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项目十 多元函数微分学
任务10.1 多元函数的概念、极限及连续
教学目标：了解空间直角坐标系及其相关概念；知道多元函数的概念及二元函数的几何表示；会求多元函数的定义域；会求简单二元函数的极限；了解二元连续函数的性质；能够利用多元函数解决实际问题，解决专业案例.
教学重点：空间直角坐标系，多元函数的概念.
教学难点：多元函数的定义域; 简单二元函数的极限.
授课时数：2课时
教学过程：
10.1.1 多元函数的的概念
在工程实际问题中，往往会遇到多个变量（两个以上）之间的相互依赖关系.
实例1矩形的面积和它的底与高的关系是
；
实例2根据实验结果知道，一定质量的理想气体，它的压强和体积、绝对温度之间关系是
（其中是常数）.
实例3三角形的面积和它的两边、及其夹角间关系是
等等.
上述实例中的代数表达式反映了三个或三个以上变量之间的依赖关系. 即当等式右端某变量（等式右端变量彼此独立）发生变化时，必致导等号左端变量发生变化.
尽管等式右边变量相互独立，但它们的变化都有一定的范围.如实例1中的独立变量底和高只能取正值，用数学语言可表示为，，否则关系式会失去实际意义；再如实例3中的、只能取正值，夹角受一定的限制：.
以上仅列举了有限的实例，在生产和工程建设中，还会碰到大量的实例.这些实例的共同特点是一个变量依赖于其他二个或二个以上的变量而变化，事实上它们的这种关系就是我们要学习的多元函数.
定义 10-1 设是平面点集（在平面上引入直角坐标系后， 满足一定属性的点的集合），是一个实数集，若按照某一确定的对应规律，对于中的任意一点总有唯一确定的实数与它相对应，则称是变量，的二元函数，记作.其中， 称为自变量，称为因变量，称为函数的定义域，数集
称为该函数的值域.
当然，我们也可以定义三元函数、四元函数等.把具有多个自变量的函数，统称为多元函数. 对于函数，当自变量，分别取值，时，函数的对应值记作 .
求二元函数定义域方法与一元函数类似，需要找出使函数解析式有意义的自变量的范围．一元函数定义域一般由一个或多个区间构成，而二元函数定义域通常是平面区域，该平面区域由平面上一条或多条光滑曲线所围成的具有连通性（区域内任意两点，均可用该区域内的线连接起来）的部分平面或整个平面，其中围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点. 包括边界的区域称为闭区域（简称闭域），不包括边界的区域称为开区域（简称开域）．
例1 求二元函数的定义域．
解 函数的定义域为满足不等式点的范围，即定义域为
．
这里表示面上以原点为圆心，为半径的圆域，它为有界闭区域(如图10-1)．
图10-1 图10-2
例2 求二元函数的定义域．
解 自变量所取的值必须满足不等式，即定义域为
．
表示在面上直线上方的半平面(不包含边界)，如图10-2所示，它为无界开区域．
随堂练习
计算下列函数的定义域
（1）；（2）；（3）.
10.1.2 二元函数的几何表示
一元函数在平面直角坐标系中一般表示一条曲线，二元函数在空间直角坐标系中一般表示曲面．设二元函数它的定义域为，对于定义域为内的每一对数，，都确定着平面上的一点（图10-3）； 由二元函数的定义，必有一个的值与之对应，那么三个数，，就确定了空间内一点.当点取遍上的一切点时，对应的点就形成一张曲面.因此，二元函数在空间直角坐标系中一般表示一张曲面.通常我们也说二元函数的图形是一张曲面（也可能是一条曲线）.而其定义域就是此曲面在面上的投影．
例3 作二元函数的图形．
解 此函数的定义域为面．因为，所以曲面上的点
都在面上方．其图形为面上的抛物线绕轴旋转一
周所得的旋转抛物面，如图10-4所示．
例4 作二元函数的图形．
解 定义域为，即面上以原点为圆心，为半径的圆域．，其图形为半球面，如图10-5所示．
图10-4 图10-5
【注意】作二元函数图像大多需要借助数学软件（matlab、mathmatica等软件）才能完成.
10.1.3 二元函数的极限
二元函数的极限定义与一元函数的极限定义在文字叙述上是类似的, 但是在自变量变化过程的方式上，二元函数极限比一元函数极限要复杂得多.
