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项目三 一元函数微分学
3.1 导数的概念
教学目标：理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义；理解函数的可导与连续间的关系；了解函数可导的充要条件：存在.
教学重点：导数的概念及其几何意义.
教学难点：导数的几何意义.
授课时数：2课时
教学过程：
3.1.1 引例
引例1【瞬时速度问题】
学校体育课进行测试，小明用了完成.那么小明完成测试的速度是多少？
很显然，小明的平均速度为
但是否意味着小明一直是以每分钟的速度跑步呢？当然不是，一般情况下每分钟跑步的速度不完全相同.那么怎样求小明在某一时刻的瞬时速度呢？类似这样的问题有很多（例如火箭升空，飞机降落和起飞等），下面我们来讨论这类问题.
设物体做变速直线运动，其路程函数（或称路程方程）为，其中表示时间，表示路程，是连续函数.试求质点在时刻的瞬时速度.
分析：当物体做均速直线运动时，任意时刻的瞬时速度（即点速度）等于平均速度. 而当物体做变速度直线运动时，如何求时刻的速度呢？通常先用含时刻在内时间段的平均速度来近似时刻的速度，然后不断地修改近似值使其越来越接近时刻速度的实际值（含时刻在内的时间段越小，近似效果越好），即用无限逼近的方法（即极限方法）求出精确值（这也是高等数学解决实际的基本思路）.具体如下：
当时间由改变到时，物质在这段时间内所经过的距离为
当物体做匀速直线运动时，它的速度不随时间而改变，即
是一个常量，它是物体在时刻的速度，也是物体在任意时刻的速度.
但是，当物体做变速直线运动时，它的速度随时间而变化，此时表示物体从到这一段时间内的平均速度，即
.
当很小时，可以用近似地表示物体在时刻的速度，越小，近似程度越好.当无限趋近于零时，平均速度将无限趋近于瞬时速度.当时，如果极限存在，就称此极限为物体在时刻时的瞬时速度，即
. （3.1）
【案例2·速度问题的解答】：在所给时间段的平均速度为，实际上，运动员一直在运动，没有静止.因此，不能用平均速度描述运动员的运动状态.也表明光有平均速度是不够的，还得研究运动员的瞬时速度.
引例2 【平面曲线上某点处的切线斜率】
在平面几何中，圆的切线被定义为“与圆只相交于一点的直线”．而对一般曲线来说，这个定义显然不适用．例如对于曲线，所有与平行的直线与该曲线都有唯一交点，但它们都不是切线；另外，过曲线上任一点都有无数条直线仅交曲线于该点，但切线只有一条（如图3-1所示）；而图3-2中的直线与曲线相交于两点，但仍是曲线的切线．因此，有必要给出平面曲线在某一点处切线的普遍性定义（用极限思想定义切线）．
图3-1 图3-2
设点是曲线上一点(如图3-3)，在上除点外另取一点，做割线．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动而无限接近于它的极限位置，则称直线为曲线在点处的切线．现在我们来求切线的斜率．
设曲线的方程为，点和的横坐标分别为和，则割线的斜率为
，
其中是割线的倾角．当点沿曲线趋于点（即)时，割线趋于切线．设切线的倾角为，那么，当时，，.
即割线的斜率的极限就是切线的斜率，即
（3.2）
由此可见，曲线在点处的纵坐标的增量与横坐标的增量之比，当时的极限即为曲线在点处的切线斜率.
以上两个例子，尽管实际意义不同，但它们所使用的数学方法是相同的，都可归结为求函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋向零时的极限.在自然科学和工程技术中还有很多问题，如交流电路中的电流强度、角速度、线密度等都可以归结为这种极限形式.我们抛开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性 即函数值的增量与自变量增量比当自变量增量趋向于零时的极限，给出函数导数的概念．
3.1.2 导数的概念
定义3-1 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处有增量(,仍在该邻域内)时，相应地函数有增量，若极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记作
　，
即
. (3.3)
函数在点处可导有时也说成在点处有导数或导数存在.如果上述极限不存在，则称函数在点处不可导．
于是，在引例1中物体在时刻时的运动速度可表示为，引例2中曲线在切线斜率可表示为.
在实际中，点处函数的导数也经常表示为如下形式：
.
【注意】导数的实质是点变化率. 例如，物体运动的平均速度是时间间隔上的平均变化率，而瞬时速度则是点变化率.
例1 用导数定义求函数在点处的导数.
