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5.4.2 课时2
正弦函数、余弦函数的性质
一、正弦函数、余弦函数的对称性
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

y = sin x，x ∈ R
对称轴：
对称中心：
y = cos x，x ∈ R
对称轴：
对称中心：
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

练习：函数 的一条对称轴是（ ）
解：经验证，当
时
为对称轴
求函数 的对称轴和对称中心
解（1）令
则
的对称轴为
解得：对称轴为
的对称中心为
对称中心为
二、正弦函数、余弦函数的单调性
1.当 时，正弦函数在哪些区间上是增函数？
在哪些区间上是减函数？
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

y=sinx
… 0 … … …
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

y=sinx
y = sinx (x R)
增区间为 [ ， ] 其值从-1增至1
x
sinx
-1
0
1
0
-1
减区间为 [ ， ] 其值从1减至-1
还有其他单调区间吗
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

y=sinx
增区间：
减区间：
周期性
2.由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间和减区间？怎样把它们整合在一起？
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

y=sinx
3.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？
正弦函数有无数多个增区间和减区间.
在每个增区间上，函数值从 增大到 ，
在每个减区间上，函数值从 减小到 .
正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，
其值从-1增大到1；
在每一个闭区间 上都是减函数，
其值从1减小到-1.
余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？
在每个闭区间____________________上都是减函数，
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

余弦函数在每个闭区间____________________上都是增函数，
其值从____增大到____；
其值从____减小到____.
函 数 名 递增区间 递减区间
y = sinx
y = cosx
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数当且仅当x =______________时取得最大值__；
当且仅当x =_____________时取得最小值___.
三、正弦函数、余弦函数的最大值和最小值
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

余弦函数当且仅当x =__________时取得最大值___；
当且仅当x =_ __________时取得最小值___.
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域
单调性 在 (k∈Z)上单调递增，在 (k∈Z)上单调递减 在 (k∈Z)上单调递增，在 (k∈Z)上单调递减
最值 x＝ (k∈Z)时，ymax＝1； x＝ (k∈Z)时，ymin＝－1 x＝ (k∈Z)时，ymax＝1；
x＝ (k∈Z)时，ymin＝－1
[－1,1]
[－1,1]
[2kπ－π，2kπ]

2kπ
2kπ＋π
[2kπ，2kπ＋π]
【例3】下列函数有最大值 、 最小值吗？ 如果有 ， 请写出取最大值 、 最小值时自变量的集合 ， 并求出最大值 、 最小值 ．
（1） ， ∈R ；
（2） ， ∈R．
解 ： 容易知道 ， 这两个函数都有最大值 、 最小值 ．
（1）使函数 ， ∈R取得最大值的 的集合 ，
就是使函数 ， ∈R ，
取得最大值的 的集合｛ ｜ ＝2kπ ， k ∈Z ｝；
使函数， ∈R ， 取得最小值的 的集合 ，
就是使函数 ， ∈R取得最小值的 的集合
｛ ｜ ＝（ 2k +1） π ， k ∈Z ｝ ．
函数， ∈R 的最大值是1 + 1 = 2 ； 最小值是 -1 + 1 = 0．
（2）解 ： 令 z ＝2， 使函数） ， z∈R 取得最大值的 z 的集合 ，
就是使 ，z∈R 取得最小值的 z 的集合｛ z｜ ＝- +2kπ ， k ∈Z ｝
由 z ＝2＝ - +2kπ ，得＝ - +kπ ． 所以 ， 使函数 ， ∈R
取得最大值的 的集合是｛ ｜ ＝ - +kπ, k ∈Z ｝ ．
同理 ， 使函数 ， ∈R取得最小值的 的集合是
｛ ｜ ＝ +kπ, k ∈Z ｝ ．
函数 ， ∈R的最大值是 3 ， 最小值是 -3．
练：求使函数 取得最大值、最小值的自变量的集合，
并写出最大值、最小值各是多少.
答案：
最大值为3
最小值为1
【例4】不通过求值，指出下列各式的大小：
（1）
分析 ： 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小 ．
为此 ， 先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角 ， 然后再比较大小 ．
解 ：（1）因为-
，
所以
（2）cos；cos
解：cos=cos=cos
coscos=cos
因为，
所以coscos
cos
【例5】求函数∈[-２π ，２π] 的单调递增区间．
【分析】令= 当自变量 的值增大时， 的值也随之增大，
因此若函数 在某个区间上单调递增，
则在相应的区间上也一定单调递增 ．
解：令 = ， ∈［-２π ，２π］， 则 ∈
因为 ， ∈ 的单调递增区间是∈ ，
且由 ，得 ．
所以 ， 函数, ， ∈［-２π ，２π］ 的单调递增区间是
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
奇偶性
单调性（单调区间）
奇函数
偶函数
[ +2k , +2k ]，k Z
单调递增
[ +2k , +2k ]，k Z
单调递减
[ +2k , 2k ]，k Z
单调递增
[2k , 2k + ], k Z
单调递减
函数
余弦函数
正弦函数
求函数的单调区间：
1. 直接利用相关性质
2. 复合函数的单调性
3. 利用图象寻找单调区间

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