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项目十三 无穷级数
13.1 数项级数的概念及性质
教学目的：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件
教学重点：级数收敛与发散概念
教学难点：用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题
授课学时：2课时
教学内容：
13.1.1数项级数的概念
实例1《庄子．天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，则永远截取不完.如果将每天的所截累加起来，则有下面的算式：
.
本例体现了无限分割（化整为零）与无限求和（积零为整）的微积分思想.也是我国古人对级数概念的形成所做出的贡献，远早于西方国家.
实例2 培养皿中细菌的繁殖总量计算就是一个无限求和问题；从极限角度看圆是无穷多条边的正边形，圆面积就是无穷多个以圆心为顶点、以正边形的边为底边的等腰三角形面积的和.
以上案例和实例均可归结为无穷多个数相加的问题，这种求和的形式称为无穷级数.
定义13-1 给定一个数列： , 将它的各项依次用加号连接起来所形成的表达式：
叫做常数项无穷级数，简称数项级数或级数，记作，即
（13.1）
称为此级数的一般项或通项.
上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数相加呢？我们可以从有限项出发，观察它们的变化趋势，以此来理解无穷多个数量相加的含义.
定义13-2 令，称为级数(13.1)的前项和，简称部分和. 当依次为1,2,3,…时，得到一个新数列，，…，，…，称该数列为级数(13.1)的部分和数列，记作. 从形式有，我们可以根据部分和数列的收敛与发散来定义级数的敛散性.
定义13-3 如果无穷级数的部分和数列有极限，即，则称该级数收敛（无穷和存在），并称极限值为该级数的和，记作
．
如果数列没有极限，即不存在，则称该级数发散(即无穷和不存在）.
当级数收敛于时，常用其部分和作为和的近似值，其差
叫做该级数的余项，记为．用部分和近似代替和所产生的绝对误差为．
例1 判定级数的敛散性.
解 所给级数的一般项为，部分和
.
所以，故该级数收敛于1，即．
例2 考察波尔察诺级数的敛散性.
解 数列1, 0, 1, 0, … ,的前项和，显然不存在，即发散.
随堂练习
1.讨论几何级数(也称等比级数)
的敛散性，其中, 称为级数的公比.
2.【案例·弹球运动的总路程】小球运动的总路程为
.
试求该级数的收敛之和.
3.【案例·奖励基金创立问题】 需要筹集的资金(单位：百万元)构成级数：
4+
试判断该级数敛散性.
4.判断级数的敛散性.
13.1.2数项级数的性质
根据级数收敛与发散的定义以及极限运算法则，可以得到级数的如下性质.
性质13-1 若级数收敛于，则级数收敛于，其中为非零常数.
从性质1表明级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不改变.
性质13-2 若级数和分别收敛于和，则级数收敛于．
例如，．
性质13-3 在级数中添加、去掉或改变有限项，不改变级数的敛散性.
性质13-4 收敛级数任意加括号后所形成的级数仍然收敛，且收敛于原级数的和.
由性质4知，若级数加括号后发散，则原级数必发散；加括号后收敛的级数，去括号后可能发散；发散的级数加括号后可能收敛.例如，级数收敛，但去括号后级数却发散.由此可知，级数中的括号不能随意去掉.
定理13-1 (级数收敛的必要条件) 若级数收敛，则必有．
这里指出，这个定理的逆命题不正确，即级数的通项的极限为零，并不能保证级数收敛.因此，上述性只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件.与定理13-1等价的命题是：
推论 如果或不存在，则级数一定发散.
【注意】我们经常用这个结论来判断某些级数是发散的.
例3 判定级数的敛散性.
解 由于，故此级数发散.
例4 证明：调和级数，虽有，但它是发散的.
证明 由拉格朗日中值定理，得 （），因此调和级数的部分和
所以，,于是级数发散.
例5 判断级数的敛散性.
解 因为,所以级数发散.
随堂练习
1. 判断级数的敛散性；
2. 判断级数的敛散性.
