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项目四 导数的应用
任务4.1 微分中值定理
教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。
教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用.
授课时数：2课时
教学内容：
4.1.1 罗尔(Rolle)定理
实例1 图4-1中曲线弧是函数的图形．这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，即.现把过、的直线（显然平行于轴）向上或向下平行移动，会发现总可以到达该曲线上某个点（如图4-1中的点），使移动后的直线成为该点的切线．换言之，曲线在该点的切线平行于轴，即函数在该点的导数为0．
用严格的数学语言描述上述现象，即有下面的罗尔定理．
定理4.1.1 (罗尔定理) 如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在区间的端点处函数值相等，即，则至少存在一点，使得．
罗尔定理的几何意义：满足罗尔定理三个条件的函数曲线上至少存在一条水平切线.
【注意】罗尔定理的三个条件缺一不可，如果有一个不满足，罗尔定理不一定成立；满足的点并不一定是唯一的.
例1验证函数在区间上满足罗尔中值定理，并求出相应的点．
解 函数为初等函数，在闭区间上连续；导数在内存在，且，所以在上满足罗尔定理的条件．因此，在开区间内一定存在，使得.
令，解得，且，使.
课堂练习
1.不求函数的导数,判断方程有几个实根,并指出根存在的区间范围？
【注意】罗尔定理的实质是方程根的存在性定理，它指出在定理的条件下，方程在内必有根．
4.1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理
罗尔中值定理中这个条件相当特殊，这使得罗尔中值定理的应用受到了很大限制．如果把这个条件取消，仍保留其余两个条件，那么就得到了拉格朗日中值定理.
实例2 图4-2中曲线弧是把实例1中的曲线弧旋转一定的角度所得，即这时两端点处的函数值不再相等，即.可以看出当把该直线向上或向下平行移动时，动直线总会到达该曲线上的某个点（如图4-2中的点），使其成为该点的切线，即曲线在该点的切线平行于弦．
若记点的横坐标为，则曲线在点处切线的斜率为，而弦的斜率为
．因此，.于是有下面的定理：
定理4-2 (拉格朗日中值定理) 设函数满足在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得
（4.1）
或
　　 （4.2）
　 式(4.1)的右端是弦的斜率，左端是曲线在点处的切线斜率，因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果在闭区间上连续的一条曲线弧除端点外处处具有不垂直于轴的切线，则在曲线上至少存在一点，使得曲线在点处的切线平行于连接曲线两端点的弦．
在拉格朗日中值定理中，如果附加条件，则式(4.1)变为，即定理4-2转化为罗尔定理．因此拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．
设，在以与为端点的闭区间上应用拉格朗日中值定理，得
．
即　　　　　　　　　
（介于与之间） 　 （4.3）
将公式(4.3)与近似公式相比较可以看出，函数的微分只是函数增量的近似表达式，当为有限时其误差一般不为零；而式(4.3)是当为有限时增量的精确表达式．所以该定理又叫作有限增量定理，也叫做微分中值定理．
拉格朗日中值定理是微分学的一个基本定理，在理论和应用上都有很重要的价值，它建立了函数在一个区间上的改变量和函数在这个区间内某点处的导数之间的联系，从而使我们有可能用某点处的导数去研究函数在区间上的性态．
利用拉格朗日中值定理容易得以下结论：
【推论1】若函数在区间上的导数恒为零，则在区间上是一个常数．
【推论2】若对区间上的任一点，都有，则和在上最多相差一个常数，即，其中为常数．
例2 证明恒等式．
证明 设，则在内可导，且有
所以在内为常数，又在上连续，故在上为常数，即
.
令，得，故
.
课堂练习
2. 证明 当，且时，．
3. 证明 当时，．
4.1.3 柯西中值定理
定理4-3 (柯西中值定理) 设函数与均在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则在内至少存在一点，使得
　　 　　　　　（4.4）
在这个定理中，若取，，于是式(4.4)退变为
．
这就是拉格朗日中值定理，可见拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广．
综上所述，罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三者关系如图4-3.
小结：
罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广; 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.
注意中值定理成立的条件.
作业：
习题4.1 1、2、3、4.
任务4.2 洛必达法则
教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求型和型以及型未定式的极限的方法; 了解型极限的求法.
教学重点：洛必达法则.
教学难点：理解洛必达法则失效的情况, 型的极限的求法.