回忆一元函数的极限：若当（可以是无穷远点）时，有(唯一），则为函数的极限.
由于始终在轴上变化（见图10-6）；无论从右或从左接近于，都有.
图10-6 图10-7
而二元函数的定义域一般是一个平面区域，因此当平面上的一个动点趋向于一个定点时其方式是多种多样的（图10-7）.仿一元函数给出二元函数极限定义.
定义10-2 设二元函数在点的某去心邻域有定义，点为该去心邻域内异于的任意一点，如果当点以任意方式趋向于点 时，对应的函数值总趋向于一个确定的常数，则称是二元函数当→时的极限，记为
．
【注意】（1）以点为圆心，以小正数为半径的圆域（不含边界）称作点的邻域（函数定义域的子集）；若邻域中不含圆心时，则称作点的去心邻域.
（2）若函数在点处有极限，则该极限与动点趋向点的路径无关（换言之一，若路径变了，极限也变了，则函数在点处无极限）.因此，不能以趋向点的特殊方式或特殊路径来考察函数极限的存在性（谨防以此误判极限的存在）.
二元函数的极限也称二重极限. 二重极限是一元函数极限的推广，因此有类似的四则运算法则、两个重要极限和敛散性判定方法等，此处不再详细介绍，仅举例说明．
例5 求下列极限．
（1） ； （2） ；（3）；
（4）； （5）.
解 （1）
（用到重要极限）；
（2）；
（3）；
（4）由于 （均值不等式：）；
又，，所以（迫敛性法则）.
（5）因为，又，由无穷小量性质知所求极限为0.
例6 设，讨论是否存在．
解 当点沿直线趋向于点时，极限
＝．
显然，此极限值随的取值不同而变化，故所求极限不存在．
随堂练习
求下列极限
（1）；；（2）.
10.1.4 二元函数的连续性
多元函数的连续性与一元函数连续性类似，与函数的极限密切相关.下面给出二元函数连续定性定义.
定义10-3 （连续性） 设函数在点的某邻域内有定义，点为该邻域内任意一点，如果
，　　 　 　　 　
则称二元函数在点处连续．否则称二元函数在点处不连续，且称点为函数的不连续点或间断点．
例7讨论下列函数在给定点处的连续性：
（1）在处连续吗？
（2）在处连续吗？
分析：（1）因为，所以在原点连续.
（2）由例6知不存在，所以在原点不连续，是函
数的间断点.
类似于一元函数，下面再给出二元函数连续性的增量描述形式.
定义10-4（连续性的增量形式）设函数在点的某邻域内有定义，自变量在处的增量与自变量在处的增量分别为，，则称
为函数在点处的全增量. 若
，则称函数二元函数在点处连续.
需要指出：定义10-3与定义10-4等价(证明简单，留给读者）.
另外，如果函数在区域内的每一点都连续，则称函数在区域内连续，或称函数是区域内的连续函数．
多元连续函数的性质：①多元连续函数的和、差、积、商（分母不等于零）及复合所生成的函数仍是连续函数；②多元初等函数在其定义区域（包含在定义域内的区域）内连续；③有界闭区域上的多元连续函数必有最大值和最小值．
【注意】由多元基本初等函数及常数经过有限次四则运算与复合而成，且能用一个统一解析式表示的函数称为多元初等函数.
小结：
1.空间直角坐标系是由过一定点的三条互相垂直的数轴构成的.它有一个原点，三条坐标轴，三个坐标面，八个区域，空间的点与坐标是一一对应关系；二元函数的图形是一张曲面（也可能是一条曲线）；多元函数定义域是使这个算式有意义的自变量所确定的点集.
2. 趋向于一个定点的方向有无数多个，且方式多种多样的；二元函数的极限可以借助一元函数求极限的法则和方法来求解；二元函数在一点处连续要满足三条件，有定义、极限存在、极限值与函数值相等.
作业：
习题10.1 1、 2、3.
任务10.2 函数的偏导数
教学目标：理解二元函数偏导数的概念；知道二元函数偏导数的几何意义；会求二元函数的偏导数及高阶偏导数；能够应用偏导数解决实际问题及专业案例.
教学重点：二元函数的偏导数及高阶偏导数.
教学难点：二元函数偏导数的几何意义.
