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项目十二 曲线积分与曲面积分
任务12.1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）
教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用
教学重点：弧长曲线积分的计算
教学难点：弧长曲线积分的计算
授课学时：2课时
教学内容：
12.1.1　第一类曲线积分的概念与性质
1.引例 曲线形构件的质量　
假设某曲线形细长构件在平面所占弧段为上，在上任一点处，它的线密度为．现在计算此构件的质量(图12-1)． 图12-1
分析 如果构件的线密度为常量，那么此构件的质量就等
于它的线密度与长度的乘积．现在构件上各点处的线密度
是变量，就不能直接用上述方法来计算．我们的做法是：
（1）大化小：在，之间依次插入个分点，，，，，把分成个小段（），第段弧长及实际质量分别记在和.
（2）常代变：对于第段构件，在线密度连续变化下，只要这一小段足够短，就可以用这一小段上任一点处的线密度代替这一小段上其它各点处的线密度，从而可得这一小段构件质量的近似值，即.
（3）近似和：整个曲线形构件的质量.
（4）求极限：用表示个小弧段的最大长度．为了计算的精确值，取近似和在时的极限，从而得到
．
这种和的极限在研究其它问题时也会遇到，具有一定的普遍性，我们将其抽象为如下
数学概念．
定义12-1设为面内的一条光滑曲线弧，函数在上有界．在上任意插入点列把分成个小段．设第个小段的长度，取，又为第个小段上任意一点，作乘积，并作和.如果当趋于0时，该和的极限总存在（唯一），则称此极限为函数在曲线弧上的第一类曲线积分或对弧长的曲线积分，记作，即
其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做弧长元素，叫做积分弧段．
于是，前述曲线形构件的质量就是在曲线弧上的第一类曲线积分，即
.
【注意】当在光滑曲线弧上连续时，第一类曲线积分一定存在，今后我们总假设在上连续的．
上述定义可以类似地推广到空间曲线弧的情形，即函数在曲线弧上的第一类曲线积分
．
另外，如果是闭曲线，那么函数在闭曲线上的第一类曲线积分记为
根据重心和转动惯量定义，我们可以将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上，即
i.位于面上密度为的曲线构件的重心可表示成如下形式：
，
ii.位于面上密度为的曲线构件其转动惯量可表示成如下形式：
，，
2 第一类曲线积分的性质
由极限运算法则，容易得到第一类曲线积分若干性质．
性质1
性质2 (为常数)
性质3
表示两段光滑曲线弧及相连后的曲线弧．
12.1.2 第一类曲线积分的计算法
定理12-1　设函数定义在曲线弧上且连续，的参数方程为
其中，在上具有一阶连续导数，且，即是光滑曲线，则曲线积分存在，且
【注意】计算第一类曲线积分时，往往需要通过曲线参数方程将其转化成定积分计算．具体如下：
（1） 曲线参数方程，下的弧微分．
（2） 如果为函数在区间的曲线弧，则参数方程可写为
于是.
同理，如果为函数在区间的曲线弧，则参数方程可写成
于是.
（3）如果空间曲线由参数方程
，，　
给出，则.
（4）如果曲线是由极坐标方程，给定，由，则
其中，的导数连续.
例 1 计算，其中是单位圆在第一象限的部分.
解 曲线的参数方程
0t
=
　 ==．
例2 已知函数在以区间上的一段弧的线密度等于曲线上点横坐标的平方，求这段曲线的质量．
解 由题设知密度函数为，曲线为函数在区间的一段曲线弧，于是所求质量
　　 ==．
例3 计算，其中空间曲线是由参数方程，y=，z=（）所确定的一段弧．
解 =
　 =
例4　求螺旋线，，一周（即从0到）之长．
解 所求曲线弧长
=．
随堂练习
1. 计算，其中是椭圆， ()的右半部分.
2.在曲线弧L:,,上线密度为，求它的质量.
3.密度线型构件为L：上点到点之间的一段，计算该构件关于轴的转动惯量.
小结：
1.对弧长曲线积分的概念和性质，
2.对弧长曲线积分的计算法和应用
作业 ：
习题12.1 1、 2、3、 4、 5.
任务12.2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计算法和应用
教学重点：对坐标曲线积分的计算
教学难点：对坐标曲线积分的计算
授课学时：2课时
教学内容：
12.2.1 第二类曲线积分的定义与性质
1.引例 变力沿曲线所作的功
设一个质点在面内从点沿光滑曲线弧移动到点.在移动过程中，该质点受到力
的作用，其中函数在上连续.试计算质点从点在移动到点
变力所作的功（图12-2）.