授课时数：2课时
教学内容：
4.2.1 “”型或“”型未定式的极限
在的某个变化过程中，如果两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么，极限可能存在，也可能不存在.这类“”型或“”型未定式极限不能直接用商式极限运算法则计算．实证分析表明建立在柯西中值定理基础上的洛必达法则是求这类极限的一种有效方法．
定理4-4 (洛必达法则) 如果函数与满足条件：
（1）；
（2）在点的某去心邻域内可导，且；
（3）存在（或无穷大）
那么 ．
上述定理4-4中若将两个无穷小改成两个无穷大，即，其它条件不变，则结论仍成立.
【注意】如果仍为“”或“”型未定式，且与满足定理4-4中与所满足的条件，则可继续使用洛必达法则，依此类推，即
．
例1 求下列函数的极限:
（1）；（2）；（3）；（4）.
解（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【注意】只要是“”或“”未定型就可以一直使用洛必达法则，但上式中
已经不是“”型未定式，不能继续使用洛必达法则，否则会导致错误的结果.
例2 求下列函数的极限:
（1）；（2）；（3）（为正整数）；（4）.
解（1）；
（2）；
（3）.
（4）（既不是型，也不是，不能用洛必达法则，宜采用直接代入法）.
随堂练习
1求下列极限．
（1）；　　　　　　　　（2）；
（3）；　　　　　　　　　　 　（4）；
4.2.2 其它未定式的极限
除了上述“”和“”型未定式外，还有“”，“”，“”,“”,“”等五种未定式型．一般总可将其化为“”型或“”型未定式，然后再应用洛必达法则．
例3求下列极限．
（1）；　　　　　（2）；
（3）；　　　　　 　　 （4）；
（5）；　　　　　　　　 　 （6）．
解（1）
．
（2）．
（3）；
（4）
　　　　 ；
（5）这是“”型未定式，设，两边取对数，得
．
再取极限　 　（）
　　　　　　　 　．
所以　　　　　　．
(6)
【注意】①在使用洛必达法则求极限时必须检查是否属于“”型或“”型未定式；
②在使用洛必达法则求极限时要善于与其他求极限的方法相结合，如：等价无穷小代换、重要极限、非零极限值的因子用其极限值代替、分子(分母)有理化、分子与分母同除以分子与分母的最高次、约分等，这样可使运算更简捷．
【注意】洛必达法则的条件是充分条件而不是必要条件，遇到不存在且不为无穷大时，并不能判定也不存在，这时我们只能用其它方法求极限．
例如，不存在，且不为无穷大，洛必达法则失效，而事实上．
随堂练习
2 求下列极限
（1） ； （2）； （3）；
（4） ； （5）； （6）.
小结：
1． 洛必达法则是求型和型未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能使用.因此在实际运算时，每使用一次洛必达法，必须判断一次条件.
2． 将等价无穷小代换等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用，可简化计算.
3． 洛必达法则是充分条件，当条件不满足时，未定式的极限需要用其他方法求，但不能说此未定式的极限不存在.
4． 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.
作业：
习题4.2 1、2.
任务4.3 函数的单调性与极值
教学目的：理解函数的单调性和函数极值的概念，会求函数的单调区间和函数的极值。
教学重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性求函数极值的方法。
教学难点：导数不存在的连续点、也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分界点。
授课时数： 2课时
教学内容：
4.3.1　函数单调性的判定
我们从函数图形入手进行分析.如图4-4所示，如果函数在区间上单调增加（或减小），则它的图形是一条沿轴正向上升（或下降）的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非垂直的切线（即函数在区间上可导），则曲线上各点处的切线斜率都是正的（或负的），即（或）.反过来，能否用导数的正负来判定函数的单调性呢？回答是肯定的.下面给出单调性的判定定理.
定理4-5 设函数在上连续，在内可导，则有
（1）如果函数在内（等号仅在有限多个点处成立），那么函数在上单调增加．（也称区间为的单调增加区间）；
（2）如果函数在内（等号仅在有限多个点处成立），那么函数在上单调减少．（也称区间为的单调减少区间）．
【注意】（1）在区间内个别点处导数等于零，不影响函数的单调性.如幂函数，其导数在原点处值为0，但它在其定义域内是单调递增的.
（2）如果把判定定理中的闭区间换成其他区间（包括无穷区间），那么结论仍然成立.
例1 判断函数的单调性.
解 函数的定义域，求导数，得，所以函数在其定义域内是单调递增的.
