型平板电脑价值多少元？
(2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
【答案】(1)这台M型平板电脑的价值为元 (2)她应获得元的报酬
【分析】（1）设这台M型平板电脑的价值为元，根据题意，列出方程进行求解即可；
（2）根据题意，列出代数式即可．
【详解】（1）解：设这台M型平板电脑的价值为元，由题意，得：
， 解得：；
∴这台M型平板电脑的价值为元；
（2）解：由题意，得：；
答：她应获得元的报酬．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
12．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．
(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？
(2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
【答案】(1)该班级胜负场数分别是场和场；
(2)该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【分析】（1）设胜了场，负了场，根据场比赛中获得总积分为分可列方程组，求解即可．
（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据所得总分不少于分，列出相应的不等式，从而可以求出答案．
【详解】（1）解：设胜了场，负了场，
根据题意得：，解得，
答：该班级胜负场数分别是场和场；
（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，
根据题意得：，解得，
答：该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
1.（2023·河北唐山·统考一模）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y “●”的质量为m，列出等式，根据等式的性质计算判断即可．
【详解】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y “●”的质量为m，
根据题意，得即，故A正确，不符合题意；
∴，故C正确，不符合题意；故B不正确，符合题意；
∴，故D正确，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了等式的性质，正确理解等式的性质是解题的关键．
2.（2023·河北张家口·统考一模）不是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将代入各个方程，即可判断．
【详解】经代入计算，可知能使方程、、成立，
不能使成立，不是的解．故选：C．
【点睛】本题考查了二元次一方程的解的定义，正确代入计算，是解答本题的关键．
3．（2023·河北保定·校考一模）已知，则下列表示b的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用等式的基本性质解题即可．
【详解】解：∵∴两边同时减去a得：
∴两边同时乘以得：故选A．
【点睛】本题考查等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．
4．（2023上·广东云浮·七年级校考期末）下列等式变形中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A．∵，∴，故本选项不符合题意；
B．∵，，∴，故本选项符合题意；
C．∵，∴，故本选项不符合题意；
D．∵，∴，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质：等式性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．掌握不等式的性质是解题的关键．
5．（2023·浙江温州·统考一模）将方程去分母，结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据解一元一次方程的步骤可进行求解．
【详解】解：将方程去分母得：；
故选A．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
6．（2023·浙江杭州·校联考三模）已知关于x，y的方程组的解是，则直线与的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】把代入即可求出m的值，再根据二元一次方程组和一次函数的关系，即可进行解答．
【详解】解：把代入，得：，
关于x、y的方程组的解是，
直线与的交点坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组和一次函数的关系，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解是对应两个一次函数图象交点的横坐标和纵坐标．
7．（2023·江西南昌·校考一模）二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】将方程组中的两个方程相加可得，进而得到，再根据可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：，由得：，∴
二元一次方程组的解满足，
，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，正确发现方程组中的两个方程与之间的联系是解题关键．
8．（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ．
【答案】
【分析】由得：，，由得：，从而得到，即可求解．
【详解】解：，
由得：，∴，
由得：，∴，
∴，
∴．故答案为：
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到，是解题的关键．
9．（2023·辽宁沈阳·校考三模）关于的二元一次方程组的解是，则的值为 ．
【答案】0
【分析】把的值代入方程计算求出的值，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：把代入，得：，解得：，
，故答案为：0．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
10．（2023·湖南长沙·校考二模）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．
解方程： 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得，……第四步 方程两边同除以－1，得．……第五步
(1)以上求解过程中，第三步的依据是_________．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)从第_________步开始出现错误；(3)该方程正确的解为____________
【答案】(1)A(2)一(3)
【分析】（1）根据移项的变形依据回答即可；（2）根据去分母漏乘没有分母的项回答即可；
（3）写出正确的解题过程，即可得到答案．
【详解】（1）解：移项的依据是等式的基本性质，故选：A
（2）从第一步开始出现错误，方程右边的1没有乘以6，故答案为：一
（3）
解：去分母，得……第一步
去括号，得……第二步
移项，得……第三步
合并同类项，得，……第四步
方程两边同除以－1，得．……第五步
故答案为：
【点睛】此题考查了一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
11．（2023·黑龙江·统考三模）某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？