3.有甲，乙，丙三人按以下方式分一个苹果：先将苹果分成4份，每人各取一份；然后将剩下的一份又分成4份，每人又取一份；按此方法一直下去.那么最终每人分得多少苹果？
小结：
本节主要是依据级数的定义及其性质判别级数的敛散性。
作业：
习题13.1 1、 2.
13.2 常数项级数的审敛法
教学目的：掌握数项级数收敛性的判别方法
教学重点：正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛的概念。
教学难点：任意项级数收敛性的判别方法
教学时间：2课时
教学内容：
13.2.1正项级数及其比较审敛法
定义13-4 对于级数，如果，则称之为正项级数.
关于正项级数收敛的充要条件有如下定理（可利用单调有界无穷数列必有极限来证明）：
定理13-2正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.
例1证明正项级数收敛.
证明 因为，
所以，对任意的，有
(利用等比数列前项和公式），
即正项级数的部分和数列有界，故级数收敛．
利用定理13-2我们可以推出：
定理13-3 (比较审敛法) 设与为两个正项级数，且．
(1) 如果级数收敛，则级数也收敛；
(2) 如果级数发散，则级数也发散。
例2 讨论广义调和级数(又称—级数) (其中p为常数)的敛散性.
解 当时，有，由于发散，由定理13-3知，级数发散；
当时，取，有，得到
于是级数的部分和
即部分和数列有界，由定理13-2知，级数收敛.
综上所述，当时，级数收敛 ；当时，级数发散，以后我们常用级数作为比较审敛法时使用的级数.
例3 判定下列级数的敛散性。
(1) ； (2) ．
解 (1) 因为，而级数为的级数，故收敛，所以由比较审敛法知，级数收敛.
(2) 因为，而调和级数发散，故级数发散.
使用比较审敛法时，需要找到一个敛散性已知的正项级数来与所给正项级数进行比较，这对有些正项级数来说是很困难的.自然提出这样的问题：能否仅通过级数自身就能判定级数的敛散性呢？
定理13-4 (达朗贝尔比值审敛法) 设为正项级数．若，则
(1) 当时，级数收敛；
(2) 当（或）时，级数发散；
(3) 当时，级数可能收敛，也可能发散.
【注意】如果正项级数的通项中含乘积、幂或阶乘时，常用比值审敛法判定其敛散性.
例4 判定级数的敛散性：
解 因为，所以级数发散.
随堂练习
判定下列级数的敛散性：
（1）； (2) ； （3）.
13.2.2 交错级数及其收敛性
定义13-5形如或的级数，称为交错级数.
交错级数的特点：正负项交替出现．关于交错级数敛散性的判定，有如下重要定理：
定理13-5 (莱布尼兹(Leibniz)判别法)如果交错级数满足莱布尼兹条件：
　　 (1) ；
　 (2) ．
则交错级数收敛，且其和，其余项的绝对值．
例5 判定交错级数的敛散性.
解 此交错级数的，且满足 且，由定理13-5知，该交错级数收敛，其和小于1．
13.2.3 绝对收敛与条件收敛
设有级数，其中为任意实数，称此级数为任意项级数. 对于任意项级数除了用级数定义来判断其敛散性外，还没有判断其敛散性的通用方法. 对这类级数敛往往需要转化成正项级数来判定其敛散性.为此先介绍两个基本概念即绝对收敛与条件收敛.
定义13-6 设为任意项级数，如果正项级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛，但级数发散，则称级数条件收敛.
例如，级数绝对收敛，级数条件收敛.
下面的定理给出了级数与敛散性之间的关系：
定理13-6 如果级数收敛，则级数必收敛.
证明从略.
定理13-6说明，对于任意项级数，如果它所对应的正项级数收敛，则该级数必收敛.
【注意】如果级数发散，不能判定级数也发散.
例6 判定级数的敛散性，其中为常数。
解 由于，而级数是收敛的，由比较审敛法可知，级数收敛，即级数绝对收敛，再由定理13-6知，级数收敛.