解 由导数的定义，
．
例2设，并判断是否存在．
解 .
由于，，据此可知不存在，即不存在.
随堂练习
1. 某质点的运动方程为（是路程，是时间），求质点在时的速度.
2. 讨论在点的可导性.
3. 利用导数定义求抛物线在点处的切线斜率.
3.1.3 导函数
如果函数在区间内的每一点处都可导，则称函数在区间内可导．这时对于区间内的每一个值，都有唯一确定的导数值与之对应，这样就确定了一个新的函数，我们称这个新函数为函数在区间内的导函数，记作即
显然，函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即
.
今后，在不至于引起混淆的情况下，导函数也简称为导数.
【注意】若函数在区间内有一点处不可导，则称函数在区间上不可导.
3.1.4 求导举例
由导数的定义可知，求函数的导数可分为以下三个步骤：
(1) 求增量 ；
(2) 算比值 ；
(3) 取极限 ．
通常将以上三个步骤合在一起来写．下面我们求几个基本初等函数的导数，得出的结果以后可作为公式使用，要牢记．
例3 求函数的导数．
解
即常量函数的导数为
．
例4 求函数的导数．
解
，
即
.
用类似的方法可求得 .
例5 求对数函数的导数．
解
（因为），
即
.
特别地，当时，有 ．
据此来验证第二个重要极限．
设，则．根据导数的定义，又有
.
因此，，由此可得
或.
例6 求指数函数的导数．
解
（因为），
即　　　　　　　　　　　.
特别地，当时，有 ．
另外，在例1中如果将换成便可得；还可利用导数定义求得，.
一般地，对于幂函数（是任意实数）有导数公式
.
随堂练习
4. 利用导数定义求函数的导数及.
5. 求下列函数导数
（1）；（2） ； （3）函数在的导数.
3.1.5 导数的几何意义
由3.1.1的引例2知，函数在点处的导数等于曲线在点处的切线斜率，即，其中为切线的倾角，这就是导数的几何意义．
如果函数在点处的导数存在，则曲线在点处的切线方程为
.
若（说明倾角是90°），则曲线在点处具有垂直于轴的切线；若不存在且不为无穷大，则曲线在点处没有切线．
过点且与该点切线垂直的直线叫作曲线在该点处的法线．若，则过点的法线方程为
．
而当时，过点的法线为垂直于轴的直线．
顺便指出，若函数在区间内可导，则对应于区间的函数曲线上每一点处都有不垂直于轴的切线，从而这段曲线为光滑曲线（无“尖点”）.
例7 求抛物线在点处的切线方程和法线方程．
解 由导数的几何意义知，抛物线在点处的切线斜率为
，
所求的切线方程为 ，即；
法线方程为 ，即．
随堂练习
5.求曲线在点处的切线方程和法线方程．（已知）
3.1.6 可导与连续的关系
定义3-2（单侧导数）若下面两个极限
，
存在，则称它们分别为函数在点处的左导数和右导数，且分别记作和，也可分别记作和．
定理3-1 函数在点处可导的充分必要条件是在点处的左导数和右导数都存在且相等，即．
例8 讨论函数在处的连续性和可导性．
解 因为，
，又，所以
函数在处的连续(如图3-4）
，
．
由于，所以函数在处不可导．
从图形上看，曲线在原点处出现“尖点”，没有确定的切线(如图3-4)．
3.1.7 可导与连续的关系
例8表明，一个函数在一点连续，但在该点未必可导．但可以严格证明，可导则必然连续，即有以下定理：
定理3-2 如果函数在点处可导，则函数在点处一定连续．
例9 考察函数在处的连续性与可导性．
解 因为，因此在处连续．又因为
，
所以在处不可导．从图形上看，曲线在原点O处具有垂直于轴的切线（如图3-5）．这也说明函数在其定义不可导，但除外，处处可导.因在是等初函数，所以处处连续.
随堂练习
4.若函数 处处可导，试,求的值.
小结：
理解导数的概念，导数的几何意义与基本物理意义，知道求导的三步骤，理解函数的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要面非充分条件，了解函数可导的充要条件：存在，掌握导数的物理意义和几何意义.
作业：
习题3.1 1、2、3.
3.2 求导法则
教学目标：掌握导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式；掌握复合函数求导法则；会运用法则求初等函数的导数.
教学重点：基本初等函数的求导公式，求导法则.
教学难点：复合函数求导.
