资源简介

项目十一 重积分
任务11.1 二重积分的概念与性质
教学目的：深刻理解二重积分的概念、性质、方法和基本技巧
教学重点：利用二重积分的性质计算
教学难点：二重积分的几何意义
授课学时：2学时
教学内容：
1 1.1.1二重积分的概念
实例1 【曲顶柱体体积问题】 设函数在有界闭区域上连续，且．以函数所表示的曲面为顶，以区域为底，且以区域的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面为侧面的几何体叫做曲顶柱体，如图11-2所示．下面讨论如何计算曲顶柱体的体积．
对于平顶柱体,它的体积就等于底面积乘高.现在曲顶柱体的顶是曲面,当点 在上变动时,其高度是一个变量,因此不能直接用平顶柱体的体积计算公式求其体积，但是可以沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下：
第一步(分割).用一组曲线网将区域任意分成个小区域,,…,…，其中记号 (i = 1，2，…，n)也用来表示第i个小区域的面积．分别以每个小区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分割成个小曲顶柱体，…，…，，其中记号(i = 1，2，…，n)也用来表示第i个小曲顶柱体的体积．
第二步(近似)．因为在区域上连续，在每个小区域上其函数值变化很小，每个小曲顶柱体可以近似地看作平顶柱体(如图11-3)．分别在每个小区域上任取一点，以为高，为底的小平顶柱体的体积作为第i个小曲顶柱体体积的近似值，即
．
第三步(求和)．将n个小平顶柱体体积之和作为原曲顶柱体体积V的近似值，即
．
第四步(取极限)．对区域分割越细，近似程度越高，当各小区域直径的最大值 (有界闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值)时（即每个小区域趋近于一个点），若上述和式的极限存在，则该极限值就是曲顶柱体的体积，即有
．
实例 2 设有一个质量非均匀分布的平面薄片，它在平面上占有有界闭区域，此薄片在点处的面密度为，且在上连续．试计算该薄片的质量．
如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量就等于面密度与面积的乘积．现在薄片的面密度随着点的位置而变化，我们仍然可以采用上述方法求薄片的质量．用一组曲线网将区域任意分成n个小块，…，；由于在上连续，只要每个小块 (i = 1，2，…， n)的直径很小，这个小块就可以近似地看作均匀小薄片．在上任取一点，用点处的面密度近似代替区域上各点处的面
密度(如图11-4)，从而求得小薄片的质量的近似值
；
整个薄片质量的近似值为
．
将薄片无限细分，当所有小区域的最大直径时，若上
述和式的极限存在，则这个极限值就是所求平面薄片的质量，即
．
尽管上面两个问题的实际意义不同，但解决问题的方法是一样的，而且最终都归结为求二元函数的某种特定和式的极限．在数学上加以抽象，便得到二重积分的概念．
定义11-1（二重积分）设是定义在有界闭区域上的有界函数，将任意分割为个小区域，…，…，，其中记号表示第个小闭区域，也表示其面积；在每个小区域上任取一点，作乘积，并作和式．如果将区域无限细分，当各小区域直径的最大值时，该和式的极限存在，且极限值与区域的分法及点的取法无关，则称此极限值为函数在区域上的二重积分，记为，即
．
其中称为被积函数，称为被积表达式，称为面积元素（或称面积微元），与称为积分变量，区域称为积分区域，称为积分和．
根据二重积分的定义可知，实例1中曲顶柱体的体积是其曲顶函数在底面区域上的二重积分，即
；
实例2中平面薄片的质量M是其面密度函数在其所占闭区域上的二重积分，即
．
关于二重积分的几点说明．
（1）如果函数在区域上的二重积分存在，则称函数在上可积．如果函数在有界闭区域上连续，则在上可积．
（2）当在有界闭区域上可积时，积分值与区域的分法及点的取法无关，只与被积函数和积分区域有关
二重积分的几何意义:
（1）若在闭区域上，二重积分表示曲顶柱体的体积；
（2）若在闭区域上，二重积分表示曲顶柱体体积的负值；
（3）若在闭区域上有正有负，二重积分表示各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和（即以面为界，上部分的体积之和减去下部分的体积之和）．
11.1.2 二重积分的性质
二重积分有与定积分完全类似的性质，这里我们只列举这些性质，而将证明略去．
性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分符号的外面，即
，其中为常数．
性质2 有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和，即
．
性质3 若用连续曲线将区域分成两个子区域与，即，则
.