例7讨论交错-级数的绝对收敛与条件收敛性，其中为常数。
解 当时，不趋于，故该级数发散；
当时，有，且级数收敛，故该级数绝对收敛；
当时，级数发散，但是交错级数，且满足定理13-5的条件，故所给级数条件收敛.
随堂练习
1.判断级数的敛散性.如果收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.
2.判断级数的敛散性.如果收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.
小结:
1. 级数收敛的必要条件是其通项趋于0，因此，如果通项不趋于0，级数一定发散。但是，通项趋于0的级数未必收敛，如的通项趋于0，但调和级数发散。
2．正项级数的部分和单调增，所以如果证明了有上界，则正项级数收敛。
3．三个重要的级数：
(1) 级数： （发散） （收敛）
(2) 几何级数： （发散） （收敛）
(3) 收敛
4．正项级数的审敛法是：
比较法，比较法的极限形式，比值法，根值法
5．交错级数有莱氏判别法；任意项级数有绝对值判别法
作业：
习题13.2 1、 2、 3.
13.3 幂 级 数
教学目的：了解幂级数的收敛域的构造及求法，理解幂级数运算的性质
教学重点：幂级数收敛域的求法，幂级数的运算
教学难点：幂级数收敛半径和收敛区间的求法，利用幂级数的运算性质求和函数
授课学时：2课时
教学内容：
13.3.1函数项级数的概念
【案例·存款问题】 2021年年初向某银行存入10000元人民币，按复利计算，想要在第一年末提取1元，第二年末提取4元，第三年末提取9元，第年末提取元，问银行年利率在什么范围内才能保证永远如此提取？
分析：设年利率为，按复利计算，第年末提取元，需要本金(本金无限划分）.所以只有才能保证永远提取.可以看出级数的通项是一个以为自变量的函数，而非常数，称这样的级数为函数项无穷级数.
定义13-7设有定义在区间I上的函数列，则和式
称为定义在区间I上的函数项无穷级数，简称函数项级数或级数.记作
（13.2）
【注意】对于任意确定值的，函数项级数都可化为数项级数.
定义13-8 若级数收敛，则称为函数项级数的收敛点，级数收敛点的全体，称为该级数的收敛域；若级数发散，则称点为级数的发散点.
对收敛域内每一点，级数的和是的函数，称这个函数为级数的和函数，记为，即在收敛域内总有
.
例如，易知几何级数的收敛域为，其和函数为
.
另外，把函数项级数(13.2)的前项的和记作，则在收敛域上有
．
将 作该函数项级数的余项，则．
13.3.2 幂级数及其收敛性
定义13-9 称形如
(13.3)
的函数项级数为幂级数，其中叫做幂级数的系数.特别地，当时，有
(13.4)
下面主要讨论幂级数(13.4)的情形，因为只要把幂级数(13.4)中的换成就可以得到幂级数(13.3).
对于一般的幂级数，其基本问题依然有两个：一是何处收敛，收敛域是否为一个区间？二是其和等于什么？对此，给出下面的定理.
定理13-7 (阿贝尔(Abel)定理)
（1）如果幂级数在处收敛，则对于所满足的一切，幂级数都绝对收敛；
（2）如果幂级数在处发散，则对于所满足的一切，幂级数都发散.
(证明过程放在微视频）
定理13-7表明，如果幂级数在处收敛(发散)，则对于开区间内(闭区间外)的一切，幂级数都收敛(发散).为此有下面的推论.
推论 如果幂级数既有非零的收敛点，又有发散点，则必存在正数，使得
（1）当时，幂级数绝对收敛；
（2）当时，幂级数发散；
（3）当时，幂级数可能收敛也可能发散。
我们称上述正数为幂级数的收敛半径，区间幂级数的收敛区间，考虑区间端点的收敛性，可得幂级数的收敛域.
由以上讨论可知，幂级数的收敛域为一区间.欲求幂级数的收敛域，只要求出收敛半径,然后再判别幂级数在点处的敛散性便可得出,即收敛域为四种情况、、之一.
下面给出确定幂级数的收敛半径的一个定理.
