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项目七 定积分的应用
任务7.1 定积分在几何中的应用
教学目的：理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法；学会用元素法计算平面图形的面积和体积
教学重点：元素法的思想和直角坐标系下平面图形的面积、体积计算
教学难点：元素法的正确运用
授课时数：3学时
教学内容：
7.1.1 元素法
定积分是求某个不均匀分部的整体量的有力工具.实际生活、生产中有不少几何、物理问题需要用定积分来解决.为了理解和掌握用定积分解决实际问题的方法，有必要先回顾一下用定积分解决问题的方法和步骤. 总的思路是：首先通过分割即大化小的手段，把整体问题转化为局部问题；再在局部范围内“以直代曲”、“以规则代替不规则”或“以均匀代替非均匀”等方法，计算出总量在落在每个局部范围内的部分量的近似值；然后将所有部分量的近似值相加，得到总量U的近似值；最后取极限，求得总量的精确值．
一般地，能用定积分求解的总量 (如面积、路程等)应满足下列条件：
（1）所求总量与自变量的变化区间有关；
（2）所求总量在区间上具有可加性．即若把区间分割成个小区间，则所求总量等于各个小区间上的相应部分量之和，即．
如果所求总量满足以上两个条件，就可以考虑用定积分来求解，具体步骤如下：
（1）选取积分变量，确定其变化区间；
（2）任取小区间，求出该小区间上的相应分量的近似值．
在求小区间上的相应分量的近似值时，通常采用“以直代曲”、“以规则代替不规则”或“以均匀代替非均匀”等方法，使表示为某个连续函数与乘积的形式，即
，
称为所求总量的元素（或微元）；
（3）将元素在上积分(无限累加)，即得所求总量的精确值
．
在以上三步中，最关键的是第二步，即找出所求总量的元素(或微元)．因此将这种计算总量的方法称为定积分的元素法(或微元法)．
下面我们就用元素法来讨论定积分在几何及物理方面的一些应用．通过求解这些实际问题来加深对元素法的理解，从而提高解决实际问题的能力．
7.1.2 平面图形的面积
7.1.2.1 直角坐标系下平面图形的面积
1. 由连续曲线，直线及轴围成的曲边梯形的面积为
其中被积表达式就是面积元素，即．它表示高为，底为的矩形的面积(如图7-2)．
图7-2 图7-3
2. 求由在上连续的曲线及直线所围成的平面图形的面积(如图7-3)．
选为积分变量，，任取小区间，则与这个小区间相对应的窄条面积近似等于高为，底为的小矩形的面积，故面积元素为
,
在区间上积分，得
3. 求由连续的曲线，及直线所围成平面图形的面积 (如图7-4)．
　图7-4 图7-5
选为积分变量，，任取小区间，则与这个小区间相对应的窄条面积近似等于以为底，高为的小矩形的面积，故面积元素为
，
在区间上积分，得
【注意】 在一般情况下，平面上任意曲线所围成的平面图形可以看作是由若干条如图7-3及图7-4所示曲线组成，而每一部分的面积可用公式(7.1)或公式(7.2)来计算，然后对各部分面积求和(如图7-5)．
例1求由两条抛物线和所围成的平面图形的面积(如图7-6)．
解 联立并解方程组，可得两条抛物线交点分别为及．
选为积分变量，积分区间为，任取微区间，从而得到面积元素
，
则 ．
图7-6 图7-7
例2求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积(如图7-7)．
解 解方程组，得抛物线与直线的交点为．
选y为积分变量，，任取微区间，从而得面积元素
，
则
．
本题若选为积分变量如何计算？请读者自己思考．
例3 求椭圆所围成的面积(如图7-8)．
解 若选为积分变量，为图形在第一象限部分的面积，由图形对称性，得
. 图7-8
其中在计算积分时，要用三角代换去根号，比较麻烦．而由定积分的几何意义可知，该定积分正好是四分之一圆的面积，故．或利用椭圆的参数方程计算．此时，当由变到时，由变到，所以有
．
特别地，当时，可得圆的面积公式．
7.1.2.2 极坐标系下平面图形的面积
当围成平面图形的曲线能用极坐标表示或用极坐标进行计算比较简便时，就在极坐标系下计算平面图形的面积．
求由曲线及射线所围成曲边扇形面积(如图7-9)，其中)在上连续．
由于在上变动时，极径也随之变化，因此所求图形的面积不能直接利用圆扇形面积公式来计算，下面利用元素法来计算该曲边扇形的面积．
取极角为积分变量，，任取小区间，相应的小曲边扇形可以用半径为，圆心角为的圆扇形近似代替，从而得到曲边扇形的面积元素
,
因此，所求曲边扇形面积为
.
