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2023 年 12 月 高中数学练习 点，下列结论正确的有（ ）
12 月 6 日
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A． PC / /平面OMN B．平面PCD / /平面OMN
一、单选题 C．OM PA D． PD 平面OMN

1．若平面 的一个法向量为u1 3, y, 2 ，平面 的一个法向量为u2 6, 2, z ，且 / / ，则 y z的值是（ ） 11．以下四个命题表述错误的是（ ）
A．－3 B．－4 C．3 D．4 A．直线 m 1 x 2m 1 y m 3 m R 恒过定点 5, 2
2 2
2．设 P x y是椭圆 1上一点，P到两焦点 F1，F2的距离之差为 2，则 PFF 是16 12 1 2 B．圆 x2 y2 2上有且仅有 2个点到直线 l : x y 1 0 2的距离都等于
2
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
C 2 2 2．曲线C1 : x y 2x 0与C2 : x y
2 4x 8y m 0恰有四条公切线，则实数m的取值范围为 4 m 20
2 2
3．已知双曲线C : x y2 2 （1 a 0,b 0)的两个顶点为 A1，A2 ，双曲线C上任意一点 P（与 A1, A2 不重合）都满足PA，PA 的a b 1 2
D．已知圆C : x2 y2 2,P为直线 x y 2 3 0上一动点，过点 P向圆C引条切线 PA，其中A为切点，则 PA的最小
5
斜率之积为 ，则双曲线C的离心率为（ ）
4 值为 2
9 3 4
A． B 5． C． D． 2 2
4 2 3 2 12 x y．已知曲线 C： 1 (mn 0)，则下列命题中为真命题的是（ ）
m n
4．直线 l： y k x 2 x2 y2与曲线 1 x 0 相交于A、 B两点，则直线 l倾斜角的取值范围是（ ） A．若m n 0，则 C是圆 B．若m 0，n 0，且m n 0，则 C是椭圆
, , 3 0, , , 3 A n n． U0, B． C． D．4 2 2 4 2 2 4 4 C．若mn 0，则 C是双曲线，且渐近线方程为 y x D．若0 m 1，n 1，则 C是椭圆，其离心率为 1 m m
三、填空题
5．三棱柱 ABC DEF 中，G为棱 AD的中点，若 BA a,BC b,BD c，则CG （ ）
13．2023年 10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲 乙 丁 3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐 3辆车，沪昆
1 1 1 1 1
A． a b c B． a b c C． a b c D． a b c2 2 2 2 2 高速杭州入口有 A,B,C共 3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为 ．
2 2
6．在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M ， N， P，Q分别为DD AD C D
x y
1， ， 1 1，C1C的中点，则异面直线MN 与 PQ所成的 14．已知椭圆C : 1的左、右焦点分别为F1， F2，点 A 1,1 ，若点 P为椭圆C上一点，则 PF2 PA 的最大值16 12
角大小等于（ ） 为 .
A．60° B．45° C．30° D．90° 15． 1 x 3 1 x 4 1 x 8的展开式中 x3的系数是 ．
x2 y27．已知椭圆 2 2 1的左顶点为 A，右焦点为 F2，过右焦点作 x轴垂线交椭圆于 B、C两点，连结 BO并延长交 AC于 x2 y2a b 16．已知 F1,F2分别是双曲线 1的左右焦点，若 PF1 5，则 PF2 .4 12
点 M，若 M为 AC的中点，则椭圆的离心率为（ ） 四、解答题

A 1 2 2 3． B． C． A 2,0,2 B2

1,1, 2 C 3,0, 4
2 3
D． 17．已知空间三点 ， ， ，设 AB=a ， AC b .
2
2 2 2 2 8．已知 A，B是圆C : x y 1上的动点， AB 3，P是圆C : (x 3) (y 4) 1上的动点，则 | PA PB |的取值范围 (1)求 a 与b 的夹角 的余弦值；1 2

(2)若向量 ka b 与 ka 2b互相垂直，求 k的值.
为（ ）
7 13A , ． B．[3,6] C． [7,13] D．[6,12] 2 2
x2 y2 2 5
二、多选题 18．已知双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的一条渐近线与直线 x 2y 0垂直，且右顶点A到该条渐近线的距离为 .
a b 5
9．已知空间向量 a 2, 1,1 ，b 3, 4,5 ，则下列结论正确的是（ ）
(1)求双曲线C的方程；

A． 2a b ∥ a B．5 a 3 b (2)若直线 l与双曲线C交于A、 B两点，线段 AB的中点为M 3, 2 ，求直线 l的方程.