定理13-8 对于幂级数（），如果，则该级数的收敛半径
．
例1求下列幂级数的收敛半径。
（1） （2）； （3）．
解（1）因，故收敛半径．
（2）因，故收敛半径.
（3）因为该级数缺少奇次幂的项，定理13-8不适用，换用比值审敛法求收敛半径.由于
，
因此，由正项级数的比值审敛法知，当，即时该幂级数绝对收敛；当，即时该幂级数发散.故收敛半径．
例2 求幂级数 的收敛区间和收敛域.
解 由于，所以幂级数的收敛半径为,收敛区间为.
当时，原级数化为，发散；
当时，原级数化为，发散；
由以上讨论可知幂级数的收敛域为.
例3 求幂级数的收敛域.
解 令，则原级数变成．因为
故级数的收敛半径，也就是说，当，即时，原级数收敛.
当时，级数为交错级数，易知它是收敛的；
当时，级数为调和级数，易知它是发散的.
因此，原幂级数的收敛域为.
随堂练习
求下列幂级数的收敛区间和收敛域.
（1）； （2）．
13.3.3幂级数的运算
1. 四则运算
设幂级数和的收敛半径分别为和，它们的和函数分别为和，令，则在内有
（1）加减运算
（2）乘法运算
．
其中．
2. 分析运算
设幂级数的收敛半径为，在内的和函数为，则有
（1）幂级数的和函数在其收敛区间内连续．
（2）幂级数的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导公式：
（3）幂级数的和函数在其收敛区间内可积，且有逐项积分公式：
【注意】逐项求导和逐项积分前后，两幂级数具有相同的收敛半径和收敛区间，但在收敛区间端点处，级数的敛散性可能会改变.
例4 求下列级数的和函数
（1）； （2）
解 （1）容易求出级数的收敛区间为，并设该级数在收敛区间内的和函数为，即.由幂级数的逐项可导公式得
，.
对上式两边求积分，得
，.
当时,级数=为调和级数，它是发散的；
当时,级数=是交错级数，易知它是收敛的.
（1）易求出级数的收敛区间为，并设该级数在收敛区间内的和函数为，即.由幂级数的逐项积分公式，得
，.
对上式两边求导数，得
，.
当时,级数是发散的；
当时,级数是发散的.
因此原级数的和函数为，.．
随堂练习
1. 求幂级数的和函数.
2.求幂级数的和函数.
小结：
1.幂级数是函数项级数中最基本的一类，它的特点是在其收敛区间绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分。由此第一次得到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式），将函数展为幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义。
2.在求缺奇数次项（或缺偶数次项）等幂级数的收敛半径时不能使用定理中的方法；在求幂级数的和函数时要注意确定其定义域， （-1作业：
习题13.3 1、2、3.
13.4 函数展开成幂级数
教学目的：了解将函数展开成幂级数的方法。
教学重点：泰勒级数, 函数展开成幂级数
教学难点：函数展开成幂级数的间接方法.
授课时数：2课时
教学内容：
前面我们讨论了幂级数的收敛区间及其和函数.在实际应用中常常会遇到与之相反的问题，即对给定的函数，能否在某个区间内展开成一个幂级数的形式.这就是任务要解决的问题．
这里要解决两个问题：（1）对给定的函数，在什么情况下可以表示成一个幂级数；（2）若能表示成幂级数形式，如何求出这个幂级数.
为了解决第一个问题，下面先介绍用幂级数来表示函数的公式 泰勒级数.
13.4.1 泰勒(Taylor)级数
如果函数在点的某邻域内有定义，且能展开成的幂级数，即对于任意的，有
． (13.5)
由幂级数的逐项求导公式知，函数在该邻域内一定具有任意阶导数，且
． (13.6)
在式(13.5)和式(13.6)中，令，得
，，，…，，…． (13.7)
将式(13.7)代入式(13.5)中，得
．（13.8）
式（13.8）表明，当函数在的某邻域内表关于的幂级数时，则其系数必由式(13.7)唯一确定，即函数的幂级数展开式是唯一的．这种形式的幂级数称为泰勒(Taylor)级数，即有下面的定义.