(3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值．
【答案】(1)甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．(2)8种(3)a的值为150．
【分析】（1）设未知数列二元一次方程组解方程即可；（2）设未知数列不等式，解不等式，考虑实际问题中取整得到解的可能情况；（3）用（2）中未知数和a列出利润计算式，根据m的值不影响利润结果得到含m的项系数为0，求出a即可．
【详解】（1）设甲型号手机每部进价为x元，乙型号手机每部进价为y元．
依题意，得．解得．
答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．
（2）设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机部．
依题意，得，解得．
又m为整数，m可以为9，10，11，12，13，14，15，16．有8种进货方案．
（3）设20部手机全部销售完后获得的总利润相等，则
．
（2）中每种方案获利相同，利润计算式中不能有含的项，
．．答：a的值为150．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，及定值问题．注意定值问题中一个式子的值与m无关，则含有m的项中，m的系数为0．
12．（2023·广东河源·二模）西安的大唐不夜城，已成为游客们必去的打卡之地，在其商业街上，摆放着琳琅满目的具有古风特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜爱，某店铺老板用元购进了折扇和团扇共把，这两种扇子的进价、标价如表所示：
种类价格 折扇 团扇
进价（元/把）
标价（元/把）
(1)折扇和团扇各购进了多少把？(2)店铺老板将这两种扇子打折出售，全部售出后，该店铺共获利元，已知折扇按标价的九折出售，则团扇的折扣是多少？
【答案】(1)折扇购进了把，团扇购进了把(2)团扇的折扣是七五折
【分析】（1）设折扇购进了把，团扇购进了把，根据“店铺老板用元购进了折扇和团扇共把”，和表格中折扇和团扇的进价，列出二元一次方程组，解二元一次方程组即可；
（2）设团扇的折扣是折，根据“全部售出后，该店铺共获利元”，折扇购进了把，团扇购进了把，和表格中折扇和团扇的进价与标价，列出一元一次方程，解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：设折扇购进了把，团扇购进了把，
根据题意得：，解得：．
答：折扇购进了把，团扇购进了把；
（2）解：设团扇的折扣是折，
根据题意得：，解得：．
答：团扇的折扣是七五折．
【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组的应用，读懂题意、列方程是解题的关键．
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，满足条件的m的所有正整数值为（ ）
A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．1，2，3 D．1，2，3，4
【答案】D
【分析】先解方程组求得x、y的值，再根据列出关于m的不等式，解之求得m的取值范围即可求解．
【详解】解：解方程组得，
∵，∴，解得，
∴正整数m的值为1、2、3、4，故选：D．
【点睛】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，根据题意列出关于m的不等式是解题的关键．
2．（2023·浙江衢州·校考一模）若x、y是两个实数，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据x、y的取值范围，去绝对值符号并分别讨论求得方程组的解，再代入代数式计算求解即可．
【详解】解：当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，解得，；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
综上得，原方程组的解为：，∴，故答案选C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，涉及到绝对值计算，根据未知数的范围判断去绝对值后的符号是解此题的关键．
3．（2023·浙江·模拟预测）一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
【答案】C
【分析】设一人间x间，二人间y间，三人间间，根据旅行团共15人列出方程，解方程即可．
【详解】解：设一人间x间，二人间y间，三人间间．根据题意得：，
整理得：，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，．
∴有4种租房方案：①租一人间3间，二人间0间，三人间4间；②租一人间2间，二人间2间，三人间3间；③租一人间1间，二人间4间，三人间2间；④租一人间0间，二人间6间，三人间1间．
故选：C．
【点睛】本题是二元一次方程的应用，此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，然后根据x，y是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
4．（2023·安徽六安·校考二模）已知a，b，c均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是（ ）
A．340 B．430 C．520 D．610
【答案】C
【分析】根据进行分类讨论即可求解．
【详解】解：，且均为非负整数，①当时，
，，
，，会组成四位数，不满足题意；
②当时，，，
，，故组成最大的三位数为：；
③时，，，
，解得：，组成最大的三位数为：
综上所述，它们最大三位数是，故选：C．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法是解题的关键，同时要运用了分类讨论的数学思想．
5．（2023·浙江·模拟预测）关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．有无数个取值
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质，进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解．
【详解】解：①当时，
，，
当时，，只有一个实数根，不符合题意；
当时，解得：，左边，右边，
此时方程有无数个解，符合题意；
②当时，，，
当时，，只有一个实数根，不符合题意；
当时，解得：，左边，右边，
此时方程有无数个解，符合题意；
综上：实数的值为1或，故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解一元一次方程，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
6．（2023·四川南充·统考一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解都为非负数，若，则W的最大值为 ．
【答案】1
【分析】先求出方程组的解，再由二元一次方程组的解都为非负数，可得关于a的不等式组，确定a的取值范围，再由一次函数的增减性求解即可．
【详解】解：，解得：，
∵二元一次方程组的解都为非负数，
∴，解得：．
∵，W随a的增大而增大，
∴当时，，故答案为：1
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组及一次函数的基本性质，熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
7．（2023·四川内江·校考一模）已知x，y，z为实数，满足，那么的最小值是 .