授课时数： 2课时
教学过程：
10.2.1 偏导数概念
【案例引入】具有一定量的理想气体其压强，体积，温度三者之间的关系为　(为常量). 温度不变时（等温过程），压强关于体积的变化率就是
，
如果体积固定不变，即考虑等容过程，则压强是温度的一元函数，故有．
此处是将二元函数中的一个自变量固定不变，研究它关于另一个自变量的变化率，这种形式的变化率称为二元函数的偏导数.下面给出偏导数的定义．
定义10-5 （偏导数）设函数在点及其近旁（某个邻域）有定义，当，在有增量时，相应地函数有增量（称为偏增量）， 如果极限
存在, 则称此极限为函数在点关于的偏导数，记作
， ，，.
类似地，当，在有增量时, 相应地函数有增量(称为偏增量），如果极限
存在，则称此极限为函数在点关于的偏导数，记作
，，.
特别地，如果函数在区域内每一点都存在对(或对)的偏导数, 则可得到函数在区域上对(或对)的偏导函数，记作
，，或，；，，或，.
这些偏导数均为自变量，的函数，因此称它们为偏导函数. 在不至于混淆的情况下常把偏导函数简称为偏导数. 由偏导数定义可知，函数在点处对的偏导数就是偏导函数在点处的函数值；同理，就是偏导函数在点处的函数值．
例1. 函数
求函数在点处对和的偏导数.
解 ；
同理，有
.
由10.1节中的例7（2）知该函数在点不连续，但它在点处的两个偏导都存在，这与一元函数不同（一元函数可导必连续）.这是因为各偏导数存在只能保证当点沿着平行于坐标轴的方向趋近于点时函数值趋近于，但并不能保证以任意方式趋近于点时，函数值都趋近于．
例2讨论函数 在点处的连续性和偏导数的存在性.
解 由连续函数定义可判定函数在点连续.
因为不存在； 同理 也不存在. 所以函数 在点的偏导数不存在.
10.2.2 偏导数的几何意义
二元函数的图形是空间曲面. 设为曲面上一点，其中. 过点作轴的垂直平面（因为垂直平面上点的纵坐标恒为，所以用表示该平面），它与曲面的交线
是平面上的曲线. 函数在点处关于的偏导数就是一元函数在的导数，因而也是曲线在点处的切线对轴的斜率(一元函数导数的几何意义），即（斜上向方法）与轴正向所成角的
正切(图10-8) .于是有.
同理, 偏导数就是一元函数在的
导数， 因而也是曲线在点处切线对轴的斜率，
即（斜上向方法）与轴正向所成角的正切(图10-8).于是有
.
10.2.3偏导数计算
由偏导数的定义知，求的偏导数,并不需要用新的求导方法，只需把其中一个自变量看成常数，使二元函数变成另一个自变量的一元函数求导即可，有关一元函数的求导法则及求导公式，对求偏导数仍然适用.
例3 求的偏导数．
解 把看作常量，对求导数，得
；
再把看作常量，对求导数，得
．
例4 求在点处的偏导数．
解 先求偏导函数，有
，
在处的偏导数就是偏导函数在处的值，所以
， ．
应当指出，根据偏导数的定义，偏导数是将函数中的固定在处，而求一元函数在处的导数．因此，在求函数对某自变量在一点处的偏导数时，可先将函数中其余自变量用此点相应的坐标值代入后再求导，这样有时会带来方便．
例5 设，求．
解 如果先求偏导数，运算比较繁杂，但是若先把函数中的固定在处，则有，从而， 进而．
二元函数偏导数的定义和求法可以类推到三元及三元以上的函数．例如，三元函数，则在点处关于的偏导数可定义为
．
10.2.4 高阶偏导数
设函数在区域内有偏导数，，且这两个偏导数在内都是关于、的函数. 如果这两个偏导函数的偏导数也存在，则称偏导函数的偏导数是函数的二阶偏导数. 按求导次序不同，这样的二阶偏导数共有四个，分别表示为
，，
，.
其中，称为的二阶混合偏导数.
类似地，可以定义三阶、四阶、……、阶偏导数．将二阶及二阶以上的偏导数统称
为高阶偏导数，相应地将和叫做一阶偏导数．
例6 设函数，求它的二阶偏导数及．
解 函数的一阶偏导数为
，
二阶偏导数为
，
.