C． a 5a 6b 3 2 1 D． a在b上的投影向量为 , ,
10 5 2
10．如图，在棱长均相等的正四棱锥P ABCD中，M、N分别为侧棱 PA、PB的中点，O是底面四边形 ABCD对角线的交
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19．已知点 A 2, 1 、 B 6,3 ． 23．在 ABC中，角A， B，C所对的边分别为 a，b， c，且 acosB 2ccosC bcos A．
(1)求C的值；
(1)求线段 AB的垂直平分线的直线方程；
(2)若点A、 B到直线 l : ax y 1 0的距离相等，求实数 a的值． (2)若 c 4， a b 2 7 ，求 ABC的面积．
20．某医疗小组有 4名男性，2名女性共 6名医护人员，医护人员甲是其中一名． 24．已知正方形 ABCD的边长为 2，△P AB为等边三角形（如图 1所示）．沿着 AB折起，点P 折起到点 P的位置，使得侧
(1)若从中任选 2人参加 A，B两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加A 面 PAB 底面 ABCD．M 是棱 AD的中点（如图 2所示）．
项救护活动的选法种数；
(2)这 6名医护人员将去 3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有 2人前往，若 2名女性不能去往同一个地
方，求不同的分配方案种数．
(1)求证： PC BM；
(2)求点C与平面 PBM 的距离．
21．如图，四棱锥P ABCD中，四边形 ABCD为梯形，其中 AB CD, BCD 60 ， AB 2BC 2CD 4, AD PB．
(1)证明：平面 PBD 平面 ABCD；

(2)若 PB PD 4 3，点 E满足 PE 2EC，且三棱锥 E ABD的体积为 ，求平面 PAD与平面BDE的夹角的余弦值．
3
25．已知抛物线 C： y2 =2px经过点 P（1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l与抛物线 C有两个不同的交点 A，B，且直线 PA
交 y轴于 M，直线 PB交 y轴于 N．
（Ⅰ）求直线 l的斜率的取值范围；
1 1
（Ⅱ）设 O为原点，QM QO ，QN QO，求证： 为定值．
45 3
22．在平面直角坐标系 xOy中，动圆 P 2 2 2 2与圆C1 : x y 2x 0 内切，且与圆C2：x y 2x 0外切，记动圆 P的4 4
圆心的轨迹为 E .
(1)求轨迹 E的方程；
3
(2)过椭圆 C右焦点的直线 l交椭圆于 A，B两点，交直线 x 4于点 D．且Q 1, ,设直线 QA，QD，QB的斜率分别为 k2 1
，

k1 kk 32， k3，若 k2 0，证明： k 为定值．2
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{#{QQABJQIEogAIABIAABhCQQVYCEIQkBECCKoGRFAAsAIAwAFABAA=}#}2023 年 12 月 6 日高中数学练习答案
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题

1．若平面 的一个法向量为u1 3, y, 2 ，平面 的一个法向量为u2 6, 2, z ，且 / / ，则 y z的值是（ ）
A．－3 B．－4 C．3 D．4

【答案】A【详解】∵ / / ，∴u1 / /u2 ，故存在实数 ，使得u1 u2 ，
6 3
y 1
即 3, y, 2 6, 2, z ，故 2 y，解得 ，∴ y z 1 4 3 .故选：A
z 2
z 4