【答案】14
【分析】用含的式子表示出，将转化为只含的代数式，利用配方法，求出最值即可．
【详解】解：，
，得，则③，
，得，则④，
把③④代入得，；
∵，∴的最小值是14，故答案为14．
【点睛】本题考查配方法的应用．将代数式转化为只含的代数式，利用配方法求最值，是解题关键．
8．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列举措．复课返校后，为了拉开学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进根跳绳和个毽子共需元；购进根跳绳和个毽子共需元．学校计划购进跳绳和毽子两种器材共个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，则最少费用是 元．
【答案】
【分析】设打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元，根据“打折前，购进根跳绳和个毽子共需元；购进根跳绳和个毽子共需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出跳绳及毽子的单价，设购买跳绳根，则购买个，根据“购进跳绳的数量不少于毽子数量的倍，且跳绳的数量不多于根”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设购买跳绳和毽子的总费用为元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：设打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元，
根据题意得：，解得：，
打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元．
设购买跳绳根，则购买毽子个，
根据题意得：，解得：．
设购买跳绳和毽子的总费用为元，则，即，
，随的增大而增大，又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值，
最少费用是元．故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．
9．（2023·山西大同·统考模拟预测）阅读与思考
小敏在九年级复习阶段，针对“一次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应的任务.
九年级总复习笔记
引例：求一元一次方程和方程组的解.
基本步骤：去括号，去分母，移项合并同类项，化系数为
基本思想：________________
解答： 第一步： 移项得： 第二步： 合并同类项得： 第三步： 化系数为1得： 方法一： 由得 ， 把代入①中得 所以原方程组的解为 方法二：利用两条直线的交点坐标求得方程组的解为
任务：
(1)解方程的基本思想是（ ）
A．方程思想 B．转化思想 C． 数形结合 D．分类讨论
(2)解方程的步骤从第__________步开始出现错误，错误的原因是_________________，方程正确的解为___________________________.
(3)实际上，除了解二元一次方程组外，初中数学还有一些知识也可以用函数的观点来认识.例如：可以用函数的观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例；
【答案】(1)B(2)一，移项时没有变号；(3)见解析
【分析】（1）根据题中解方程的方法即可得到解方程的基本思想是；
（2）根据移项、合并同类项、系数化为1解方程，再进行判断即可；
（3）根据函数与方程的关系举例即可．
【详解】（1）解：由题意可得，解方程的基本思想是转化思想，故选：B．
（2）解：由题意可得，第一步：移项得，，
第二步：合并同类项得，，第三步：化系数为1得，，
∴从第一步开始出错，原因是：x移项时没有变号，
故答案为：一，移项时没有变号，．
（3）解：用二次函数的观点认识一元二次方程的解（用函数的观点认识一元一次不等式的解集）．
【点睛】本题考查解一元一次方程和二元一次方程组、函数与方程的关系，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
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第二章 方程与不等式
第一节 一元一次方程（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 等式的基本性质 ☆☆ 一次方程（组）在中考数学中较为简单，每年考查2-3题左右，分值为10分左右。 各地中考中，对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程组的工具性的考查。预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
考点2 一元一次方程 ☆☆
考点3 二元一次方程（组） ☆☆☆
考点4 一次方程（组）的应用 ☆☆☆
■考点一　等式的基本性质
1.等式的基本性质
1）等式两边都加上（或减去） ，所得的结果仍是等式；
2）等式两边都乘以（或除以） ，所得的结果仍是等式；
3）若a=b，b=c，则 （传递性）。
■考点二　一元一次方程
1.方程：含有 的 叫做方程．
2.方程的解：使方程左右两边 的 的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做 。
3.一元一次方程：只含有 未知数，并且未知数的次数为 ，这样的 方程叫做一元一次方程。它的一般形式为。 注意：x前面的系数不为0。
4.一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做 。
5.一元一次方程的求解步骤
变形名称 具体做法
去分母 在方程两边都乘以各分母的 。
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项 把方程化成的形式
系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
■考点三　二元一次方程（组）
1.二元一次方程：含有 未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的 叫做二元一次方程。
2.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的 叫做二元一次方程的解。
3.二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。
方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为。
4.解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是 ，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。
5.二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
■考点四　一次方程（组）的实际应用
1.列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；
（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．
2.一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：
利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：
利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