从上例可以看出，该函数的两个混合偏导数相等，但并不是每一个二元函数的两个混合偏导都相等. 如果两个二阶混合偏导数满足如下条件时，则它们相等．
定理10-1 若函数的两个二阶混合偏导数在区域内连续，则在该区域内必有
．
该定理说明：二阶混合偏导数在连续的情况下与求导次序无关．
对于三元及三元以上函数可类似定义高阶偏导数，而且当偏导数连续时，混合偏导数与求偏导的次序无关．
例如，在连续的条件下，有
它表示只要对求导两次，对求导一次，不论求导次序如何，其结果都一样.
随堂练习
1.求下列函数的偏导数
（1）；（2）.
2.求函数 二阶偏导数.
3. 设，考察函数在原点的偏导数.
小结：
在一点偏导都存在的多元函数在这点不一定连续；求的偏导数，只需把其中一个自变量看成常数，应用一元函数的求导法则及求导公式求导即可；高阶混合偏导数在连续的条件下也与求导的次序无关.
作业： 习题10.2 1-5.
任务10.3 函数的全微分及其应用
教学目标：理解二元函数全微分的概念，知道二元函数全微分实质；掌握二元函数可微、两个偏导数存在、连续间关系；会求二元函数的全微分.
教学重点：二元函数全微分的概念及实质.
教学难点：二元函数可微、两个偏导数存在、连续间关系.
授课时数： 2课时
教学过程：
10.3.1 多元函数的全微分
在一元函数中， 如果函数在点处可导，那么当自变量由变到时函数的改变量就可近似地表示为，并且在该式中的绝对值越小，近似的精确度越高. 与之间相差一个高阶无穷小，称为函数在点处的微分，记作（）.可类似地定义多元函数的微分.
下面我们通过一个具体实例来研究多元函数的微分.
实例 有一块矩形金属薄片，它的长为，宽为.因受热膨胀（不考虑厚度），金属薄片的长和宽分别增加了、（图10-8）.
令为长方形面积，则面积的改变量为：
（10.1）
从图10-8及上式可看出全增量由、和这三部分组成，并且它们都是当，时的无穷小量. 长和宽这两个自变量变化及相应的函数值的变化过程如图10-9所示.
因为，表明相对是高阶无穷小，即当与很小时，（图10-8右下角的小矩形面积）比小得多，可以忽略不计.所以影响大小的量主要是前两部分（是关于与的线性关系式），舍掉高阶无穷小，得
（误差为高阶无穷小）
由于，，从而有
（10.2）
对一般函数会不会也有类似于上式的全增量近似计算式呢？即
或
如果有，那么函数应满足什么样的条件？结论由以下定义和定理给出.
定义10-6 函数在点的某个邻域内有定义，若存在两个常数，使得全增量与线性关系式间相差一个高阶无穷小（且）即
则称二元函数在点处可微.并称为函数在点的全微分，记作：
（10.3）
可见可用全微分来近计算全增量，误差是高阶无穷小.事实上，
是关于，的二元函数，即，它对的贡献微乎其微，可忽略不记.今后可用近似，即，而且越小（即，越小），近似效果越好.
下面给出二元函数可微与连续、可微与偏导数存在之间的关系．
定理10-2 (可微的必要条件) 若函数在点处可微，则它在点处必连续，且两个偏导数都存在，并有．
定理10-2不仅表明了二元函数可微时偏导数必存在，而且提供了求全微分的计算公式．
如果函数在区域内处处都可微，则称函数在区域内可微．此时，区域内每一点处的全微分可表示为
一般地，记,，则函数在点处的全微分可写成
（10.4）
但需要指出的是：当二元函数的偏导数存在时，它未必可微.例如
在点不连续，所以在处不可微，但它在的两个偏导数均存在，且.
因此，二元函数偏导数存在仅仅是可微的必要条件而不是充分条件，这是多元函数与一元函数的又一不同之处（一元函数可导与可微等价）．下面给出二元函数可微的充分条件．
定理10-3 (可微的充分条件) 若函数在点处的两个偏导数连续，则函数在该点一定可微．
全微分的概念可以推广到三元或三元以上的多元函数．例如，若三元函数具有连续偏导数，则其全微分的表达式为
.
例1 求函数在点（2,1）处的全微分.