即二重积分对积分区域具有可加性．
性质4 设在区域上≡1，σ为的面积，则有
．
因为从几何上看，高为1的平顶柱体的体积在数值上等于其底的面积．
性质5 如果在区域上，则有
．
由于-|| ≤≤ ||，由性质5可得．
性质6 设与分别是函数在有界闭区域上的最大值与最小值，则有
，
性质7 (二重积分的中值定理) 如果函数在有界闭区域上连续，σ为积分区域的面积，则在上至少存在一点，使得
．
例1比较与的大小，其中是由直线及所围成的闭区域．
解 由于对任意的，有，故有，因此
．
例2 估计的值，其中为矩形区域，，．
解 被积函数在区域上的最大值与最小值分别为4和1，的面积为2，于是
．
例3 计算二重积分，为部分，并说明其几何意义.
解 是半径为的圆，其面积，根据性质1和性质4，
，其几何意义是以面上半径为的圆为底，为高的圆柱体的体积.
小结：
二重积分的定义（和式的极限）
二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）
二重积分的性质
作业：
习题11.1 1、 2、 3.
任务11.2 二重积分的计算
教学目的：理解二重积分的思想掌握极坐标系下二重积分的计算方法和基本技巧
教学重点：熟练掌握二重积分计算
教学难点：二重积分在极坐标下的计算
授课时数：2学时
教学内容：
11.2.1 直角坐标系下二重积分的计算
我们知道，如果函数在有界闭区域上连续，则在区域上二重积分存在，且它的值与区域的分法和各小区域 上点的选取无关，故可采用一种便于计算的划分方式，即在直角坐标系下用两族平行于坐标轴的直线将区域分割成 若干个小区域. 则除了靠近区域边界的小区域不规则外，其余的小区域全部是小矩形区域．
设小矩形区域的边长分别为和(如图11-5)，
则小矩形区域的面积为．因此，在直角坐标系下，
可以把面积元素记作
则在直角坐标系下，二重积分可表示成
下面利用平行截面法（或称“切片法”）来求曲顶柱体的体积，以获得直角坐标系下二重积分的计算方法．
1.型区域二重积分的计算
设曲顶柱体的顶是曲面()，底是平面上的闭区域(如图11-6)，先用穿线法确定积分区域的范围，具体步骤是:（1）将区域投影到轴得；（2）过区间[a，b]内任取一点作轴的垂线，该垂线与区域的边界恰有两个交点，自下而上分别称作穿入点和穿出点，穿入点所在曲线为，穿出点所在曲线为，两穿点间纵坐标满足，即区域可用不等式组表示为
，
该区域的特点是：穿过区域内部且垂直于x轴的直线与的边界交点不多于两点，今后称这样的区域为型区域.
用过区间[a，b]上任意一点x且垂直于x轴的平面去截曲顶
柱体，到的截面是一个以为底，以
（相对是常量）为曲边的曲边梯形(如图11-7)，
其面积为
．
任取微区间（是无穷小），则该区间对应的切片（薄片）可看成以为底面积，高为的微柱体，称微柱体的体积为曲顶柱体的体积元素（体积微元），即
将体积元素沿区间无限求和便得到曲顶柱体的体积.于是有
．
根据二重积分的几何意义可知，这个体积就是所求二重积分的值，从而有
或
上式右端称作先对后对的二次积分．由此可看到，二重积分的计算可化成两个单积分(定
积分）来计算，这种方法称作累次积分法．先对积分（视为常数），即把看
作关于的一元函数，从到对进行一次积分；然后在此基础上，再从到对
积分．通过先后二次积分(均为定积分）便获二重积分的值.