2 2
2．设 P x y是椭圆 1上一点，P到两焦点 F1，F2的距离之差为 2，则 PF1F 是16 12 2
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B【详解】试题分析：两焦点分别为：（2，0），（-2，0）．
根据椭圆的定义：P到两焦点F1,F2的距离之和等于 4×2=8 ，
又因为 P到两焦点F1,F2的距离之差为 2，可求得，P到两焦点距离分别为 5，3.
所以三角形边长分别为 3，4，5.所以是直角三角形选 B.
2 2
3 x y．已知双曲线C : （1 a 0,b 0)的两个顶点为 A，A ，双曲线C上任意一点 P（与 A , A 不重合）都满足 PA，PA
a2 b2 1 2 1 2 1 2
5
的斜率之积为 ，则双曲线C的离心率为（ ）
4
9 3 4
A． B． C D 5． ．
4 2 3 2
【答案】B 【详解】设 P(x, y)，由 A1( a,0),A2 (a,0) ，
x2 y2 a2 2 2 2
由 22 2 1，所以 x a
2 y y y y b 5 2 ，可得 k k ，a b b PA1 PA2 x a x a x 2 a 2 a 2 4
2
所以5a2 4b2 4(c2
c 3
a2) c 9，即9a2 4c2 ，所以 e 2 ，所以离心率 .故选：Ba 4 a 2
4．直线 l： y k x 2 与曲线 x2 y2 1 x 0 相交于A、 B两点，则直线 l倾斜角的取值范围是（ ）
0, , , 3 0, A B C ,
3
．[ p) ． U ．4 2 2 4 2 2 D．
,
4 4
y k x 2 2
【答案】B【详解】由 可得 x2 k 2 x 2 1 x 0 ，
x2 2 y 1 x 0
1 k 2 x2 2 2k 2x 2k 2整理得到 1 0在 0, 上有两个不同的根，
2k 2 1
2 0
1 k 4
故 8k 4 1 k 2 2k 2 1 3 0 ，解得 k 1 k 1 , 或 故直线的倾斜角的范围为： ,4 2
U , ，故选：B
2 4
2 2k 2

2 0 1 k
试卷第 1页，共 11页
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5．三棱柱 ABC DEF 中，G为棱 AD的中点，若 BA a,BC b,BD c，则CG （ ）
1
A． a b c B． a b c2
1 a 1

b c 1
1
C． D． a b c
2 2 2 2
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可．
1 1 CG CA AG CA AD ( BA BC) ( BD BA) (a b) 1 (c a) 1
1
【详解】 a b c ．故选：D．
2 2 2 2 2
6．在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M ， N， P，Q分别为DD1， AD，C1D1，C1C的中点，则异面直线MN 与 PQ所
成的角大小等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．90°
【答案】A 【详解】取CD的中点 E，连接ME,NE,CD1，
因为M ,E,P,Q分别为DD1，CD，C1D1，C1C的中点，
所以ME / /CD1,PQ / /CD1 ，所以 PQ / /ME ，故 NME为异面直线MN与 PQ所成的角，
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，由M ,N ,E分别为DD1， AD，CD的中点，
则MN ME NE，即 MNE为等边三角形，所以 NME 60 ，即异面直线MN与 PQ所成的角大小等于60 .
故选：A
2 2
7 x y．已知椭圆 2 2 1的左顶点为 A，右焦点为 F2，过右焦点作 x轴垂线交椭圆于 B、C两点，连结 BO并延长交 ACa b
于点 M，若 M为 AC的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A 1 B 2 C 2． 2 ． ． 3 D
3
．
2 2
c2 2 2
【答案】A y【详解】当 x c时， 2 2 1, y
b
，
a b a
b2 2 2 2 2
所以 A( a,0),B(c, ),C(c, b ),O(0,0) M (c a , b ) OM (c a ，则 ， , b b ),OB (c, ) ，
a a 2 2a 2 2a a
c a b2 b2 1
则OM / /OB，则 ( )c 0, a 2c, e .故选：A
2 a 2a 2

8．已知 A，B是圆C1 : x
2 y2 1 2 2上的动点， AB 3，P是圆C2 : (x 3) (y 4) 1上的动点，则 | PA PB |的取值范
围为（ ）
7 ,13A ． B．[3,6] C． [7,13] D．[6,12] 2 2
【答案】C【详解】由题意可得C1是圆心为 0,0 半径为 1的圆，C2是圆心为 3, 4 半径为 1的圆，
AB M AB 3 OM OA2 AM 2 1 3 1 M O : x2 y 2
1
设 中点为 ， ，由垂径定理得 ， 在圆 上，
4 2 4

又 | PA PB | | 2PM | 2PM ，由图可知 (PM )min OC 1
1 32 42 3 7 1 132 ， (PM )max OC2 1 ，2 2 2 2 2
试卷第 2页，共 11页
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| PA PB |的范围为[7,13] .
故选：C
二、多选题