解 因为 ，，，.
所以，.
例2 求函数在点处，当，时的全增量与全微分.
解 由定义知，全增量
.
因为 ，，
所以 .
说明用近似效果很好.
例3 计算函数的全微分.
解 因为 ，，
所以.
随堂练习
1. 求下列函数的全微分.
（1） ；（2）.
2. 讨论函数
在点是否可微.
10.3.2全微分在近似计算中的应用
设函数在点处可微，则函数的全增量与全微分相差一个高阶无穷小量.因此，当与都比较小时，全增量可以近似地用全微分代替，即
( 10.5)
又因为，所以有
(10.6)
利用式( 10.5)和(10.6)可以对函数全增量及某点函数值进行估值或近似计算．
例4 有一圆柱体，受压后发生变形，它的半径由20cm增大到20.05cm，高度由100cm减少到99cm. 求此圆柱体体积变化的近似值.
解 设圆柱体的半径、高和体积依次为、和，则有
已知，，，，根据近似公式，有
即此圆柱体在受压后体积约减少了cm3.
例5 利用全微分求的近似值．
解 设函数．取,,,,则
，
由近似公式(10.3.6)得
　．
小结：
微分的实质就是全增量的近似值；偏导数连续, 函数一定可微；函数可微，偏导数一定存在；函数可微，函数一定连续。
作业：
习题10.3 1、2、3.
任务10.4复合函数的微分法、隐函数求导及在几何上的应用
教学目标：理解掌握多元复合函数链式法则；能理清多元复合函数的变量间关系；会求多元复合函数的偏导数与全微分;理解掌握隐函数的求导法则；会求隐函数的导数与偏导数；会用多元函数的微分法求空间平面方程和直线方程.
教学重点：多元复合函数链式法则.
教学难点：多元函数的微分法求空间平面方程和直线方程.
授课时数： 3课时
教学过程：
10.4.1 复合函数的微分法
实例 有一个家庭，其中祖父拿钱支援当父母的和，然后和再拿钱去支援当子女的和，因此养子女的钱实际上是从祖父那里来的.试问：这些孙子和子女以何种速度花
掉他们祖父的资产呢？
分析 依题意，可设，，，
他们的关系如图10-10（也是二元复合函数的关系图）所示．问题转化
成为求和．
因为在孙子身上花掉的钱等于为了而在儿子身上花掉的钱加上为了而在儿媳身上花掉的钱，所以花钱的总流量是下面两条线路流量的总和：
，
根据一元复合函数的导数法则，上述第一条线路钱的流速是，第二条线路钱的流速是．总流速应该是这两个流速的和，因此有
，
类似地，有
．
上述实例实际上直观地给出了二元复合函数的微分法则．
设是变量，的函数，而，又是、的函数，
则称为和的复合函数.显然，其中、是自变量，而，是中间变量.
现在的问题是在什么条件下才能保证复合函数对自变量和的偏导数存在，以及如何求出这些偏导数？下面的定理10-4将给出答案.
定理10-4 设，在点处有偏导数，而函数在相应点有连续偏导数，则复合函数在点处有偏导数, 且
，
定理10-4中的公式可由图10-10中的线路图来记忆.从图中可看到从出发到有两条路，每条路有两段：
第一条路 ，第二条路.
显然，第一条路上的与的乘积加上第二条路上的和的乘积等于.
同理，从图10-10中可看到从出发到有两条路，每条路有两段：
第一条路 ，第二条路；
第一第路上的与的乘积加上第二路上的和的乘积等于偏导数.
上述方法具有一般性，对于中间变量或自变量超过两个，复合步骤多于一次的复合函数，均可借肋复合过程线路结构图，理清各变量之间的关系，为利用定理10-4中做好铺垫.复合函数的结构虽然具有多样性，求其偏导的公式也不尽相同，但有运用路线结构图可直接写出所给复合函数的偏导公式.
【注意】 定理10-4也称链式法则，可推广到元函数上.对初学者而言,利用链式法则求复合函数偏导数具用不可替代的作用.
下面给出几类较常见的基于链式法则的多元复合函数偏导数计算公式.