例4求双纽线所围成的平面图形的全面积(如图7-10)．
解 由图形对称性知，其中为图形在第一象限部分的面积．在第一象限的变化范围是，则
图7-10 图7-11
例5求心形线所围成的平面图形的面积．
解 图形关于极轴对称(如图7-11)．其面积是极轴的上半部分图形面积的两倍．对于，的变化范围是，则
7.1.3 旋转体的体积
7.1.3.1平行截面面积为已知的立体的体积
设一立体位于平面及之间，用一组垂直于轴的平面截此立体，所得截面面积是关于的已知连续函数，求此立体的体积(如图7-12)．
选取作为积分变量，，任取小区间，当很小时，在区间上可以近似地看作不变. 因此把上的立体薄片，近似地看作底面面积为，高为的柱体，则体积元素为
，
在上积分(体积元无限累加），便得所求立体的体积公式
例6 设有底圆半径为的圆柱，被一个与圆柱面交成角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形的体积．
解 如图7-13建立直角坐标系，则底圆方程为x2 + y2 = R2．任取微区间，过点作垂直于轴的平面，所得截面为一直角三角形，两条直角边分别为及，其面积为
，
微区间对应的实际小薄片体积可以用以为底面，以为高的柱体体积近似，从而得楔形体积为
．
7.1.3.2. 旋转体的体积
旋转体是指一个平面图形绕该平面内的一条直线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴．本书只讨论平面图形绕该平面上的坐标轴旋转一周而成的旋转体的体积计算．
求由连续曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积(如图7-14)．
选取为积分变量，任取微区间．过点且垂直于轴的截面为圆，其面积为
，
则微区间对应的薄片体积可用以为底面，以高的圆柱体体积近似，即（体积元素）.在上对体积元素无限求和，便得到旋转体的体积
图7-14 图7-15
同理，若立体是由连续曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体(如图7-15)，则该旋转体的体积为
例7 计算由椭圆绕轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积．
解 由椭圆方程，得，于是所求体积为(如图7-16)
．
同理可得，绕轴旋转而成的旋转的体积为．
特别地，当时，旋转椭球体成为半径为的球体，它的体积为．
图7-16 图7-17
例8 求由抛物线、直线及轴所围成的平面图形分别绕轴与轴旋转而成的旋转体的体积(如图7-17)．
解 由旋转体的体积公式，得该图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为
．
该图形绕轴旋转而成的旋转体的体积可看作由直线轴及轴所围成的矩形与由曲线、直线及轴所围成图形分别绕轴旋转而成的旋转体的体积之差，即
．
小结：
1 元素法的提出、思想、步骤
；②求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积.③旋转体体积的求法和平行截面为已知的立体的体积的求法.
作业：
习题7.1 1、 2、 3、 4、 5、 6.
任务7.2 定积分在物理学和经济学中的应用
教学目的：理解和掌握用定积分的元素法，解决物理上的实际问题和经济学问题
教学重点：如何将物理问题和经济问题抽象成数学问题
教学难点：元素法的正确运用
授课时数: 3学时
教学内容：
7.2.1力沿直线所做的功
在物理学和工程技术中，常常遇到计算变力做功的问题．设一物体受连续变力的作用，沿力的方向做直线运动，求该物体沿轴由点移动到点时，变力所做的功(如图7-18)．
如果物体受恒力作用沿力的方向移动一段距离，则力对物体所做的功为．而现在是一个变力，属于变力做功问题．由于所求的功是区间上非均匀分布的整体量，且对区间具有可加性，所以我们可以用定积分的元素法来求这个量．
取为积分变量，．任取一个小区间，由于是连续变化的，因此当很小时，在区间内的力可以近似地看作恒力，故在小区间上力所做功可近似地表示为 (即功元素)，再在区间上对功元素无限求和，得整个区间上变力所做的功为
例1 自地面垂直向上发射火箭，问初速度多大时火箭才能超出地球的引力范围．
解 设地球的半径为、质量为，火箭的质量为，则由万有引力定律知，当火箭离开地面的距离为时，它受到地球的引力为
．
式中代表引力常量. 因为当时，代入上式得，所以有．
易知火箭从距地面高度为升高到时克服引力所做的功可近似地表示为
，