9．已知空间向量 a 2, 1,1 ，b 3, 4,5 ，则下列结论正确的是（ ）
2a b a 5 a 3 b a 5a 6b 3 , 2 , 1A． ∥ B． C． D． a在b上的投影向量为
10 5 2

【答案】BCD 【详解】易知 2a b 1, 2,7 1 2 7，显然 ，故 A错误；
2 1 1
a 2 2 2

易知： 1 12 6, b 3 2 4 2 5 2 5 2 5 a 3 b ， 故 B正确；

易知5a 6b 8,19,35 a 5a 6b 2 8 1 19 1 35 0 ，故 C正确；

a b 5
a在b上的投影向量 2 b 3,4,5
3 2 1
, ,

50 10 5 2 ，故 D正确. 故选：BCDb
10．如图，在棱长均相等的正四棱锥 P ABCD中，M、N分别为侧棱 PA、 PB的中点，O是底面四边形 ABCD对角线
的交点，下列结论正确的有（ ）
A． PC / /平面OMN B．平面 PCD / /平面OMN
C．OM PA D．PD 平面OMN
【答案】ABC【详解】因为 O为底面四边形 ABCD对角线的交点，
所以 O为 AC的中点，由 M是 PA的中点，可得 PC∥MO，
因为 PC 在平面OMN，OM 平面OMN，所以PC / /平面OMN，A正确；
同理可推得 PD / /平面OMN，而 PC PD P，所以平面PCD / /平面OMN，B正确；
因为 PD 平面 PCD，故 PD不可能垂直平面OMN，D错误；
设该正四棱锥的棱长为 a，则 PA PC a ,AC 2a ，所以PA PC，
因为 PC∥MO，所以OM PA，C正确.故选 ABC．
11．以下四个命题表述错误的是（ ）
A．直线 m 1 x 2m 1 y m 3 m R 恒过定点 5, 2
B．圆 x2 y2 2 2上有且仅有 2个点到直线 l : x y 1 0的距离都等于
2
试卷第 3页，共 11页
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C．曲线C1 : x
2 y2 2x 0 2 2与C2 : x y 4x 8y m 0恰有四条公切线，则实数m的取值范围为 4 m 20
D．已知圆C : x2 y2 2,P为直线 x y 2 3 0上一动点，过点 P向圆C引条切线 PA，其中A为切点，则 PA的
最小值为 2
【答案】BD
x 2y 1 0
【分析】A选项，变形后得到 ，求出定点；B选项，求出圆心到直线的距离，结合圆心和半径，数形结
x y 3 0
合得到有且仅有 3个点符合题意；C选项，根据公切线条数得到两圆的位置关系，结合圆心距列出不等式，求出答案；
D选项，数形结合得到当OP取得最小值时， PA取得最小值，利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】A选项， m 1 x 2m 1 y m 3 m R 变形得到m x 2y 1 x y 3 0，
x 2 y 1 0 x 5
故 ，解得 ，所以恒过定点 5, 2 ，A表述正确；
x y 3 0 y 2
0 0 1
B 2选项，圆 x2 y2 2的圆心 0,0 到直线 l : x y 1 0的距离 d ，
1 1 2
因为圆 x2 y2 2的半径为 2，
故圆 x2 y2 2 2上有且仅有 3个点到直线 l : x y 1 0的距离都等于 ，B表述错误；
2
C选项，曲线C1与C2恰有四条公切线，故圆C1与圆C2相离，
2
其中 x2 y2 2x 0变形为 x 1 y2 1，圆心为 1,0 ，半径为 1，
x2 y2 4x 8y m 0 x 2 2变形为 y 4 2 20 m，圆心为 2,4 ，半径为 20 m，
故 20 m 0，解得m 20，
2
故圆心距为 2 1 42 5，所以5 20 m 1，
解得m 4，
则实数m的取值范围为 4 m 20，C表述正确；
D选项，圆C : x2 y 2 2的圆心为O 0,0 ，半径为 2，
2 3
圆心到直线 x y 2 3 0的距离为 6 2 ，
1 1
2
故过点 P向圆C引条切线 PA，有 PA2 2 OP2 ，
所以当OP取得最小值时， PA取得最小值，
2 2
OP的最小值为 6 ，故 PA最小值为 6 2 2 ，D表述错误.