分析 如果力是常力，且质点从点沿直线移动到点，那么常力所作的功等于两个向量与的数量积，即
.
现在是变力，且质点沿曲线移动，功不能直接按
以上公式计算. 我们可以用处理曲线形构件质量问题的方法, 来解决曲线变力做功问题.
（1）大化小：设曲线上的点，，，把分成个小段.力在向小弧段上所做的功记作，则.
（2）直代曲：取其中一条有向小弧段，当弧长很小时，就可用有向直线段来近似代替，其中，.因此，在小弧段上可看成恒力做功，用小弧段上一点处的力
做为该小段上的力（恒力）. 于是，小弧段上变力所做的功就可近似地等于常力在有向直线段上所做的功：
.
即 =．
（3）近似和：于是质点从点沿曲线移动到点时变力所做的功
．
（4）取极限：用表示个小弧段的最大长度．当趋于0时近似和的极限，就是变力所做的功，即
．
这种和的极限在研究其它问题时也会遇到，具有有一定的普遍性，我们抽象成如下的数学概念．
1. 第二类曲线积分的定义
定义12-2 设为面内从点到点的一条有向光滑曲线弧，函数，在上有界，在上从点到点的方向任意插入个点，，，，这些点把分成个小段. ，是有向小弧段两端点的坐标增量，点是该小弧段上任一点，用表示个小弧段长度的最大值．如果
存在，称此极限为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分，记作
．
类似地，如果
存在，称此极限为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分，记作
．
即 .
.
将和统称为第二类曲线积分，也称为对坐标的曲线积分，函数、叫做被积函数，、叫做积分变量，叫做积分曲线.
我们把与的和写成，即
.
变力沿光滑曲线弧所做的功，就是一个第二类曲线积分
.
类似地，我们可以将平面上的有向积分曲线推广到空间上的有向积分曲线，从而得到空间第二类曲线积分.
【注意】如果，是定义在有向光滑曲线弧上的连续函数，则与一定存在.
3.第二类曲线积分的性质
根据第二类曲线积分的定义，可以推导出下述性质：
性质1 设为有向曲线，为与方向相反的有向曲线，则
可见，第二类曲线积分与曲线方向有关，在同一条曲线上，方向改变， 积分变号.
性质2 如果把有向曲线分为首尾相连的和两条有向曲线，记作, 那么
.
这一性质说明第二类曲线积分关于曲线有可加性.
第二类曲线积分还有类似于其他积分（如定积分）的性质，这里不一一赘述.
【注意】计算第二类曲线积分时，往往需要通过曲线参数方程将其转化成定积分计算.
12.2.2 第二类曲线积分的计算
定理12-2 设为面内从点到点的一条有向光滑曲线弧，，在上有定义且连续，的参数方程为，当单调地从变到时，点从的起点沿变到终点，在以，为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则存在，且
=.
此定理的证明略，请感兴趣的读者自己查阅.
【注意】下限为的起点对应的参数，上限为的终点对应的参数，不一定小于.
由定理12-2可得如下计算式（可以看成是定理12-2的推论）：
如果面上的有向曲线方程为，视为参数，其起点为，终点为，那么
定理12-2可以推广到三维空间，即空间第二类曲线积分的计算式：
如果空间有向光滑曲线弧的参数方程为，
则空间第二类曲线积分可表示为
=
式中下限为的起点对应的参数，上限为的终点对应的参数.
例 1 计算，其中分别为：
（1）单位圆弧在第一象限的部分，方向是逆时针方向；
（2）由到点经过的折线AOB（如图12-4所示）.
解（1）单位圆弧的参数方程是，参数从0变
到(如图12-3所示）.因此
=
=.
（2）AO的方程是y=0，，OB的方程是x=0，
于是
=.
例 2 设是抛物线上从至的一段弧(见图12-5)，计算.
解法一 化为对的积分. 注意到：当点沿由A到B时，它的横坐标先由1变到0，然后又由0回到1，因此，必须分两部分计算
即
而的方程是：，的方程是：.因此
， 图13.2.2
，
.
解法二 化为对的积分. 当点沿由A到B时，它的纵坐标由-1变到1，则
.
这显然简便得多.因此，当是由直角坐标方程给定时，所要计算的积分可按第一种方法进行，亦可按式第二种方法进行，但有繁简之别，应加以选择.
例4 设一质点在变力F的作用下，从点沿直线段移动到点，求力F所做的功.
解 直线段的方向向量为，且过点，故其方程为
化成参数方程，得，从1变到0.