在上述过程中，我们假定，但实际上公式并不受此条件的限制．
例1 计算,其中 :， ，.
解 画出区域的图形（如图11-8所示）.选择先对积分（固定），用穿线法确定的积
分区域范围为.
二重积分化为二次积分为
.
2.型区域二重积分的计算
类似地，如果某二元函数积分区域如图11-9所示，用水平穿线法确定区域的范围，区域可表示为，其中函数在区间[c，d]上连续，该区域的特点是：穿过区域内部且垂直于轴的直线与的边界交点不多于两点,则称区域为型区域.
图11-9
这时有以下公式：
或
上式称为先对后对的二次积分. 首先对积分（固定），视为关于的一元函数，从到对进行一次积分（定积分）；然后将所得结果(关于的函数)看作被积函数，再在区间[c，d]上对进行积分（定积分）．实施两次积分后便获得二重积分的值.
当积分区域不属于上述两种类型时，即平行于轴或轴的
直线与的边界交点多于两点．这时可以用平行于轴或平行于
轴的直线把分成若干个小区域（如图11-10所示），使每个小区
域都属于上述类型之一，然后利用性质3，将上的积分转化成每
个小区域上积分的和．
例2 计算 ，其中由直线，和曲线所围成.
解 画出区域的图形（如图11-11所示），求出边界曲线的
交点坐标），，，选择先对积分，这时为Y-区域，表达式为
于是
===
本题也可先对积分后再对积分，但是这时就必须用直
线将分成和两个X-型区域(如图11-12).其中
由此得
=+=+
=+=+= .
显然，先对积分后对积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.
例3 计算，其中由抛物线及直线所围成．
解 画的图形(如图11-13 a)．解方程组，得交点坐标为(1, -1)，(4, 2)．
（a） （b）
若选择先对积分，这时把积分区域看作Y-型区域，可表示为
，
从而
　　　　　　　 ．
　　若先对y积分后对积分，由于下方边界曲线在区间[0，1]与[1，4]上的表达式不一致，这时就必须用直线将区域分成和两部分（X-型区域）(如图11-13 b)．则和可分别表示为
，
，
由此得
．
显然，计算起来要比先对后对积分麻烦，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键．选择积分次序与积分区域的形状及被积函数的特点有关．
例4 求由两个圆柱面和相交所形成的立体的体积．
解 根据对称性，所求体积V是图11-14 a所画第一卦限中体积的8倍．第一卦限的立体为一曲顶柱体，它以圆柱面为顶，底为xOy面上的四分之一圆(如图11-14b) .用不等式组表示积分区域，则
，
所求体积为
．
（a） （b）
例5已知 =+ 改变积分次序.
解 积分区域，其中
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
画出积分区域的图形(见图11-15)，改变为先对积分后
对积分.
此时
因此 =+=.
【注意】根据已给积分次序原还积分区域是交换积分次序的关键. 关于这一点要依靠原积分次序的上下限及积分变量应满足的不等式还原.
例5 计算二重积分．
解 积分区域如图11-16所示，直接计算显然不行，因为不能表示为初等函数．但被积函数与无关，因此我们考虑交换积分次序后再计算．
随堂练习
1.计算下列积分.
； .
2.计算，其中区域：，.
3.交换下列积分次序
； .
11.2.2 极坐标系下二重积分的计算
有些二重积分 积分区域 的边界曲线（如圆形、扇形、环形域等）用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量、表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分
设函数的积分区域为，用取一系列常数(得到一族中心在极点的同心圆)和取一系列常数(得到一族过极点的射线)的两组曲线，将分割成许多小区域(如图11-17).不
失一般性，每一块小区域可以看作极径由变到、极角由
变到所得到的小区域(如图11-17阴影部分)，该小区域
又可近似地看作边长分别为和的小矩形. 于是极坐标下的
面积元素．再用坐标变换，代
替被积函数中的和，这样二重积分在极坐标系下的表达式为
实际计算时，与直角坐标情况类似，还是化成累次积分来计算. 这里仅介绍先后的积分次序，积分的上下限则要根据极点与区域的位置而定．下面分三种情况说明在极坐标系下，如何化二重积分为二次积分．
情形一：极点在积分区域之外.