授课时数：2课时
教学过程：
3.2.1 求导法则
定理3-3 设函数与在点处可导，则它们的和、差、积、商(分母为零的点除外)都在点处可导，且有如下求导法则：
（1）；
（2）；
（3）（是常数）
（4）．
另外，上述法则（1）与（2）可推广到有限多个可导函数的情形，例如
，
.
例1 已知求．
解
．
例2 求的导数．
解
，
即 ．
用类似的方法可得 ．
例3 求的导数．
解　，
即 ．
用类似的方法得　　 ．
例4 设，求．
解
．
例5 在一个并联电路中，含有一个阻值为的恒定电阻和一个阻值为的可变电阻,求总电阻对的变化率.
解 在该并联电路中，总电阻与的关系为，由此可得
，
故对的变化率为 .
随堂练习
1.求下列函数的导数．
（1）； (2)；
（3）；
（4）设；
（5）.
3.2.2 复合函数的求导法则
前面我们利用导数的四则运算法则和一些基本初等函数的导数公式求出了一些比较复杂的初等函数的导数．但是产生初等函数的方法除了四则运算外，还有函数的复合运算．因而必须学习复合函数的求导法则．不妨先讨论如下具体问题．
引例 设，求.
方法一： 由于，
所以 ；
方法二：简单套用公式求解：.哪一个计算结果对呢？两者选其一.事实上，方法一正确，方法二错误，究其原因：函数是复合函数，不用直接套用基本初等函数的求导公式，方法一利用二倍角公式将复合函数转化成两个基本初等函数的乘积后再按法则求解，过程和结果都正确；而方法二没有将复合函数化成基本初等函数求解，盲目套用了基本公式，故作法错误，今后求导时要注意函数的复合性.如何求一般复合函数的导数呢？下面给出复合函数的求导法则：
定理3-4 (链式法则) 如果函数在点处可导，而函数在对应点处可导，那么复合函数在点处可导，且有
或．
求复合函数对的导数时，首先将其分解为几个简单函数和，然后使用复合函数的求导法则即可。在对复合函数求导时，关键在于弄清函数的复合关系，准确地将一个复合函数分解为若干个简单函数，再由外向内，逐层求导后相乘，最后回代中间变量．另外，复合函数求导法则也可用于多次复合的情形，即可以推广到含有多个中间变量的情形．
例如，设,,都可导，则有
　　　　　　　或．
例6 求的导数．
解 函数可看作由与复合而成，由链式法则得
．
例7 求函数的导数．
解 此函数可看作由复合而成，因此
【注意】对复合函数的分解与复合函数的求导法则比较熟练后，就可以不写出中间变量，只要认清函数的复合层次并默记在心，然后由外向内，逐层求导就可以了，关键是必须清楚每一步对哪个变量求导．
例8 设，求．
解
.
例9 证明幂函数的导数公式．
证明 ．
例10 如果将空气以100 cm3/s的常速注入球状的气球，假定气体的压力不变，那么，当半径为10 cm时，气球半径增加的速率是多少？
解 设在时刻气球的体积与半径分别为和，显然
,
所以通过中间变量与时间发生联系，是一个复合函数
.
由题意知，，要求的值．根据复合函数求导法则，得
，
将已知数据代入上式，得
，
所以，即在这一瞬间，半径以的速度增加．
随堂练习
2.求下列函数的导数
（1）； （2）； （3） ；
（4）； （5）； （6）.
3.对电容器充电时,电容器电压的变化规律为,求电容器电压的变化速度.
3.2.3 反函数的求导法则
定理3-5 如果函数在点处单调可导，且，那么它的反函数在对应点处可导，且有
或 ．
定理3-5表明，反函数的导数等于直接函数导数的倒数．下面借助于反函数的求导法则来导出几个反三角函数的导数公式．
例11 求的导数．
解 因为是的反函数，在区间()内单调、可导，且，所以
，
即　　　　　　　　　　　　　．
同理可得 　　　　　　　．
例12 求的导数．
解 因为是的反函数，在区间()内单调、可导，且，所以
，
即　　　　　　　　　　　 　．
同理可得　　　　　　 ．
例13 设，求．
解 ．
3.2.4 基本初等函数的导数公式
前面已经求出了所有基本初等函数的导数，建立了函数的和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则，这样我们就基本解决了初等函数的求导问题．为了便于查阅，我们将所有基本初等函数的求导公式归纳如下：
小结：
掌握导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式，掌握复合函数求导法则。求复合函数求导的步骤：第一步：分清函数的复合关系。第二步：应用公式，应注意：（1）心目中一定要明确每一步是哪个变量对哪个变量求导；（2）不要丢掉所有前变量对后变量的导数这个“尾巴”（3）最后要把所有中间变量换成自变量的函数；熟练掌握初等函数的求导公式.