类型一：设，而（如图10-11）在处有偏导数，在相应点处有连续偏导数，则复合函数
在处有偏导数，且
，
　　　　　　　 ． 　　　
类型二：设在点处可导，在相应点处有连续偏导数，则复合函数(如图10-12)在点处可导，且
．
这里的函数是关于的一元函数，这种复合
函数对的导数称为全导数．
类型三：设在点处有偏导数，在相应
点处有连续偏导数，则复合函数（如图10-13）在点处有偏导数，且
，．
【注意】类型三中的表示以为自变量（被视作常数）对复合函数求偏导；表示在函数中把看作常数，求关于自变量的偏导数，所以与的意义不同，不可混淆．
例1 设，求．
解 由图10-10可知
==；
==．
例2 ， 求.
解 令，则.由图10-13知
；
.
例3 设，，，求．
解 由图10-12可知全导数
　　.
例4 设，其中有一阶连续偏导数，求.
解 设，，，其变量间的关系见图10-10.
.
例5求函数的一阶偏导数及全微分(其中具有一阶连续偏导数).
解 设 ，，，.由于具有一阶连续偏导数，则；；.
则复合函数的全微分为
随堂练习
1. 设，，；求，.
2. 设，，，求全导数.
3. 设，，求全导数.
10.4.2隐函数的求导公式
1.由方程所确定的隐函数求导公式
在一元函数微分学中，我们学习了一元隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程求它所确定的隐函数的导数的方法．现由多元复合函数的求导法则推导出隐函数的求导公式．
设方程所确定的隐函数为，，存在，且．对方程两端以为自变量求导，得
，即．
因为，由上式解得
．
这就是一元隐函数的求导公式．
例6设，求.
解 令，则
；（这里的是自变量）
所以.
2.由方程所确定隐函数的偏导数公式
设二元函数为方程所确定的隐函数，对方程两端同时求关于偏导，得
其中既是自变量，又是因变量，而且是二元函数的因变量，最终的自变量是，.以此求得
.同理，得.
这就是二元隐函数求偏导数的公式．
例7 函数由方程所确定，求.
解 令，则， .
所以 .
随堂练习
1.设有一阶连续偏导数，求函数的一阶全部偏导数.
2.设是由方程确定的函数,求，.
10.4.3参数方程及隐函数偏导数的简单应用
1.空间曲线的切线及法平面
设曲线由参数方程为：
，，，；（如图10-14所示）.
这里的，并假定
在处可导,且，，
不同时为零.在曲线上点附近选取一点
,则由空间解析几何知曲线过点与
的割线方程为:
（10.7）
其中, 以除上式各分母,得
（10.8）
当时, 点沿曲线趋向于点，割线的极限位置就是曲线在点处的切线（割线方程转化成切线方程），而上式（10.8）各分母的极限分别为：，，，由于它们不同时为零，因此曲线在点处的切线方程为:
（10.9）
显然，曲线在点处的切线方向向量（简称切向量，记作）为：
（10.10）
过曲线上点且与切线垂直的每一条直线都叫做曲线在点处的法线，这些法线所在的平面称为曲线在点处的法平面（今后称过切点且垂直于切线的平面为法平面），曲线在点处的切向量即为该点法平面的法向量．因此曲线在的法平面方程为
． （10.11）
例8 求螺旋线上对应于的点处的切线与法平面方程．
解 参数对应于曲线上的点，且
，
所以切向量，因此曲线L在点M0处的切线方程为
，
即 ；
曲线在点处的法平面方程为
，即．
随堂练习
求曲线，，在点处的切线及法平面的方程.