所以，当火箭从地面()达到高度为处时需做功
．
由上式可知，当时．即要把火箭升高到无穷远，至少须对它做功，而这些功来自火箭发射的初动能，因此，为了使火箭超出地球引力范围，必须满足
，即．
若取，则
．
因此，为了使火箭超出地球引力范围，它的初速度至少为每秒11.2公里(即第二宇宙速度)．
例2 一个底圆半径为4米，高为8米的倒立圆锥形桶，装了6米深的水，试问要把桶内的水全部抽完需做多少功？
解 这个问题显然是变力做功问题．设想水是一层一层地被抽到桶口的，将每层小水柱提高到桶口时，由于水位不断下降，使得水层的提升高度连续增加，也是一个“变距离做功”问题．
如图7-19建立坐标系，这时圆锥形桶就可以看作是由直线和轴、轴所围成的三角形绕x轴旋转而成的旋转体． 图7-19
选为积分变量，，任取小区间，相应小区间上的小圆台近似地看作小薄片圆柱体，其水柱重为
．
将这层小水柱提高到桶口时所做的功(功元素)为
，
在区间上积分，即得所求的功为
，
即要把桶内的水全部抽完需作的功．
7.2.2 液体的压力
如图7-20，将一个形状为曲边梯形的平板垂直地放置在密度为的液体中，两腰与液面平行，且距液面的高度分别为与，求平板一侧所受液体的压力．
由物理学知道，在距液面深为处的压强为，并且在同一点处的压强在各个方向是相等的．如果一面积为的平板水平地放置在距液面深度为处，则平板一侧所受到的液体的压力为．但现在平板垂直的放在液体中，在不同深度处所受的压强也不同，于是整个平板所受压力是一个非均匀变化的整体量，且关于区间具有可加性．因此，我们可以借助于定积分的元素法来计算这个量．
如图7-20，建立坐标系，选为积分变量，，任取小区间，
如果很小，该小区间对应的小曲边梯形所受到的压强可以近似地用深度为处的压强代替，因此所受到的压力元素为
，
在上积分，便得整个平板所受到的压力为
例3 一个横放的半径为的圆柱形油桶，里面盛有半桶油，已知油的密度为，计算桶的
一个端面所受油的压力．
解 桶的一个端面是圆片，现在要计算当液面通过圆心时，垂直放置的一个半圆片的一侧所受到的液体压力．
如图7-21建立直角坐标系，圆的方程为，取为积分变量，．任取一个小区间，认为相应细条上各点处的压强相等，因此窄条一侧所受液体压力的近似值，即压力元素为
，
在上积分，得端面一侧所受的液体压力为
．
图7-21 图7-22
例4 一形状为等腰梯形的阀门，垂直放置在水中，较长的上顶与水面相齐，其长为200米，下底长为50米，高为10米，试计算水对阀门一侧的压力．
解 如图7-22建立坐标系，则腰的方程为，水面下处的窄条一侧所受水压力近似为
，
则整个阀门一侧所受的水压力为
(吨)．
除以上介绍的应用之外，还可以利用元素法计算旋转曲面的面积、平面薄片的重心、刚体的转动惯量、引力及在电学上的应用等．
7.2.3在经济学上的应用
经济管理工作中，也广泛存在求总量的问题，可用定积分求解.
7.2.3.1 由边际函数求总函数
设某产品的固定成本为，边际成本函数为（成本函数的导数），边际收益函数为（收益函数的导数），其中为产量，并假设该产品处于产销平衡状态，则根据经济学的有关理论及定积分的微元分析法知：
总成本函数
总收益函数
总利润函数
例5 设某产品的边际成本为(万元/百台)，固定成本（万元），边际收益为(万元/百台)，求:产量从台增加到台的成本增量；总成本函数和总收益函数；产量为多少时，总利润最大？并求最大利润.
解 ① 产量从100台增加到500台的成本增量为
（万元）.
②总成本函数
.
③总收益函数
.
④总利润函数
.
，令，得唯一驻点，又因为 （极值第二充分条件），所以当（百台）时，总利润最大，最大利润为（万元）.
7.2.3.2 由变化率求总量问题
在经济学上通常会遇到求总函数在自变量的某个范围的改变量，对这样的问题，可采用定积分来解决.
例6 某企业生产的产品的需求量与产品的价格的关系为，若已知需求量对价格的边际需求函数为（单位/元），试求产品价格由元浮动到时对市场需求量的影响.
解 已知，即，所以，价格由元浮动到时，总需求量
（单位）.
即当价格由元浮动到时，该产品的市场需求量减少了单位.
随堂练习
1. 生产某产品的边际成本函数为, 固定成本，求出生产个产品的总成本函数.
2. 某产品边际成本为，边际收益为， (与的单位均为万元，产量的单位为百台)，试求产量由增加到单位时的总利润。
小结:
利用“”求变力作功、水压力和引力等物理问题.
作业：
习题7.2 1、 2、 3、 4、 5.
图7-9
图7-12
图7-13
图7-18
图7-20

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