作业：
习题3.2 1、2、3、4.
3.2隐函数和参数式函数的导数
教学目标：知道隐函数与参方函数定义；掌握隐函数与参方函数求导法则；会运用法则求隐函数与参方函数的导数.
教学重点：隐函数与参方函数求导法则.
教学难点：隐函数求导.
授课时数：2课时
教学过程：
3.2.1.隐函数的导数
如果一个函数的解析式是以的形式给出，那么就称该函数为显函数.以往我们学习过的函数都是显函数，显函数的特点是自变量与因变量分列在等号两边，它们的依赖关系清晰明确.但在实际中,很多函数是以含有，的方程的形式来表示的，这样的函数称为隐函数.对于显函数和隐函数有如下关系：①所有的显函数均可化为隐函数；②有些隐函数可化为显函数（叫做隐函数的显化）.例如，（隐函数）可化为（显函数），而方程所确定的函数则不能显化，且函数与自变量间的依赖关系不明确，但每给定一个值，通过方程能找到唯一的值与之对应（如时，求得，即1是0对应的函数值）.那么如何求隐函数的导数呢？下面给出求隐函数导数的一种方法：
　　求由方程所确定的隐函数的导数，只需给方程两边同时求导（无需将隐函数显化），再从求导后的表达式（含的方程）中求出即可.
例14 设是方程所确定的函数，求.
解 将代入方程，得 ，
给方程两边同时求导，得 ，
即 ∴ .
（此题的关键是对的求导，要注意是复合函数，应按复合函数求导法则求导.另外，可以直接对求导，由于是复合函数，所以，而不是）
【注意】隐函数求导时需注意：①求导时切记是的函数，在遇到关于的复合函数时应按复合函数求导法则去求导；②解出的的表达式中除了可能含自变量外，还含函数.
例15 求由方程所确定的隐函数导数．
解 给方程两边同时求导，有 ，
所以 .
，都是复合函数，因为本身是关于的函数，对它们的求导应遵守复合函数求导法则，切记不可得出.
例16 求椭圆在点处的切线方程．
解 给方程两边同时求导（为自变量），得 （注意是关于的复合函数）,解方程，得 . 把点代入，得切线的斜率，故所求切线方程为．
【注意】利用隐函数的求导法则来求显函数的导数，有时更方便高效.
例如，在求的导数时，先两边同取对数转成化方程，再两边同时求导，得，整理后，得
.这就是对数求导法.
随堂练习
4.求由方程所确定的隐函数在处的导数．
5.求由方程所确定的隐函数的导数.
6.求圆在点处的切线方程．
3.2.2 参数式函数的导数
两个变量，之间的函数关系，经常会通过它们与第三个变量的关系来建立，这就是参数式函数，一般形式为
　
其中第三个变量称为参数.
在研究物体运动的轨迹时，常需要计算由参数方程所确定的函数的导数.但参数函数要消去参数化为普通函数有时会有因难，这就需要有一种直接由参数函数求导的方法.
可以证明，当，都可导，且时，由参数方程所确定的函数的导数为
.
【注意】参数函数的导数是用参数表达的.
例17 求由参数方程（为参数）确定的函数的导数.
解 .
例18 求星形线 ，，在时的切线方程．
解 , ∴ .
当时，,即切点坐标为,
∴ 切线方程为 , 即.
随堂练习
7. 设与之间的函数关系由参数方程确定，求导数.
8. 求旋轮线在时的切线方程．
小结：
熟练掌握初等函数的求导公式，掌握隐函数、对数求导法，关键弄清其求导步骤，了解由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.
作业：
习题3.2 7、8.
任务3.3 高阶导数
教学目标：了解高阶导数定义，且会求高阶导数；掌握二阶导数的物理意义；知道导数的实际意义并会应用解决问题.
教学重点：高阶导数定义及求解.
教学难点：导数实际意义.
授课时数：2课时
教学过程：
3.3.1 高阶导数
定义3-3 一般地，若函数的导数仍是的可导函数，则称的导数为的二阶导数，记作或，即
．
类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…….一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的阶导数，分别记作
；；或
且有　　　　　　　 　
.