2.曲面的切平面与法线
通过曲面（如图10-15所示）上一点，在曲面上可以作无穷多条曲线．若每条曲线在点处都有一条切线，可以证明这些切线都在同一平面上，称该平面为曲面在点处的切平面．如何求曲面的切平面与法线方程呢？下面来讨论这个问题．
设曲面的方程为, 是曲面上的一点，假定函数的偏导数在该点连续且不同时为零，曲线是曲面上通过点的任意一条曲线．假设曲线的参数方程为，与点对应的参数为，则曲线在点处的切向量为
由于曲线在曲面上，所以有，
以为自变量对上式两边求导，得在时的全导数为 ．
若记向量，则上式可表示为,即．由于曲线为曲面上过点的任意一条曲线，所以在曲面上过点的所有曲线的切线均与向量垂直．这说明是曲面在点处的切平面的法向量．称向量为曲面在点处的法向量(如图10-15)．
根据以上讨论，曲面在点处的切平面方程为
． （10.12）
另外，称过点且与切平面垂直的直线为曲面在点处的法线，其方程为
． （10.13）
若曲面的方程由显函数表示，其等价形式为，那么令
，于是，，，此时，曲面：在点处的切平面方程为
，
或
．
例9 求曲面在点处的切平面及法线方程．
解 令，则，于是，该球面在点处的法向量为
，
所以在点处，此球面的切平面方程为
，即．
法线方程为
，即
随堂练习
求椭圆抛物面在点处的切平面与法线方程．
小结：
1.复合函数变量间的关系错综复杂，理清变量之间的关系是利用链式法则求复合函数偏导数的关键，画复合函数的结构图不失为好方法；复合函数的全微分时，可以先以中间变量为自变量求全微分，再分别求中间变量的全微分（因为中间变量也是多元函数），将所得结果代入即可.
2.隐函数导数或偏导数既可用公式，也可对隐函数方程两边同时求导或求偏导得到； 既是曲线 在点 处的切线方向向量，也是法平面的法向量； 既是曲面 过点 的切平面的法向量，也是切平面法线的方向向量.
作业：
习题10.4 1、2、5、6.
任务10.5 多元函数微分学的应用
教学目标：掌握多元函数极值的概念和极值存在定理；会求多元函数极值和最值；了解极值和最值关系;会应用极值解决实际问题.
教学重点：多元函数极值的概念和极值存在定理.
教学难点：多元函数极值和最值求解.
授课时数：2课时
教学过程：
1 0.5.1多元函数的极值
1.多元函数极值的概念
实例1 函数的图形为旋转抛物面，如图10-16所示，此曲面上的点低于周围的所有点，即当时，总有，这时称该函数在点处取得极小值-1（局部范围的最小值称为极小值）．
图10-16 图10-17
实例2 函数的图形为上半球面，如图10-17所示，显然此曲面上的点高于周围的所有点，即异于的所有点，都有，这时称该函数在点处取得极大值（局部范围内的最大值称为极大值）．
下面给出极值的准确定义.
定义10-7 设函数在点的某一邻域内有定义，对于该邻域内任何异于的点：若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值.
使函数取得极大值的点称为极大值点；使函数取得极小值的点称为极小值点.今后我们将极大值与极小值统称为极值，将极大值点与极小值点统称为极值点．
类似地可以定义三元及三元以上函数的极值（此处略去）．
例1 下列函数在处是否取得极值？
（1）；（2）；（3）
解 （1）在点的任何邻域内，都有，所以函数在处取得极小值.
（2）在点的任何邻域内，都有，所以函数在处取得极大值.
（3）如图10-18所示（马鞍面），在点的任何邻域内，
总有点，使，也总有点，使
得.故函数在处不能取得极值.
2.多元函数极值的求法
若是函数的一个可导极值点，则必有．对二元函数也有类似结论．
定理10-5（极值存在的必要条件） 若函数在点处有极值，且函数在该点处的一阶偏导数存在，则必有，．
今后称使两个一阶偏导数同时等于零的点为函数的驻点. 由定理10-5可知，两个偏导都存在的极值点一定为驻点，但是驻点却不一定是极值点（例如是马鞍面函数的驻点，但不是极值点）.另外，一阶偏导数不存在的点可能是极值点，例如函数（图形为上半锥面）在点处取得极小值，但偏导不存在．
【注意】二元函数的极值点一定在其驻点或一阶偏导数不存在的点中产生．
下面给出一个判别驻点是否为极值点的充分条件．
定理10-6（极值存在的充分条件） 设函数在点的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且．若记，，
，则
（1）当时，点是极值点．且若，点为极大值点；
若, 点为极小值点；
（2）当时，点不是极值点；
（3） 当时，点可能是极值点，也可能不是极值点，需另作讨论．
例2 求函数的极值．
解 （1）函数的定义域为整个面；
（2） 求出所有可能的极值点，为此先求偏导数
，
，
解方程组, 得驻点和．
（3）由极值存在的充分条件列表讨论驻点是否为极值点
驻点 极值情况
(0, 0) 0 -3 0 > 0 无极值
(1, 1) 6 -3 6 < 0 极小值f (1,1) = -1
所以，在点(1,1)处取得极小值-1．
随堂练习
1.求函数的极值.