这里指出，我们经常会遇到讨论函数单调性的问题，对这类问题的解答就是在函数定义域内找出函数的所有增区间和所有减区间，即单调区间.如何找单调区间的划分点呢？或者说单调区间的划分点分布在哪些点上呢？如图4-5所示，图中函数共有6个单调区间，
在、和上单调递增，在、和单调递减.是函数单调区间的划分点，在这些划分点中除外，它们都是可导点（光滑点），对应在曲线上有水平切线，故切线斜率等于0，由导数几何意义知.是“尖点”，即在该点不可导，对应在曲线上无水平切线.由此可知单调区间的划分点分布在导数为零的点（今后将导数为零的点称作“驻点”）或不可导点上.
因此得到判断函数单调性的步骤如下：
（1）确定函数的定义域；
（2）求出使的点（驻点）和不存在的点（不可导点）；
（3）用求得的驻点和不可导点将函数的定义域划分成若干个子区间，在每个子区间上确定一阶导数的正负号，从而确定出的单调区间；
（4）最后给出结论（在哪些区间上递增，在哪些区间递减）．
例2 讨论函数的单调性．
解 函数的定义域为，且．
令，得驻点（多项式函数没有不可导点）．列表讨论如下：
↗ ↘ ↗
表中“↗”表示单调增加，“↘”表示单调减少，以后相同．
因此，在和上均单调增加，在上单调减少．
例3 求函数的单调区间．
解 该函数的定义域为，且.令，得驻点.因为不存在，所以是的不可导点.
列表讨论如下： -1 （-1，1） 1
+ 不存在 － 0 +
↗ ↘ ↗
由上表可知，的单调减少区间为，单调增加区间为和．
利用函数的单调性可以证明一些不等式．
例4 证明　当时，不等式成立．
证明 设，则．
当时，，故函数单调增加，因此有
，即，
从而有当时，．
【注意】运用函数的单调性证明不等式的关键在于构造适当的辅助函数，然后研究它在指定区间内的单调性．
随堂练习
1.讨论函数的单调性.
2.讨论函数的单调性
4.3.2 函数的极值及其求法
在实际生产和工程中，经常会遇到在一定条件下，如何使“成本最低”、“用料最少”、“能耗最小”等问题.这类问题在数学上往往可以归结为求某一函数（称为目标函数）在某个区间内的最大值或最小值的问题，这其中有相当一部分问题与函数的极值有关.下面先介绍函数极值的概念，函数的最值问题将放在后续学习任务中讨论.
1.函数的极值
如图4-6所示，函数在点，处的函数值，比其左右两边邻近
点处的函数值都大；而在点，处的函数值,比其左右两边邻近点处的函数值都小.对于这种特殊点及其对应的函数值，我们给出如下定义.
定义4-1 设函数在点的某邻域内有定义，如果
对此邻域内任意一点都有（或），
则称是函数的一个极大值(或极小值)，点称为函数
的极大值点(或极小值点)．极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点．
图4-6中的点和是函数的极大值点，和为的极大值；点和是函数的极小值点，和是的极小值.
【注意】①极值只是一个局部概念，它仅是与极值点邻近的函数值比较而言较大或较小，而不是在整个区间上的最大值或最小值.函数的极值点一定出现在区间的内部，在区间的端点处不定义极值；②函数的极大值与极小值可能有很多个，极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小；③函数在可导极值点处有水平切线，不可导点（“尖点”）也有可能是极值点.
2.函数极值的判定
从图4-6可以看出，曲线在可导点，，取得极值处的切线都是水平的，故有，，.尽管，但并不是极值点.为极小值点，但函数在点处不可导，对此，我们给出函数存在极值的必要条件.
定理4-6 (极值存在的必要条件)设函数在点处可导，且在处取得极值，那么（即为函数的驻点）．
【注意】①可导函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点.例如，点是函数的驻点，但不是极值点（因为，所以函数在定义域内单调递增，增函数或减函数没有极值点）；②导数不存在的点也有可能是极值点.例如，函数在处不可导，但是该函数的极小值点.
由以上分析可知，函数的极值点包含于它的驻点及不可导点之中，那么怎样从这些点中筛选出极值点呢？通常可用下面的两个充分条件来判定．
定理4-7 (极值判定第一充分条件) 设函数在点的某个邻域内连续、可导（点可以除外）.
（1）若在点的左侧邻近有，在点的右侧邻近有，则函数在点处取得极大值；
(2) 若在点的左侧邻近有，在点的右侧邻近有，则函数在点处取得极小值；
(3) 若在点的左右邻近具有相同的符号，则函数在点处无极值．
一般地，求函数的极值的步骤为：
1）确定函数的定义域，并求其导数；
2） 求出使和不存在的点，即求出定义域内所有的驻点与不可导点；
3）利用极值的第一充分条件判别驻点和不可导点是否为极值点,并求出极大(小)值；
4）给出结论．
例5 求函数的极值．
解 该函数的定义域为，且
令，得驻点，.