二阶及二阶以上的导数统称作高阶导数．相应地，把的导数叫做函数的一阶导数．显然，求高阶导数并不需要引入新的公式和法则，只需用一阶导数的公式和法则逐阶求导即可，所以仍可沿用前面学过的求导方法来计算高阶导数．
例1求下列函数的二阶导数.
（1）； （2）.
解 （1）， .
（2）,
.
课堂练习
1.求下列函数的二阶导数.
（1）； （2）；（3）.
2.设，求.
3.3.2二阶导数的物理意义
设物体运动的路程函数为，则物体运动的速度函数为，这就是一阶导数的物理意义.
加速度是反映速度变化快慢的物理量，也是速度对时间的变化率.若物体运动的速度函数为，则物体运动的加速度，即，所以二阶导数的物理意义是物体运动的加速度.
例2 质点作变速直线运动，其运动方程为，求时的速度与加速度．
解 由，,知质点在时的速度为，加速度为．
3.3.3几个特殊函数的高阶导数
例3 求n次多项式的各阶导数．
解 ，
,
可见每经过一次求导运算，多项式的次数就降低一次，继续求导得
　　　　　　　　　　　　　　　
这是一个常数，因而y (n+1) = y (n+2) = … = 0，即n次多项式的一切高于n阶的导数都是零．
例4 求指数函数y = a x的n阶导数．
解 ，依此类推，即
．　　　　　　　 (3.4)
特别地 　．
例5 设，求．
解 ，，
，…….
一般地，可以得到
,
即
．　　 　 (3.5)
同理可得　　
．　　　　 　　 (3.6)
式(3.4)、(3.5)、(3.6)可看作相应函数的阶导数公式，利用这些公式可以直接求出该函数的任意阶导数，而不必连续多次求导．例如由式(3.5)，可得
．
关于两个函数相乘的阶导数，有如下定理3-6.
定理3-6 设函数，在处有阶导数，则
.
这一公式称莱布尼茨（Leibniz）公式，它与中学的二项展开公式在表示形式上类似.
例6 设， 求 .
解 利用莱布尼茨公式，有
.
课堂练习
3.求下列函数的阶导数.
（1）的阶导数; (2)的阶导数.
4.求下列函数的阶导数: （1）; （2）; （3）.
5.某物体作直线运动时的路程函数为,则物体在时的运动速度与加速度.
小结：
熟练掌握求函数二阶导数，关键弄清其求导步骤，了解函数的n阶导数的求法，知道导数的实质并能解决实际变化率问题.
作业：
习题3.3 1、2.
任务3.4 函数的微分
教学目标：理解微分的概念及其几何意义；熟练掌握微分的四则运算法则和基本初等函数的微分公式；了解可导、可微、连续之间的关系；掌握微分在近似计算中的应用.
教学重点：微分的概念及基本公式.
教学难点：可导、可微、连续之间的关系.
授课时数：2课时
教学过程：
3.4.1 微分的概念
引例【金属薄片热胀后的面积变化】如图3-6所示，一块正方形金属薄片受热膨胀，其边长由变到，问此金属薄片的面积改变了多少？
设正方形的面积为，面积增加量为，则
．
由上式可知，由两部分组成：第一部分（图3-6中两个长方形面积之和）是的线性函数，当时，它是的同阶无穷小，也称作的线性主部；而第二部分，当时，它是的高阶无穷小量（图3-6中小正方形的面积），即.于是
因此，对 来说，当很小时，可以忽略不计，可以作为其较好的近似值，即，此近似值计算简便且能满足精度要求.
在数学上把的线性主部称为面积函数在点处的微分．
上述例子中的线性主部和分别称作面积函数在点处的微分.下面给出微分的定义.
定义3-4 如果函数在点处可导，并且函数增量能表示成
其中与无关，为（）的高阶无穷小，则称函数在点处可微，并称其线性主部为函数在点处的微分，记作或，即
．
上述关于可微及微分的定义非常抽象，用该定义判断一个具体函数的可微性很不方便，特别是定义式中的常数究竟与什么有关？下面给出可微与可导、微分与导数间的内在联系，以此对函数微分概念作进一步认识.
3.4.2 微分与导数的关系
定理3-7 设函数在点处可微的充分必要条件是函数在点处可导.
给定义3-4中的两边同除，得，所以
. 于是
.
另外，定理3-7说明，函数在点处可导与可微是等价的.如果函数在其定义区间上处处可微，则其微分可表示成
.