故选：BD
试卷第 4页，共 11页
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2 2
12 x y．已知曲线 C： 1 (mn 0)，则下列命题中为真命题的是（ ）
m n
A．若m n 0，则 C是圆 B．若m 0，n 0，且m n 0，则 C是椭圆
C．若mn 0，则 C n n是双曲线，且渐近线方程为 y x D．若0 m 1，n 1，则 C是椭圆，其离心率为 1
m m
x2 y2
【答案】BC【详解】解：对于 A：若m 1，则 n 1，原方程为 1，此时曲线 C不存在，故 A不正确；
1 1
x2 y2 x2 y2
对于 B：由已知得 + 1，又m 0，n 0，且m n 0，所以 + 1表示椭圆，故 B正确；
m n m n
n
对于 C：若mn 0，则 C是双曲线，但渐近线方程为 y x，故 C正确；
m
x2 y2
对于 D：由已知得 + 1，又0 m 1，n 1，所以 n>1，则曲线 C是焦点在 y轴上的椭圆，所以 a2 n,b2 m，
m n
2 2 2 n m mc a b n m，其离心率为 e 1 ，故 D不正确，故选：BC.
n n
三、填空题
13．2023年 10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲 乙 丁 3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐 3辆车，
沪昆高速杭州入口有 A,B,C共 3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为 ．
2
【答案】 9 【详解】该团的 3辆自驾车在 3个窗口等候的基本事件总数为
33，
3 3个窗口各有 1辆车在等候的事件含有A3个基本事件，
A3 2 2
所以每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为 P 33 .故答案为：3 9 9
2 2
14 x y．已知椭圆C : 1的左、右焦点分别为 F1， F2，点 A 1,1 ，若点 P为椭圆C上一点，则 PF2 PA 的最大值16 12
为 .
x2 y2
【答案】8+ 10【详解】如图所示，由椭圆方程为C : 1，则 F 2,0 ，F 2,0 ，
16 12 1 2
A 1,1 1 1 7又点 ，满足 1，所以点A在椭圆内，
16 12 48
由椭圆定义可知 PF1 PF2 2a 8，即 PF2 8 PF1 ，
所以 PF2 PA 8 PA PF1 8 AF1 8 1 2
2 1 2 8 10 ，故答案为：8+ 10 .
15． 1 x 3 1 x 4 1 x 8的展开式中 x3的系数是 ．
【答案】126
【分析】根据展开式的通项公式表示出各部分中 x3的系数，然后利用组合数的性质进行求解．
n r n r r r r
【详解】因为 1 x 的展开式的通项公式为Tr 1 Cn 1 x Cn x ，
所以 1 x 3 1 x 4 1 x 8的展开式中 x3的系数为：
C3 C3 C3 C3 C3 3 4 3 3 3 3 3 43 4 5 6 7 C8 C4 C4 C5 C6 C7 C8 C9 126．
故答案为：126 .
试卷第 5页，共 11页
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2 2
16．已知 F1,F
x y
2分别是双曲线 1的左右焦点，若 PF1 5，则 PF .4 12 2
9 x
2 y2
【答案】 【详解】根据双曲线方程 1可得2a 4,c 4，
4 12
再由双曲线定义可得 PF2 PF1 2a 4，解得 PF2 9或 PF2 1，
又因为 PF2 c a 2，所以可得 PF2 9 .故答案为：9
四、解答题
17．已知空间三点 A 2,0,2 ， B 1,1, 2 ，C 3,0, 4 ，设 AB=a ， AC b .

(1)求 a 与b 的夹角 的余弦值；

(2)若向量 ka b 与 ka 2b互相垂直，求 k的值.

a b 1 10
【详解】（1） AB a 1,1,0 ， AC b 1,0,2 . cos a b 2 5 10 .