列表讨论如下
-2 （-2，0） 0
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由以上讨论知，函数的极大值为，极小值为.
例6 求函数的极值．
解 该函数的定义域为，且 .
令，得驻点.因为不存在，所以是的不可导点.列表讨论如下：
2
+ 0 - 不存在 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由以上讨论知，函数的极大值为，极小值为.
从上两例看出，求函数的极值和讨论函数的的单调性可同时进行.
若可导函数在驻点处具有不为零的二阶导数，则有极值判定的第二充分条件．
定理4-8 (极值判定第二充分条件) 设函数在点处具有二阶导数，且，则
（1）当时，函数在点处取得极大值；
（2）当时，函数在点处取得极小值；
（3）当时，不能确定是否为的极值点.
说明一点：关于定理4-8的证明要用到函数的凹凸性，在此略去.
例7 求函数的极值.
解 该函数的定义域为，且，.
令，解得，，.
，所以为函数的极小值；
，所以为函数的极大值；
，所以为函数的极小值.
随堂练习
3. 求函数的极值．
4. 求函数的极值.
小结：
1.用导数符号判断函数单调性
2.极值是函数的局部性概念，因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
3.驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点处取得.
4.极值的判别法 要注意使用条件
作业：
习题4.3 1、 2、 3.
任务4.4 函数的最值和最优化模型
教学目的：理解函数最值的概念，掌握函数最大值、最小值的求法及其简单应用。
教学重点：函数的最值概念、函数最值和极值的区别。
教学难点：函数最值的概念
教学时数: 2学时
教学内容：
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14、
生产实践中常会通遇到“最大”“最小”最省”等问题. 例如厂家生产一种一定容量的圆柱形杯子，要考虑杯子的直径和高取多少时，用料最省；又如在销售某种商品时，怎样确定零售价才能使商品售出最多、获得利润最大等. 这类问题在数学上叫作最大值、最小值问题，简称最值问题.
定义4-2 （最值）设函数在数集上有定义，，对于上的任意一点，若都有（1），则在点处取得最大值，称为最大值点；（2），则在点处取得最小值，称为最小值点. 最大值与最小值统称为最值，最大值点与最小值点统称为最值点.
【注意】函数的最值有如下特点：①函数的最值是在整个定义域上讨论的，是总体概念，这一点与极值是局部概念不同；②函数的最值唯一，但最值点可能不唯一，而极值通常不唯一；③函数的最值可在区间内取得，也可在端点处取得；④函数的最大值不会小于最小值，而极大值可能小于极小值.
4.4.1有界区间上连续函数的最值
设函数在闭区间上连续，由闭区间上连续函数的性质可知，在闭区上一定有最大值和最小值.
如图4-7所示，函数的最值只可能在驻点，不可导点及端点处取得.于是，只须比较这三种点上的函数值的大小，即可求出函数的最值.
求闭区间上连续函数最值的基本步骤：
1）求出函数在区间所有可能的极值点（驻点或不可导点）；
2）计算函数在驻点、不可导点和端点处的函数值；
3）比较这些函数值的大小，其中最大者为函数在的最大值，最小者为函数在的最小值．
例1求函数在上的最大值和最小值．
解 因为在 上连续，所以函数在该区间上存在着最大值和最小值.
第一步：求驻点和不可导点.令
，得函数在内的驻点，；
第二步：求驻点与区间两个端点处的函数值；
，，，；
第三步：比较各值的大小，得，.
特别地，若函数在区间上单调递增（或单调递减），则函数必在区间的两个端点处取得最大值和最小值；当连续函数在上有唯一极值点时，如果是极大值（或极小值），则它必是函数在上的最大值（或最小值），无须再与端点函数值作比较.这个结论对于区间及的情况也成立.
例2求函数在定义区间上的最值．
解 易得令，得函数的驻点.
当时 ，，函数单调增加；当时，，函数单调减少.故当时，函数取得最大值.
随堂练习
1.求函数在的最大值和最小值.
4.4.2 最优问题——专业应用案例
利用函数的最值来解决实际问题，可按如下几个步骤进行：
（1）据实际问题列出函数表达式及它的定义区间；
（2）求出该函数在定义区间上的可能极值点(驻点和一阶导数不存在的点)；
（3）通过比较，确定函数在可能极值点处是否取得最值．
如果实际问题在所论区间内存在最大值（或最小值），且函数在该区间内只有一个极值点（驻点或不可导点），那么该实际问题的最大值（或最小值），就是.