所求的功为
.
随堂练习
1.计算，其中
（1）是圆心在原点，由点到点的半径为的上半圆周（图12-6）；
（2）是由点到点的直径.
2.计算, 其中L是抛物线上从点到点的一段弧；
3.一物体在力的作用下沿圆周：从移动到，计算力对物体所做的功.
12.2.3 两类曲线积分之间的联系
设有向光滑弧以弧长为参数的参数方程为（），已知切向量的方向余弦为 （与是切线T与轴、轴的交角），则
上式揭示了第二类曲线积分与第一类曲线积分的关系.
同样，对于空间第二类曲线积分也有
其中，，，为切线的方向余弦.
小结：
1.对坐标的曲线积分概念和性质
2.对坐标的曲线积分的计算
3.两类曲线积分的关系
作业：
习题12.2 2、 3、 4.
任务12.3 格林公式 曲线积分与路径的无关性
教学目的：理解和掌握格林公式及应用，能够利用格林公式和积分与路径无关的条件解决专业案例.
教学重点：格林公式
教学难点：格林公式的应用
授课时数：2课时
教学内容：
12.3.1 格林公式
微积分基本定理——牛顿—莱布尼兹公式建立了定积分与原函数在积分区间端点的函数值之间的联系，而格林公式正好是阐述（确立）了平面闭区域上的二重积分与该沿闭区域边界曲线上的曲线积分之间的关系.
本节介绍的格林公式（Green公式）揭示了在有界闭区域上的二重积分与的边界曲线上的曲线积分之间的关系. 可以看作是牛顿-莱布尼茨公式的推广.
我们先介绍平面单连通区域的概念.
定义12-3 设为平面区域，若内任一闭曲线所围的部分都属于，则称为平面单连通区域，否则称为复连通区域.
通俗的说平面单连通区域是不含洞（包括点洞）的区域，复连通区域是含有洞（包括点洞）的区域，如图12-7所示.例如，平面上的圆形区域和右半平面都是单连通区域；圆环形区域和
去心圆盘都是复连通区域.
通常，当一个人沿着闭区域的边界曲线的某个方向环行时，区域
始终在他的左侧，则该方向称为区域的边界曲线的正方向，反之是负方向.单连通区域的边界曲线的正方向一般为逆时针方向.
定理12-3（Green公式）设平面闭区域由光滑或分段光滑的曲线围成，函数和在上具有一阶连续偏导数，则有
.
其中曲线积分是沿正向计算的，该公式称为格林公式（也称作微积分第二定理）.
【注意】若区域为复连通区域，Green公式的右端应包括区域的全部正向边界的曲线积分.
这里指出，在格林公式中，取，则. 由此可得
闭区域的面积.
例1 计算椭圆的面积.
解 将椭圆的方程写成
，则
例2 计算. 是以为顶点的正向正方形边界.
解 设. 则有, ，显然满足格林公式条件
例3 计算, 是由点至点的上半圆周（图12-8）.
解 设. 则有
, ，补充路径有向直线段，
则满足格林公式条件 ，有
随堂练习：
（1）计算，其中是圆周的正方向；
（2）设是由，，围成的三角形边界的正方向，计算.
答案与提示：（1）；（2）.
12.3.2 平面曲线积分与路线无关的条件
区域是一个开区域，如果对内任意指定的两点与，以及内从点到点的任意两条不相同的分段光滑曲线、（图12-9），等式
恒成立，则称曲线积分在内与路径无关.
此时，可将曲线积分记为
.
函数和满足什么条件时，积分与路径无关？下面的定理告诉我们答案.
定理12-4 在区域中，曲线积分与路径无关的充分必要条件是对内任意一条闭曲线，有
定理12-5 设函数、在单连通域内有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是
.
定理12-6 设函数、在单连通域内有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是在D内是某个函数的全微分，即 .
证明略.
上述定理为计算曲线积分带来方便，即若曲线积分与路径无关, 则计算时常取与积分路径有相同起点和终点的简便路径来计算曲线积分.但应注意以下两点.
【注意·换积分路径】（1）计算与是否相等.若即可进行下一步，否则积分与路径有关；（2）所选路径与原路径同起点、同终点，且与原路径所围成区域是单连通域，使得、在该域内具有连续的一阶偏导数.
需要指出：当时，在D内是某个函数的全微分.设为区域内的任意一个选定的点（视为起点），则全微分可以表示成
一般说来, 对于任意的两个函数来说, 未必就是某个二元函数的全微分.
例4 计算曲线积分, 其中L为通过三点(0,0),(0,1)和(1,2)的圆周弧段(如图12-10).