（2） ka b k 1,1,0 1,0,2 k 1,k, 2 ， ka 2b k 1,1,0 2 1,0,2 k 2,k, 4 .

ka 2
5
因为向量 b 与 ka 2b互相垂直，所以 k 1 k 2 k 8 0，即 2k 2 k 10 0，解得 k 或 k 2 .2
2 2
18 x y 2 5．已知双曲线C : 1 a 0,b 0 的一条渐近线与直线 x 2y 02 2 垂直，且右顶点A到该条渐近线的距离为 .a b 5
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线 l与双曲线C交于A、 B两点，线段 AB的中点为M 3, 2 ，求直线 l的方程.
【详解】（1）因为双曲线C的一条渐近线与直线 x 2y 0 1垂直，且直线 x 2y 0的斜率为 ，且双曲线C的渐近线
2
b
为 y x
1 b b
，则 1，可得 2，
a 2 a a
所以，双曲线C的渐近线方程为 y 2x，即 2x y 0，
2 5 2a 2 5
因为右顶点 a,0 到该条渐近线的距离为 ，所以 ，
5 5 5
2
解得 a 1 y，所以b 2，所以双曲线C的方程为 x2 1.
4
（2）若直线 l x轴，则A、 B关于 x轴对称，此时，线段 AB的中点在 x轴上，不合乎题意，
y2
x
2 1 1
A x
1 4
设 1, y1 、 B x2 , y2 ，设直线 l的斜率为 k，则 2 ，
x2 y2 2 1 4
y2 y2 y y y y则 x2 x2 1 2 y y y y1 2 0，所以 x 1 2 1 2 1 2 1 2 44 1 x2 x1 x2 0，化简得4 x1 x2 x1 x .2
因为线段 AB的中点为M 3, 2 ，所以 x1 x2 6， y1 y2 4，
4
所以 k 4，解得 k 6，双曲线渐近线为 y 2x，直线斜率大于渐近线斜率，
6
故过点M 3, 2 的直线与双曲线有两个交点.所以直线 l的方程为6x y 16 0 .
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19．已知点 A 2, 1 、 B 6,3 ．
(1)求线段 AB的垂直平分线的直线方程；
(2)若点A、 B到直线 l : ax y 1 0的距离相等，求实数 a的值．
C 2,1 k 1 3 1【详解】（1）解：线段 AB的中点为 ， AB ， 2 6 2
故线段 AB的中垂线的方程为 y 1 2 x 2 ，即2x y 5 0.
（2）解：由条件线段 AB的中点为C 2,1 在直线上或线段 AB所在直线与直线平行，
若线段 AB的中点为C 2,1 在直线 l上，则 2a 1 1 2a 2 0，解得 a 1；
1 1 1
线段 AB所在直线与直线 l平行，则 a kAB ，解得 a ．综上所述， a 1或 .2 2 2
20．某医疗小组有 4名男性，2名女性共 6名医护人员，医护人员甲是其中一名．
(1)若从中任选 2人参加 A， B两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不
参加A项救护活动的选法种数；
(2)这 6名医护人员将去 3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有 2人前往，若 2名女性不能去往同一
个地方，求不同的分配方案种数．
【详解】（1）分两类：①甲参加 B项救护活动，再从其余 5人中选一人参加 A，选法数为C15 5，
2
②甲不参加救护活动，则从其余 5人中任选两人参加救护活动，选法数为A5 20，所以共有选法种数为 20+5=25；
2 2 2（ ）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：A3 ，第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：A4，
2 2 2 2
第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有：C2 ，所以共有不同的分配方案数为：A3A4C2 72．
21．如图，四棱锥P ABCD中，四边形 ABCD为梯形，其中 AB CD, BCD 60 ， AB 2BC 2CD 4, AD PB．
(1)证明：平面 PBD 平面 ABCD；

(2)若 PB PD 4 3，点 E满足 PE 2EC，且三棱锥 E ABD的体积为 ，求平面 PAD与平面BDE的夹角的余弦值．
3
【详解】（1） BCD 60 ,BC CD 2, BCD为等边三角形， AB 2BD 4 ，
又四边形 ABCD为梯形， AB DC，则 ABD 60o，根据余弦定理可知，在△ABD中，
AD2 AB2 BD2 2AB BD cos ABD 42 22 2 4 2 1 12
2
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根据勾股定理可知， AD2 BD2 AB2 ，即 AD BD，
AD PB ,PB BD B ,PB ,BD 平面 PBD， AD 平面 PBD，又 AD 平面 ABCD, 平面 PBD 平面 ABCD；
（2） O为 BD中点，PB PD, PO BD，
由（1）可知，平面 PBD 平面 ABCD，
又平面 PBD 平面 ABCD BD ,PO 平面 PBD，
PO 平面 ABCD，
连接OC，则OC BD，且OC 平面 ABCD，
故 PO OC,PO BD，所以 PO，BD，OC两两垂直．