如果函数，则函数的微分，即．因此我们规定：自变量的微分等于自变量的增量．于是函数的微分又可以写成
．
在上式两边同除以，有．由此可见，导数等于函数的微分与自变量的微分之商，这也就是在第一节中为什么把导数记作的道理,从此我们可以把记号理解为两个微分之商，因此导数也称为“微商”．
【注意】微分与导数虽然有着密切的联系，但它们具有本质上的区别：导数是函数在一点处的变化率，而微分是函数在一点处由自变量增量所引起的函数变化量的主要部分；导数的值只与有关，而微分的值与和都有关．
例1求函数在，时的增量、微分及时的微分．
解 增量.
因为 ，且 ,
所以 .
由此例看出，当很小时，,且精确度较高.
例2 求下列函数的微分．
（1） ； （2） ．
解 （1） ， .
（2）， .
【注意】由可知，求微分只要计算出函数的导数，再乘以自变量的微分即可.
随堂练习
1.求函数在，时的改变量与微分.
2.求下列函数的微分.
（1）；（2）；（3）.
3.4.3 微分的几何意义
为了对微分有比较直观的认识，我们来讨论微分的几何意义．
如图3-7所示，点是曲线上一点，当自变量
有微小改变量时，得到曲线上另一点，于是
过点作曲线的切线，其倾角为，则，即．
由此可知，微分是当处有改变量时，曲线在点处的切线的纵坐标的改变量．用近似代替就是用点处的切线的纵坐标的改变量来近似代替曲线的纵坐标的改变量，并且有（是的高阶无穷小）．
3.4.4 微分的运算法则
因为函数的微分，所以根据导数公式和导数运算法则，就能直接得到相应的微分公式和微分运算法则．为了便于查找和记忆，列举如下：
一、 微分基本公式
（1）（为常数）；　　 （2）；
（3）；　　　　　 （4）；
（5）；　　　　 （6）；
（7）；　　 （8）；
（9）；　　　 　 （10）；
（11）；　　　　 （12）；
（13）；　 （14）；
（15）；　　　 （16）．
二、 函数的和、差、积、商的微分运算法则 (其中可微)
（1）；　　　　　 　（2）；
（3）（为常数）；　 　（4）．
三、 复合函数的微分法则
由微分的定义可知，当是自变量时，函数的微分是
；
如果不是自变量，而是关于的可导函数，则复合函数的导数为．于是复合函数的微分为
.
由此可见，不论是自变量还是中间变量，函数的微分总保持同一形式：，这个性质称为一阶微分形式不变性．有时利用一阶微分形式不变性求复合函数的微分比较方便．
例3 设，求．
解法1 由公式，得．
解法2 由一阶微分形式不变性，得
．
例4 设，求．
解法1 由公式，得．
解法2 由一阶微分形式不变性，得
．
例5 求由方程确定的隐函数的微分及导数．
解 对方程两边同时求微分，得
，
即　　　　　　　　　　　　　　
，
所以　　　　　　　　　　
．
例6 求由方程确定的函数的一阶及二阶导数．
解 因为，所以利用微商得
，
．
随堂练习
3.计算下列微分
（1）； （2）.
3.4.5 微分在近似计算中的应用
由微分的定义可知，当且很小时，用近似代替所引起的误差是的高阶无穷小量，从而有近似公式
，　　 （3.7）
或　　　　　　　　　 　 ．　 　 （3.8）
上式中，若令，则有
， （3.9）
特别地，当时，
. 　　 　 （3.10）
根据式(3.7)可以求函数增量的近似值，而式(3.8)、(3.9)、(3.10)可用来求函数值的近似值．当 很小时，运用式(3.10)可以得到一些常用近似公式.
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
例7 计算的近似值．
解 设，则，由式(3.4.3)，有
，
取，则有
．
例8 计算的近似值．
解 因为，由近似公式(3.4.3)得
．
随堂练习
4.半径为的金属圆片加热后，半径伸长，问面积大约增大了多少？
5.计算的近似值.
小结：
理解微分的概念及其几何意义；熟练掌握微分的四则运算法则和基本初等函数的微分公式；了解可导、可微、连续之间的关系；熟练掌握微分在近似计算中的应用.
作业：
习题3.4 2、3、5.
图3-3
图3-4
图3-5
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)；
(7)；　 (8)；
(9)； (10)；
(11)； (12)；
(13)； (14)；
(15)； (16)．
图 3-6
图3-7

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