解 设, 则有, 所以
曲线积分与积分路径无关. 为计算简便，取图12-10中折线段OAB为积
分路径, 于是
在OA上, ；在AB上，. 因此有
.
例 5 验证： 在整个平面内, 是某个函数的全微分, 并求.
解 现在且在整个平面上成立，
因此在整个平面内，是某个函数
的全微分. 取为（0,0）为起点，为终点，如图12-11所示，择折线作为积分路径来求函数. 则
.
【注意】在求的积分运算时, 尽可能把点和积分路径选简单一些. 例如， 选择积分路径为平行于坐标轴的直线段以使或中的一个为零.
随堂练习
（1）验证是某个函数的全微分, 并求;
（2）计算.
小结：
1. 格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积。
2. 格林公式使有些问题简化，有时可计算不封闭曲线积分，只需添上一条线使之成为封闭曲线，再减去所添曲线的积分值即可。
作业：
习题12.3 1、2.
任务12.4 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）
教学目的：理解和掌握对面积的曲线积分的概念性质及计算，能够利用对面积的曲面积分解决专业案例.
教学重点：对面积的曲线积分的计算
教学难点：对面积的曲线积分的计算
授课学时：2课时
教学内容：
12.4.1 第一类曲面积分的定义
1.引例 曲面形构件的质量
设有一分片光滑的物质曲面,其上质量分布不均匀，面密度函数为,
. 求该曲面物质的质量M.
分析 （1）大化小：类似于第一类曲线积分. 可将曲面任意分割成个
小曲面（），第个小片曲面的面积也记作，其质
量记成，于是.
（2）常代变：在上任取其中一点， 用近似表示整个小曲面
的面密度， 于是小曲面的质量
,
（3）近似和：由（2）知物质曲面质量可近似地表示为
（4）求极限：用表示个小曲面直径的最大值, 令, 即得物质曲面质量的精确值
.
这种形式的极限在研究其他问题时也会遇到, 我们称之为第一类曲面积分.
定义12-4设是空间中可求面积的曲面， 为定义在上的函数.对曲面作分割，即把分成个小曲面块，以记小曲面块的面积，表示各个小曲面块直径的最大值. 在上任取一点，若极限
存在，且与的分割方式和任意点的取法无关,则称此极限为在上的第一类曲面积分,也称作对面积的曲面积分. 记作
, 即.
将称为积分曲面，称为被积函数，称为被积表达式， 称为面积微元(或面积元素).
根据上述定义，前述曲面形构件的质量就是面密度函数为在曲面上的第一类曲线积分，即
如果是封闭曲面，那末函数在闭曲面上的第一类曲面积分记为
【注意】当时，曲面积分就是曲面块的面积.
由定义容易得到第一类曲面积分有和定积分、第一类曲线类似的性质，这里不在赘述.
12.4.2对面积的曲面积分计算
对面积的曲面积分可以化为二重积分来计算，即有下面的定理.
定理 12-7设有光滑曲面，是曲面在xOy面上的投影. 函数是定义在上的连续函数，则
由此可见，第一类曲面积分可化为二重积分来计算，其中面积微元
【注意】（1）曲面为单值函数；
（2）若：或可以类似的化为二重积分计算；
（3）若为平面且与坐标面平行或重合，则=．
例1计算，其中为锥面介于及之间的部分.
解 因积分是沿进行的, 故
,
又在平面上的投影区域Dxy是: 所限制的区域， 所以
例2 计算，其中为上半球面.
解 此时
,
从而有
例3已知锥面， 上每一点的密度与该点到顶点的距离成正比, 试求该锥面的质量.
解 锥面的密度函数为（为常数）
,
.
随堂练习 计算曲面积分，其中，并说明他的几何意义．
12.5 第二类曲面积分
读者想了解这部分内容，可通过手机扫码在线学习相关内容，此处不再介绍.
小结：
1．对面积的曲线积分的概念和性质
2．对面积的曲线积分的计算（用投影法化为二重积分计算）
（1）若，则
（2）若，则
。
（3）若，则
。
注意：（1）与二重、三重积分不同，对面积的曲面积分的动点取在曲面上，且有联系。
（2）使用投影法计算，当时，，其余类似。若平行于轴，则只能投影到面或面。特别地，若平行于轴及轴，则只能投影到面。
作业：
习题12.4 1、 2、 3.
图12-1
图12-2
图12-3
图12-4
图12-4
图12-5
图12-6
图12-7
图12-8
图12-9
图12-10
图12-11
图2-12
图2-12

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