以 O为原点，以OB为 x轴正方向，以OC为 y轴正方向，以OP为 z轴正方向建立空间直角坐标系，
则 A 1, 2 3,0 ,B 1,0,0 ,C 0, 3,0 ,D 1,0,0 ，

P 0,0, t t 0, PE 2

PC E 2 3 t 0, , E ABD 4 3 1 1 t 4 3设 且 ，则 ，由三棱锥 的体积为 得：3 3 3 2 2 3
，
3 3 2 3 3
所以 t 6，
2 PE PC, E O,
2 3 ,2 2 3 ,DE 1, , 2 ,DB 2,0,0 ,DC 1, 3,0 ,DP 1 ,0,6 ,DA 2CO 0, 2 3,0 ，3 3 3

m DP a 6c 0
设平面 PAD的一个法向量为m a,b,c ，则 ，令 c 1，则b 0,a 6，故m 6,0,1 ，
m DA 2 3b 0
n DB 2x 0
设平面 BDE的一个法向量为n
r
x, y, z ，则 2 3 ，令 y 3，则 x 0, z 1，
n DE x y 2z 0
3

故 n 0, 3, 1 ．
m n 1 37
所以平面 PAD与平面 BDE的夹角余弦值为： cos m, n m

n .( 6)2 1 ( 3)2 1 74
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22．在平面直角坐标系 xOy
45
中，动圆 P 2 2与圆C1 : x y 2x 0 内切，且与圆C2： x
2 y2 2x 3 0外切，记动圆
4 4
P的圆心的轨迹为 E .
(1)求轨迹 E的方程；
3
(2)过椭圆 C右焦点的直线 l交椭圆于 A，B两点，交直线 x 4于点 D．且Q 1, ,设直线 QA，QD，QB的斜率分别为 k2 1
，

k k
k2， k
1 3
3，若 k2 0，证明： k 为定值．2
2
【详解】（1）由已知圆C 2 7 1可化为标准方程： x 1 y 2 ，即圆心C1 1,0 ，半径 r
7
1 ，
2 2
2
圆C 2 1 2可化为标准方程： x 1 y 2 ，即圆心C2 1,0 ，半径 r
1
2 r ， C1C2 2，经分析可得， R r1，则
2 2 1
7
PC1 r1 R R
R r 7 21 R .由题意可知， 两式相加得， PC2 1
PC2 4 C1C2 2，
PC2 R r2 R
1

2
x2 y2
所以，点 P的轨迹为以C1,C2 为焦点的椭圆，可设方程为 2 2 1 a b 0 ，则 2a 4，a 2， 2c 2， c 1，a b
b2 a2 c2 3 x
2 y2
，所以，轨迹 E的方程为 1 .
4 3
（2）由题意直线 AB的斜率一定存在，由（1）知，c 1，则椭圆的右焦点坐标为 1,0 ，
3k 3
设直线 AB 方程为： y k x 1 ，D坐标为 4,3k ．所以 k 2 1，2 k 4 1 2
设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，将直线 AB方程与椭圆方程联立得
3 4k 2 x2 8k 2x 4k 2 12 0 2． 8k 2 4 4k 2 3 4k 2 12 144 k 2 1 0 恒成立，
2
x1 x
8k
2 3 4k 2
由韦达定理知 ，且 y1 k x1 1 ， y2 k x2 12 ，
4k 12