定义13-10如果函数在点的某邻域内有任意阶导数，则称级数
(13.9)
为函数在点处的泰勒(Taylor)级数.
记函数的泰勒级数(13.9)前项之和为，即
，
称差式为泰勒级数的拉格朗日型余项（简称余项），记作，即
（介于与之间）．
于是
（13.10）
称式（13.10）为泰勒(Taylor)公式(此时）.
在实际应用时，若= 0，则泰勒级数(13.9)变成
称此级数为的麦克劳林(Maclaurin)级数，其余项为
(ξ介于0与之间).
【注意】（1）函数的泰勒级数或麦克劳林级数是唯一；
（2）函数的泰勒级数或麦克劳林级数与把展开成泰勒级数或麦克劳林级数的意义不同，前者指仅求出泰勒级数或麦克劳林级数，后者指不仅求出泰勒级数或麦克劳林级数，而且该级数收敛于本身（即时，余项).
13.4.2函数展开成幂级数
利用泰勒公式或麦克劳林公式可将函数表法成幂级数，展开方法通常有直接展开法和间接展开法.
1. 利用直接展开法将函数展开成幂级数
直接展开法是指先利用公式或（）计算出的泰勒或麦克劳林系数，写出对应的泰勒级数或麦克劳林级数；然后对余项考虑是否有.
例5将函数展开为的幂级数.
解 因为，故．从而的麦克劳林级数为
．
易知它的收敛区间为，并由（讨论过程略），级数收敛于，所以
．
例6 将函数展开成的幂级数.
解 由可知依次循环地取1，0，-1，0，…，（）.于是的麦克劳林幂级数为
．
其收敛区间为.可以证明，所以的幂级数展开式为
.
随堂练习
将下列函数展开为的幂级数.
(1) ()； (2) (为任意常数)．
2．利用间接展开法将函数展开成幂级数
所谓间接展开式，就是借助已知的幂级数展开式，利用变量代换或幂级数的运算，将所给函数展开为幂级数．
例7将下列函数展开成的幂级数．
(1) ; (2) ．
解 (1)因为
，
两边对逐项求导，得
(2) 因为
．
上式两端从0到逐项积分，得
．
又因为当= -1时该级数发散，当= 1时该级数收敛，故有
．
例8 将下列函数展开成的幂级数
（1）； （2）.
解 （1）因为
用代换，得
.
（2）因为 ，在的幂级数展开式中将换成便可得的幂函数展开式，进而得
随堂练习
将下列函数展开成的幂级数：
（1） ； （2） .
3幂级数展开式的应用
利用函数的幂级数展开式，可以进行近似计算，即在展开式成立的区间内，函数值可用级数的部分和按规定的精度求近似值.
例9 计算的近似值(精确到小数点后第4位)。
解 将展开式
中的换成，得
两式相减，得到不含有偶次幂的展开式
令，解出.以代入得
若取前四项作为的近似值，则误差为
于是取 .
例10求的近似值(精确到小数点后第6位).
解 由于展开式
（）
是交错级数，取前项部分和做近似估计，误差
（）
，取前三项能满足精度要求，于是
精确到六位小数，.
例11计算定积分的近似值，精确到0.0001.
解 因，若定义函数在处的值为1，则它在区间上连续.被积函数的展开时为
（）
在区间上逐项积分，得
这是交错级数，因为第四项，所以取前三项的和作为积分的近似值就能满足精度要求.
小结：
本次课主要学习了将函数展成幂级数的方法。要求学生熟记几个重要函数（，，cos，ln(1+x)，）的麦克劳林级数，作业时通常采用间接展法把函数展成幂级数。
作业：
习题13.4 1、 2.
13.5傅立叶级数
教学目的：了解函数的傅立叶级数，给出函数展为傅立叶级数的充分条件，求函数的傅立叶级数展开式的方法
教学重点：了解傅立叶级数的概念和狄立克雷收敛定理。
教学难点：如何将函数展开为傅立叶级数.