如图11-18所示，区域D界于射线和之间
（），这两条射线与的边界的交点把区域边界曲线分为
内边界曲线和外边界曲线两个部分，则
.
于是二重积分可写成
.
情形二：极点在积分区域之内．
如图11-19，极角从变到，如果的边界曲线方程是，则
，
于是二重积分可以写成
.
情形三：极点在积分区域的边界上.
如图11-20所示，极角从变到，设区域的边界曲线方程是，则
于是二重积分可以写成
.
图11-19 图11-20
一般情况下，当二重积分的被积函数中自变量以，，，等形式出现且积分区域由圆弧与射线组成(如以原点为中心的圆域、扇形域、圆环域，以及过原点而中心在坐标轴上的圆域等)，利用极坐标计算往往更加简便．用极坐标计算二重积分时，需画出积分区域的图形，并根据极点与区域的位置关系，选用上述公式．
例6 计算，其中是圆盘在第一象限的部分．
解 画出的图形(如图11-21)，在极坐标系下，可表示为
，
于是可得
．
例7 求由球面与圆柱面所围且含于柱面内的立体体积．
解 如图11-22 a所示，由于这个立体关于面与面对称，所以只要计算它在第一卦限的部分．这是以球面为顶，以曲线与轴所围成的半圆为底(如图11-19 b)的曲顶柱体，其体积为
．
在极坐标下，，于是得到
　　　　　　 ．
（a） （b）
例8 计算,其中是两圆和之间的环形区域.
解 画出D的图形(图11-23),选用极坐标，它可表示为 ,,于是
=.
小结 ：
二重积分的计算步骤：
（1） 画出积分区域的图形；
（2） 根据积分区域和被积函数选择适当的坐标系；
（3） 写出积分区域的变量范围；
（4） 二重积分化为二次积分，并计算二次积分.
二重积分计算公式
直角坐标系下 X—型
Y—型
极坐标系下
作业：
习题11.2 2、 3、 4、 5.
任务11.3 重积分的应用
教学目的：掌握面积微元、体积微元的构建方法；掌握二重积分的几何和物理方面的应用
教学重点：利用二重积分的解决实际问题
教学难点：二重积分的思想如何用于实际问题
授课时数：2学时
教学内容：
我们曾用微元法（元素法）讨论了定积分的应用问题，该方法也可以推广到重积分的应用中．
假设所求量对区域具有可加性，即当区域分成若干小区域时，量相应地分成若干部分量，且量等于所有部分量之和．在内任取一直径很小的小区域，设是上任一点，如果与相应的部分量可以近似地表示为的形式，那么所求量就可用二重积分表示为，其中称为所求量的微元或元素，记为，即．
11.3.1立体体积
设一几何体，它在面上的投影为有界闭区域，上顶与下底分别为连续曲面与，侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面，求此立体的体积(如图11-24).在区域内任取一直径很小的小区域，设是上任一点，以的边界曲线为准线作母线平行于轴的柱面，截几何体得一个小柱形(如图11-24)，因为的直径很小，且，在上连续，所以可用高，底为的小平顶柱体的体积作为小柱形体积的近似值，得体积元素为
将体积元素在上积分，即得立体的体积
.