■易错提示
1.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母。
2. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。
3.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
■考点一　等式的基本性质
◇典例1：（2023·浙江衢州·三模）已知，下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·内蒙古包头·二模）设、、是实数，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
◇典例2：（2022·山东滨州·统考中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
◆变式训练
1.（2023·安徽宿州·统考三模）若a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
2.（2023·福建·统考模拟预测）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，
等式两边都乘以x，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
◇典例3：（2023·河北保定·校考一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（　　）
A．如果，那么（a，b，c均不为0）
B．如果，那么（a，b，c均不为0）
C．如果，那么（a，b，c均不为0）
D．如果，那么（a，b，c均不为0）
■考点二　一元一次方程
◇典例4：（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（ ）
A．3 B． C．7 D．
◆变式训练
1. （2023·广东清远·统考二模）下列方程中，解是的方程是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023上·湖南永州·七年级校考期中）已知是关于的一元一次方程，则 ．
◇典例6：（2023·浙江衢州·统考中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；(2)写出你的解答过程．
◆变式训练
1．（2022·贵州黔西·统考中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2023·浙江温州·统考一模）解方程，以下去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·浙江·统考一模）解方程：
■考点三　二元一次方程（组）
◇典例7：（2023·浙江衢州·统考中考真题）下列各组数满足方程的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·河北秦皇岛·模拟预测）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川凉山·校考一模）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例8：（2022·浙江台州·中考真题）解方程组：．
◆变式训练
1. （2023·浙江衢州·校考一模）解二元一次方程组最好的做法首先采用（ ）
A．代入法 B．加减法 C．都可以 D．无法确定
2．（2022·湖南株洲·中考真题）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广西桂林·中考真题）解二元一次方程组：．
◇典例9：（2023·浙江杭州·校考三模）若方程组的解也是方程的解，则的值是（　　）
A．6 B．10 C．9 D．
◆变式训练
1. （2023·江苏苏州·统考二模）如果实数x，y满足方程组，那么 ．
2．（2023·江苏镇江·统考二模）已知二元一次方程组，则代数式 ．
◇典例10：（2023下·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）解方程组：
(1)(2)(3)
◆变式训练
1. （2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·四川成都·七年级校考期中）已知方程组，则的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
■考点四　一次方程（组）的实际应用
◇典例11：（2023·新疆·乌市一中校联考一模）商场按标价打八折销售某品牌电器一件，可获利500元，利润率为．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ）
A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元
◆变式训练
1．（2023·四川成都·统考中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川南充·统考中考真题）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省________N的力．（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂）
◇典例12：（2021·四川资阳·统考中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
◆变式训练
1．（2023·浙江杭州·校考一模）“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需 元．
2．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，年月日是我国第个植树节，某班组织学生在某园林基地进行植树活动，活动开始前对若干棵树苗进行分配，若人合作种植一棵树苗，则还剩棵，若人合作种植一棵树苗，则还有人未分到树苗，问共有多少棵树苗，多少学生？
3．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）太原古县城，位于山西省太原市晋源区，是2500年晋阳古城文脉的延续．春节期间，在太原古县城内举办的“锦绣太原中国年·凤舞龙城花灯会”以及清明上河图数字体验馆吸引了众多游客．网上购买一张体验馆的门票比一张花灯会的门票多20元．一张体验馆的门票比现场购买少10元，一张花灯会的门票比现场购买少2元．现场购买，一张体验馆的门票比一张花灯会门票的2倍少22元．(1)请求出网上购买体验馆与花灯会的门票价格；(2)春节期间，某一购票网站搞活动，游客可以购买满300送30元的优惠券，若一个五口之家，通过网上购买体验馆门票和花灯会门票各5张，比现场购买便宜多少元？

◇典例13：（2021·四川泸州·统考中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
◆变式训练
1.（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．30种
1．（2021·安徽·统考中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川南充·统考中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年山东省威海市中考数学真题）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（　　）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