x1x2 3 4k 2
y 31 y
3
2 k x1 1
3 k x2 1
3
则 k k 21 3 2 2 2x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
8k2
2k 3 x1 x 2
2 2 k1 k3 2k 1
2 3
2 x x x x 1 2k
3 4k
2 2k 1．故 1
2
（定值）．
1 2 1 2 2 4k 12 8k2
k2 k
1 2
3 4k2 3 4k2
【点睛】圆锥曲线中取值范围或者定值问题的求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造关系，从而确定参数的取值或者范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的关系建立不等式或者方程，从而求出参数的取值或者范围；
（4）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
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23．在 ABC中，角A， B，C所对的边分别为 a，b，c，且 acosB 2ccosC bcos A．
(1)求C的值；
(2)若c 4， a b 2 7 ，求 ABC的面积．
【详解】（1）因为a cos B b cos A 2c cosC ，
由正弦定理得， sin AcosB sinBcos A 2sinC cosC，
又 sin AcosB sin Bcos A sin A B sinC ，所以 sinC 2sinC cosC，
1 π
又C 0, π ，所以 sinC 0，故 cosC ，所以C .
2 3
（2）由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC (a b )2 3ab 28 3ab 16 ，所以ab 4，
1
故 S△ABC absinC 3．2
24．已知正方形 ABCD的边长为 2，△P AB为等边三角形（如图 1所示）．沿着 AB折起，点P 折起到点 P的位置，使
得侧面 PAB 底面 ABCD．M 是棱 AD的中点（如图 2所示）．
(1)求证：PC BM ；
(2)求点C与平面 PBM 的距离．
【详解】（1）如图，取 AB中点 O，连接OC交 BM于 E ,
∵ PAB为等边三角形，∴PO AB，
又∵平面 PAB 平面 ABCD， PO 平面 PAB，平面 PAB 平面 ABCD AB，
故 PO 平面 ABCD，
而 BM 平面 ABCD，∴PO BM ，
1 1 1 1
又∵BM BA BC ,OC BA BC ，∴ BM OC BA BC BA BC 0 .∴BM OC，2 2 2 2
又∵PO 平面 POC ,OC 平面 POC ,PO OC O，∴ BM 平面 POC，
∵ PC 平面 POC，∴PC BM .
（2）设点C与平面PBM 的距离为d ，
∵ABCD是正方形，△PAB为等边三角形，∴ PB 2,PO 3,BM 5, AM 1,S BMC 2，
又∵平面 PAB 平面 ABCD， AD 平面 ABCD，平面 PAB 平面 ABCD AB，故 AD⊥平面 ABCD，
而 PA 平面 PAB，所以， PA AD，
∴在Rt PAM 中， PM PA2 AM 2 5，∴PM BM ,则易得S PMB 2，
1 2 3
由（1）知，PO 平面 ABCD，∴PO为三棱锥 P BMC的高，∴VP BMC S3 BMC
PO
3
V V 1 2 3又∵ P BMC C PBM S PBM d ，得 d 3 .3 3
故点C与平面 PBM 的距离为 3 .
试卷第 10页，共 11页
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25．已知抛物线 C： y2 =2px经过点 P（1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l与抛物线 C有两个不同的交点 A，B，且直线
PA交 y轴于 M，直线 PB交 y轴于 N．
（Ⅰ）求直线 l的斜率的取值范围；
1 1
（Ⅱ）设 O为原点，QM QO ，QN QO，求证： 为定值．
解：（Ⅰ）因为抛物线 y2=2px经过点 P（1，2），
所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x．
由题意可知直线 l的斜率存在且不为 0，
设直线 l的方程为 y=kx+1（k≠0）．
y2 4x
2由 得 k x2 2k 4 x 1 0．
y kx 1
2
依题意 2k 4 4 k 2 1 0，解得 k<0或 0又 PA，PB与 y轴相交，故直线 l不过点（1，-2）．从而 k≠-3．
所以直线 l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2）．
x 2k 4 1由（I）知 1 x2 2 ， x1x ．k 2 k 2
y 2
直线 PA y 2 1的方程为 x 1 x 1 ．1
y 2 kx 1
令 x=0 M y 1 2 1，得点 的纵坐标为 M 2x1 1 x1 1
．
y kx2 1同理得点 N的纵坐标为 N 2x 1 ．2

由QM = QO，QN= QO得 =1 yM ， 1 yN ．
2 2k 4
1 1 1 1 x1 1 x 1 1 2x x x x 1 2 2所以 2 1 2 1 2 k k =2
1 yM 1 yN k 1
．
x 1 k 1 x 2 k 1 x 1x 2 k 1 1
k 2
1 1
所以 为定值．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式
转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，
因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
试卷第 11页，共 11页
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