图11-24 图11-25
例1 求由曲面及所围成的立体的体积．
解 如图11-25所示，几何体的上顶曲面是，下底曲面是，在面上的投影区域的边界曲线方程为，它是上顶曲面和下底曲面的交线在面上的投影，其方程是从与中消去而得出的．利用极坐标，可得
　　　　　　　 ．
11.3.2 曲面面积
　　假设曲面的方程为，在面上的投影是有界闭区域，函数在上具有连续偏导数，求曲面的面积．
在闭区域内任取一直径很小的小区域，设是内任一点，则曲面上的对应点为．过点作曲面的切平面，并以小区域的边界曲线为准线，作母线平行于轴的柱面，它在曲面和切平面上分别截得小块曲面和小块切平面(如图11-26)．显然，与在面上的投影都是，因为的直径很小，所以小块曲面的面积就可以用小块切平面的面积近似代替，即有，从而为曲面的面积元素．
图11-26 图11-27
设曲面在点处的法向量与轴正向的夹角为锐角，则切平面与面的夹角也为 (如图11-27)，于是
．
注意到切平面的法向量为n =，所以
，
即得 ，
这就是曲面的面积元素，在上积分得曲面的面积为
.
如果曲面的方程为或，在面或面上的投影区域分别记为或．类似地，可得曲面的面积为
或 ．
例2 求球面被圆柱面截下部分的面积(如图11-28a)．
（a） （b）
解 利用对称性，只需求出球面在第一卦限部分的面积，再4倍即可．在第一卦限，球面方程为，投影区域为半圆形区域(图11-28b):， ．
，，.
利用极坐标，得
．
11.3.3 平面薄片的质心
质量中心简称质心，是指物质系统上被认为质量集中于此的一个点.在重力场中，质心和重心是同一个位置.由力学知识知道，由个质点构成的质点组的质心坐标为：
，，
其中是第i个质点的位置坐标，是第i个质点的质量，是个质点的总质量，和分别是质点组对x轴和y轴的静力矩．
设有一平面薄板，它占有面上的有界闭区域，在点处的面密度为，且在上连续，求薄片的质心坐标(如图11-25)．
为求薄片的重心坐标，在区域上任取一直径很小的小区域，设是上任一点，注意到在区域上连续且的直径很小，可知小区域上的质量近似等于，从而得质量元素为
． 图11-29
可将小薄片视为位于点处的一个质点，则小薄片对轴和轴的静力矩分别为
，． 　　　　　 　
将上述元素在上积分，即得
，，．
因此平面薄片的质心坐标为
，
特别地，如果薄片是均匀的，则面密度为常数，从而薄片的质心即为薄片占有的平
面图形的几何中心．只需在上式中令 (常数)，并用表示区域的面积，就可以推出几何中心坐标的计算公式
，
例3 设平面薄板由与x轴围成（图11-3011-30），它的面密度，求薄板的质心坐标.
解 先求区域D的面积A
由于区域关于直线对称，所以质心在上，即 ，
11.3.4 平面薄片的转动惯量
转动惯量是刚体围绕轴转动时惯性的度量.根据力学知识，由个质点构成的质点组对轴、轴和原点的转动惯量分别为
，，，
其中是第i个质点的位置坐标，是第i个质点的质量．
设一平面薄片占有面上的有界闭区域，点处的面密度为，且在上连续，求薄片对轴、轴和原点的转动惯量．
采用与前面类似的方法，可以得到薄片的相应转动惯量分别为
，，．
例4 求半径为的均匀半圆形薄片关于其对称轴的转动惯量．
解 选取如图11-31所示的坐标系，则所求转动惯量即为对轴的转动惯量．设面密度为常数，采用极坐标得
，
其中为薄片的质量． 图11-31
随堂练习
（1）求平面被椭圆柱面所截下的曲面面积.
（2）求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（密度）对于轴的转动惯量.
小结：
几何应用：曲面的面积
物理应用：重心、转动惯量、平面薄片对质点的引力
作业：
习题11.3 1、 2、 3.
图11-2
图11-3
图11-4
图11-5
图11-6
图11-7
图11-8
图11-10
图11-10
A
C
B
D
O
x
图11-11
O
A
x
y
C
B
D1
D2
图11-12
图11-13
图11-14
o
D1
D2
图11-15
图11-16
图11-17
图11-18
图11-21
图11-22
图11-23
图11-28
0
D
图11-30
方向导数
微视频

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