2. 求函数的驻点，并判断所得驻点是否为极值点.
10.5.2 多元函数的最大值与最小值
与一元函数类似，对于有界闭区域上连续的二元函数，一定在该区域上有最大值和最小值．而取得最大值或最小值的点可能是区域内部的点,也有可能是区域边界上的点.因此,求函数最大值和最小值的一般方法如下:
将函数在有界闭区域内的所有驻点处或偏导数不存在的点处的函数值与函数在该区域边界上的最大值和最小值相比较，其中最大者就是函数在闭区域上的最大值,最小者就是函数在闭区域上的最小值.
例3 求函数在闭区域 上的最大值与最小值．
解 函数在内处处可微，且
，
　．
解方程组，得内的驻点为，该点对应的函数值
为．
再考虑函数在区域边界上的最值情况(如图10-19)．在边界及上函数的值恒为零；在边界上，函数可化成以为自变量的一元函数
，，
对此函数求导有，所以在上的驻点为，相应的函数值为．
因此函数在闭区域上的最大值为，它在点处取得；最小值为，它在的边界及上取得．
对于生产实践或其他领域中的最值问题，如果分析确定目标函数在其定义区域内有最值，那么通过偏导数求得的唯一驻点就是所求函数的最值点.其本步骤如下：
（1） 根据实际问题建立目标函数，并确定其定义域；
　（2）求出可能的极值点(驻点和不可导点，而对于可导函数只有驻点)；
（3）结合实际问题判定最大值或最小值．
例4 某工厂要用钢板制作一个容积为4的无盖长方体的容器，若不计钢板厚度，怎样制作材料最省？(如图10-20所示)
解 所谓材料最省，即无盖长方体容器表面积最小．由实际问题知，容积一定时材料最省的无盖长方体容器一定存在．设容器的长宽高分别为,,，表面积为，则
．
又已知，即，代入上式得
，
解方程组，得驻点， 此时． 所以当长方体容器的长与宽都取，高取时，所需的材料最省．
10.5.3条件极值
仅受定义域约束的函数极值，称为无条件极值. 如果除了受定义域约束外，还有其它约束条件的极值则称为条件极值（条件极值具有重要的应用价值）．条件极值的约束条件分等式和不等式两类，这里仅讨论约束条件是等式的极值问题．如例4可以理解为计算在条件下的最小值问题.
由于拉格朗日乘数法是求解条件极值的一种有效方法（其实质是将条件极值问题转化成无条件极值问题），已得到了广泛应用. 下面介绍拉格朗日乘数法求条件极值的具体步骤：
（1）构造辅助函数（称为拉格朗日函数）
，
其中为待定常数，称为拉格朗日乘数．将原条件极值问题转化为求三元函数的无条件极值问题；
（2）由无条件极值问题的必要条件，得
，
通过求解上述方程组，得到可能的极值点；
（3）判别求出的点是否为极值点，通常由实际问题的实际意义来判定．
【注意】对于条件极值的应用问题，我们一般从问题的实际意义出发，可以推出最大值和最小值存在.由于拉格朗日函数只有一个驻点，故可以判定所需求的最大值或最小值就在驻点处，求出对应的函数值，不用判断它是最大值还是最小值.另外，对于多于两个自变量的函数或多于一个等式约束条件的条件极值也可以采用拉格朗日乘数法．
例5 利用拉格朗日乘数法求解例4．
解 设拉格朗日函数为
，
根据极值存在的必要条件列方程组
解方程组得唯一驻点.考虑到问题本身最小值存在，因此当长方体容器的长与宽都取，高取1时，所需的材料最省．
随堂练习
1.求的极值.
2.函数在,,所围成的闭区域上的最大值和最小值.
3.某厂要用铁板做一个体积为的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺时，才能使用料最省？
4.求函数在附加条件（）下的极小值.
小结：
至少有一个偏导数不存在的点或驻点有可能是极值点，极值点一定是至少有一个偏导数不存在的点或驻点；极值点不一定是最值点，最值点要么是极值点要么是界点.
作业：
习题10.5 1、3.
图10-3
图10-8
图10-9
图10-8
图10-10
图10-11
图10-12
图10-13
图10-14
图10-15
图10-18
图10-19
图10-20

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