1.几何领域——最大体积
例3试求单位球的内接圆锥体体积最大者的高（图4-8），并求此体积的最大值．
解　设球心到锥底面的垂线长为，则圆锥的高为，
圆锥面底面半径为，圆锥体积为
．
由，得驻点和（不符合题意，舍去）．
在所求区间上，驻点唯一，故是函数的最大值点，是函数的最大值．于是最大的体积为，此时的高为．
例4 如图4-9所示，将一块边长为的正方形铁皮，从每个角截去同样的小正方形，然后把四边折起来，成为一个无盖的方盒，为使其容积最大，问截去的小正方形的边长为多少？
解 设截去的小正方形的边长为，则方盒的容积为
．
．
令，得驻点（不合题意舍去）和．由于在内只有一个驻点，且盒子的最大容积是存在的，所以当时，取得最大值，即方盒的容积最大．
例5欲制造一个容积为的圆柱体易拉罐，如何设计可使用料最省？
解 设易拉罐的高为，底圆半径为，则所需材料（表面积）为
依题意 ，则 ，代入上式得
，
这样，就归结为求函数在区间上的最小值问题.
求得 ，再令得唯一驻点，此时.因此，当底半径，时用料最省．
2.电学领域——最大输出功率
例6 设在电路中，电源电动势为,内阻为(均为常数)，问负载电阻多大时，输出功率最大？
解 消耗在电阻上的功率,其中是回路中的电流，由欧姆定律知，所以.要使最大，应使,即，得.此时，.
由于此闭合电路的最大输出功率一定存在，且在内取得，所以必在的唯一驻点处取得.因此，当时，输出功率最大为.
3. 经济领域——利润最大问题
例7 某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元. 已知该厂在制造电子元件过程中次品率与日产量的函数关系是.
（1）求该厂的日盈利额(元)用日产量(件)表示的函数.
（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
解 由题意可知，次品率日产次品数/日产量，设每天生产件，次品数为，正品数为，又，故
.
由于，令,得(舍去)，而当时，；当时，；所以当时，取最大值，即该厂的日产量定为件时，能获取最大盈利.
4. 经济领域——费用最省问题
例8 商品成本为元，售价为元，每星期卖出件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位：元，)的平方成正比.已知商品单价降低元时，一星期多卖出件.
（1）求一个星期的商品销售利润函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
分析 商品销售利润是根据卖出的件数与实际售价共同决定的，由于每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值的平方成正比，合理降价，可促进销量. 因此必然存在一种售价能使商品销售利润最大.
解 设商品降价元，则多卖的商品数为. 若记商品一个星期的获利为，则依题意有
.
又由已知条件知，所以，于是有
.
令得或.
因为，，，，所以定价为元时能使一个星期的商品销售利润最大.
小结：
1.最值是函数的全局性概念.
2.函数最值有可能在函数极值点及端点处取到。
3.注意最值与极值的区别.
作业：
习题4.4 1、 2、 3、 4.
任务4.5 曲线的凹凸性及函数图像的描绘
教学目的：复习利用导数判断函数单调性、极值的求法、利用导数判断函数图形的凹凸性、函数图形拐点的求法及水平、铅直渐近线和斜渐近线的求法。会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形，培养学生运用微分学综合知识的能力.
教学重点：利用导数判断函数图形的凹凸性，描绘函数的图形.
教学难点：利用导数判断函数图形的凹凸性.
教学时数: 2学时
教学内容：
4.5.1 曲线的凹凸定义和判定法
问题导入：如果函数在闭区间上连续且单调递增，在开区间内可导，在区间端点的值分别为,，那么函数在区间上的图形大体有有几种情形呢？
分析:由于不知道函数曲线在区间上的弯曲方向，所以函数曲线至少有四种情形，如图4-12所示.