4．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
6．（2023年四川省眉山市中考数学真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2023年四川省南充市中考数学真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．（2022年湖北省宜昌市中考数学真题）五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）
A．30 B．26 C．24 D．22
9．（2023年河北省中考数学真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分（分） 3 1
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分；(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．

10．（2023年北京市中考数学真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一幅对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）

11．（2023年山东省临沂市中考数学真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．(1)这台M型平板电脑价值多少元？(2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
12．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？(2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
1.（2023·河北唐山·统考一模）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2023·河北张家口·统考一模）不是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北保定·校考一模）已知，则下列表示b的式子是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·广东云浮·七年级校考期末）下列等式变形中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2023·浙江温州·统考一模）将方程去分母，结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023·浙江杭州·校联考三模）已知关于x，y的方程组的解是，则直线与的交点坐标为 ．
7．（2023·江西·校考一模）二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
8．（2023·浙江·模拟）实数满足．则 ．
9．（2023·辽宁·校考三模）关于的二元一次方程组的解是，则的值为 ．
10．（2023·湖南长沙·校考二模）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．
解方程： 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得，……第四步 方程两边同除以－1，得．……第五步
(1)以上求解过程中，第三步的依据是_________．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)从第_________步开始出现错误；(3)该方程正确的解为____________
11．（2023·黑龙江·统考三模）某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？
(3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值．
12．（2023·广东河源·二模）西安的大唐不夜城，已成为游客们必去的打卡之地，在其商业街上，摆放着琳琅满目的具有古风特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜爱，某店铺老板用元购进了折扇和团扇共把，这两种扇子的进价、标价如表所示：
种类价格 折扇 团扇
进价（元/把）
标价（元/把）
(1)折扇和团扇各购进了多少把？(2)店铺老板将这两种扇子打折出售，全部售出后，该店铺共获利元，已知折扇按标价的九折出售，则团扇的折扣是多少？
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，满足条件的m的所有正整数值为（ ）
A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．1，2，3 D．1，2，3，4
2．（2023·浙江衢州·校考一模）若x、y是两个实数，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·模拟预测）一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
4．（2023·安徽六安·校考二模）已知a，b，c均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是（ ）
A．340 B．430 C．520 D．610
5．（2023·浙江·模拟预测）关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．有无数个取值
6．（2023·四川南充·统考一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解都为非负数，若，则W的最大值为 ．
7．（2023·四川内江·校考一模）已知x，y，z为实数，满足，那么的最小值是 .
8．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列举措．复课返校后，为了拉开学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进根跳绳和个毽子共需元；购进根跳绳和个毽子共需元．学校计划购进跳绳和毽子两种器材共个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，则最少费用是 元．
9．（2023·山西大同·统考模拟预测）阅读与思考
小敏在九年级复习阶段，针对“一次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应的任务.
九年级总复习笔记
引例：求一元一次方程和方程组的解.
基本步骤：去括号，去分母，移项合并同类项，化系数为
基本思想：________________
解答： 第一步： 移项得： 第二步： 合并同类项得： 第三步： 化系数为1得： 方法一： 由得 ， 把代入①中得 所以原方程组的解为 方法二：利用两条直线的交点坐标求得方程组的解为
任务：
(1)解方程的基本思想是（ ）
A．方程思想 B．转化思想 C． 数形结合 D．分类讨论
(2)解方程的步骤从第__________步开始出现错误，错误的原因是_________________，方程正确的解为___________________________.
(3)实际上，除了解二元一次方程组外，初中数学还有一些知识也可以用函数的观点来认识.例如：可以用函数的观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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