教学时间：3课时
教学内容：
实例1振动问题
一根弹簧受力后产生振动，如不考虑各种阻尼，其振动方程为，其中为振幅，为频率，为初相，为时间，称为简谐振动.人们对它已有充分的认识.如果遇到复杂的振动，能否把它分解为一系列简谐振动的叠加，从而由简谐振动去认识复杂的振动呢
实例2正弦波问题
在电子线路中，对一个周期性的脉冲，能否把它分解为一系列正弦波的叠加，从而由正弦波去认识脉冲呢
实际上，在科学技术中的其他一些周期运动也有类似问题，这些问题的解决都要用到一类重要的函数项级数―傅立叶级数.
为了研究傅立叶级数，我们先来认识一种特殊级数—三角级数.它在数学与工程技术中有着广泛的应用．
定义13-11函数项级数
,
称为三角级数，其中常数称为此三角级数的系数．特别地，当时，级数只含正弦项，称为正弦级数；当时，级数只含常数项和余弦项，称为余弦级数.对于三角级数，我们讨论它的收敛性以及如何把一个周期为的周期函数展成三角级数的问题.
13.5.1 三角函数系的正交性
称函数列
(13.11)
为三角函数系．它在区间上具有正交性，即在三角函数系(13.11)中，任意两个不同函数的乘积在上的积分等于零.即
， ；
，；
，
上述等式，只要通过定积分的计算即可验证，具体验证留给读者.
在三角函数系(13.11)中，任意两个相同函数的乘积在上的积分不等于零.其中
，， .
13.5.2 将周期为的函数展开成傅立叶级数
类似于函数展开成幂级数，函数展开成三角级数时也需要解决两个问题.
问题1 一个函数具备哪些性质才能展开成三角级数？另外，如果一个函数能展开成三角级数，那么级数中的系数又如何确定？
设函数的周期为，且能展开成三角级数，即
(13.12)
为了求出式(13.12)中的系数，假设式(13.12)在区间可积，且右端能逐项积分，则
.
由三角函数系的正交性可知，上式右端除第一项外，其它各项均为零，所以
，
于是
.
为求，先给式(13.12)两端同乘，再从到逐项积分，得
．
根据三角函数系的正交性，上式右端除的一项外，其余各项均为0，所以
于是
．
类似地，为求，给式(13.12)两端同乘，再从到逐项积分，得
由此可见，如果周期为的函数能展开成三角级数，则它的三角级数的系数可由下列式子给出
(13.13)
式（13.13）称为傅立叶（Fourier)公式，所确定的系数称为函数的傅立叶(Fourier)系数．由函数的傅立叶系数所确定的三角级数
称为函数的傅立叶级数．
显然，当为奇函数时，公式(13.13)中的；当为偶函数时，公式(13.13)中的，所以有
1）当是以周为期的奇函数时，其傅立叶级数为正弦级数，式中傅立叶系数为
；
2）当是以为周期的偶函数时,其傅立叶级数为余弦级数，式中傅立叶系数为
．
问题2 函数的傅立叶级数是否收敛于？
对于给定的函数，只要能使公式(13.13)的中各积分可积，就可以计算出的傅立叶系数，从而得到的傅立叶级数．但是这个傅立叶级数却不一定收敛，即使收敛也不一定收敛于．为了确保得出的傅立叶级数收敛于，还需给附加一些条件．对此有下面的定理.
定理13-9 (狄利克雷(Dirichlet)收敛定理)设是以为周期的周期函数，且在区间上满足狄利克雷(Dirichlet)条件：(1) 连续或仅有有限个第一类间断点；(2) 至多只有有限个极值点；则的傅立叶级数收敛，并且有
(1) 当是的连续点时，级数收敛于；
(2) 当是的间断点时，级数收敛于．
例12 正弦交流电经二极管整流后变为(如图13.1)
,
其中为整数．把函数展开为傅立叶级数.
解 函数满足收敛定理的条件，且在整个数轴
上连续，因此的傅立叶级数处处收敛于．函数的傅立叶系数为
，
，
．
所以的傅立叶展开式为
，．
例13 如图13.2所示，一矩形波的表达式为
，k为整数．
求函数的傅立叶级数展开式.
图13.2
解 函数除点( k为整数)外处处连续，由收敛定理知，在连续点()处，的傅立叶级数收敛于．在不连续点()处，级数收敛于．又因是周期为2π的奇函数，因此，函数的傅立叶系数为
，
．
所以的傅立叶级数展开式为
．
此例说明：如果把理解为矩形波的波函数，则矩形波可看作是由一系列具有共同周期但频率不同的正弦波叠加而成.
随堂练习
已知脉冲三角信号是以为周期的周期函数，它在的表达式为
把展开成傅立叶级数.
13.5.3 或上的函数展开成傅立叶级数
在实际应用中，经常会遇到函数只在上有定义，或虽在外也有定义但不是周期函数，对于有定义的非周期函数，可以以区间上的图像为基础，沿轴向两端无限延伸（补充定义），使其成为以为周期的函数，这种拓广方式叫作周期延拓.由于求的傅立叶系数只用到在上的部分，所以我们仍可用公式(13.13)求的傅立叶系数，如果函数在上满足收敛定理的条件，则在内的连续点处傅立叶级数收敛于，而在处，级数收敛于．
类似地，如果只在上有定义且满足收敛定理条件，要得到在上的傅立叶级数展开式，可以任意补充在上的定义(只要公式(13.13）中的积分可积即可)，便可得到相应的傅里叶级数展开式.常用这种延拓办法把延拓成偶函数(这个过程称为偶延拓)或奇函数(这个过程称为奇延拓)，然后将奇延拓或偶延拓后的函数展开成傅立叶级数，再限制在上，此时延拓后的函数，这个级数必定是正弦级数或余弦级数，这一展开式至少在内的连续点处是收敛于．而在区间端点以及区间内的间断点处，则可根据收敛定理判定其收敛性.
例14 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.
解 ①为了把展开成正弦级数，先把延拓为奇函数，如图13.3所示，则
．
由此得在上的展开式，也即在上的展开式为
．
在处，上述正弦级数收敛于
．
②为了把展开成余弦级数，把延拓为偶函数, ，如图13.4所示，则
，
于是得到在上的余弦级数展开式为
由此例可见，在上的傅立叶级数展开式不是唯一的.
随堂练习
试将定义在上的函数展开成傅里叶级数.
13.5.4 以为周期的函数展开成傅立叶级数
设是以为周期的周期函数，且在上满足收敛定理的条件，作代换，即，，则是以为周期的函数，且在上满足收敛定理的条件。于是可用前面的办法得到的傅立叶级数展开式
，
然后再把换回就得到的傅立叶级数展开式
，
其中傅立叶系数为：
．
显然，当为奇函数时，上式中的；当为偶函数时，上式中的，所以有
(1) 当是周期为的奇函数时，其傅立叶级数为正弦级数，其中
．
(2) 当是周期为的偶函数时，其傅立叶级数为余弦级数，其中
．
例15 如图13.6所示的三角波的波形函数是以2为周期的周期函数，在上的表达式是，，求的傅立叶展开式。
解 作变换，则得在上的表达式为
．
利用例14的后半部分可直接写出傅立叶系数
．
于是得的傅立叶展开式
．
把换回( ), 即得　　　　　　　　　　　　　　　　
．
依照例14的作法，也可以把上的函数展开成正弦级数或余弦级数。
小结：
函数展为傅立叶级数的问题本来是由分解周期函数为谐波引出的，对非周期函数，甚至只是定义在上的函数，当它在上满足狄氏条件时，它的傅立叶级数在上收敛，而且由于其各项都有周期，故在上都收敛，其和函数是上的以为周期的函数。在之外与一般是不同的。但是，如果把定义在上的函数按周期延拓到数轴所有点上去，得到一个以为周期的新的函数，并且仍用表示这个新的函数，那么在整个数轴上就应有展开式：
，
若是的连续点，上式左边即是。
作业：
习题13.5 1、 2、 3.
图13.1
图13.3
图13.4
图13.5
图13.6

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