由此可见，要准确地描绘函数的图形，不仅要知道该函数的单调性、极值等，还要知道曲线的弯曲方向以及不同弯曲方向的分界点．为此给出以下定义：
定义4-3 若在某区间内，曲线弧总位于其上每一点处切线的上方，则称曲线弧段为凹曲线，或称在内是向上凹的(简称凹的)；若曲线弧总位于其上每一点处切线的下方，则称此曲线弧段是凸曲线，或称在内是向下凹的(也称凸的)．
如何判定曲线在区间上是凹还是凸呢？
从图4-13中可以看出，当曲线弧是凹曲线时，其切线的斜率是随着增加而逐渐增加，即函数是增函数；当曲线弧是凸曲线时，其切线的斜率随着的增加而逐渐减少，即函数是减函数.根据函数单调性的判定方法，有如下定理.．
定理4-9(曲线凹凸的判别法)设函数在内具有二阶导数，则
（1） 若在内 ，则曲线在内是凹的；
（2） 若在内，则曲线在内是凸的．
例1判定曲线的凹凸性.
解 所给函数的定义域为，因为，，因此，曲线在其定义域为内是凹的.
例2判定曲线的凹凸性．
解 函数的定义域为，．
当时，，故曲线是凸的；
当时，，故曲线是凹的．
例2中点是曲线由凸变凹的分界点.对于这样的点，我们给出下面的定义：
定义4-4 连续曲线的凹弧与凸弧的分界点，称为曲线的拐点．
【注意】由曲线拐点的定义可知，如果在某点两侧的区间内，函数二阶导数的符号相反，那么该点就是拐点；否则，该点就不是拐点.
另外指出，曲线拐点的横坐标只可能是使的点或不存在的点．从而可得判断曲线凹凸与求拐点的方法步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求出、，找出使的点及不存在的点；
（3）用上述各点把函数的定义域分成若干个子区间，再在各子区间内考察的符号，从而判定曲线在各小区间的凹凸及曲线的拐点，并写出最后的结论．
例3 求曲线的拐点及凹凸区间．
解 该函数的定义域为，且
．
令，得．列表讨论如下：
凹 拐点 凸 拐点 凹
所以曲线在, 内是凹的，在内是凸的，点和是曲线的拐点．
随堂练习
1. 求曲线 的拐点，并指出其凹凸区间．
2. 求曲线的凹凸区间及其拐点.
4.5.2 曲线的渐近线
当曲线上的一动点沿着曲线移向无穷远时，如果点到某定直线的距离趋向于零，那么直线就称为曲线的一条渐近线. 渐近线描述了曲线无限延伸时的走向和趋势．渐近线分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线.下面给出三种渐近线的定义.
定义4-5 对于曲线，如果，则称直线为曲线的一条垂直渐近线．
定义4-6设曲线的定义域是无穷区间，如果或，则称直线为曲线的一条水平渐近线．
定义4-7 设曲线的定义域是无穷区间，如果（存在），（存在），则称直线为曲线的一条斜渐近线.
例如，因为，所以直线是曲线的一条垂直渐近线．
因为，所以曲线有两条水平渐近线和．
例4 求曲线（）的垂直渐近线和斜渐近线．
解 因为，所以是曲线的一条垂直渐近线；
又因为，而，所以是曲线的一条斜渐近线.
4.5.3 函数图形的描绘
函数的图形有助于直观地了解函数的性态，所以研究函数图形的描绘方法很有必要．为了更准确、更全面地描绘平面曲线，必须确定出反映曲线主要特征的点与线．我们知道，利用函数的一阶导数可以确定函数图形的单调性；利用函数的二阶导数可以确定函数图形的凹凸区间和拐点；利用渐进线，可使我们对函数图形无限远部分的趋势有所了解；通过考察函数的奇偶性及周期性等几何特征以及某些特殊点的坐标，就可以比较全面地掌握函数的性态，这样就可较准确地描绘出函数的几何图形．综上，可以得出描绘函数图形的一般步骤如下：
（1） 确定函数的定义域与值域；
（2） 考察函数的奇偶性及周期性；
（3）求出与，找出使与的点及与不存在的点；
（4） 列表讨论函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点；
（5）考察曲线的渐近线；
（6）考察某些特殊点的坐标，如曲线与坐标轴的交点、极值点、拐点等；
（7）用光滑的曲线描绘出函数的图形．
例5 描绘函数的图形．
解 该函数的定义域为，且
．
令，得驻点；令，得．由于使和不存在的点不在定义区间内部，所以不予考虑．列表讨论单调性与极值、凹凸性与拐点如下：
↘ 凸 拐点 ↘ 凹 极小值 ↗ 凹 间断 ↘ 凹
因为，所以是水平渐近线．又因，故是垂直渐近线．
描出几个点，极小值点为，拐点为，与坐标轴
的交点为，．
根据以上讨论作出函数的图形，如图4-14所示．
随堂练习
3描绘函数的图形.
小结：
掌握函数最大值、最小值的求法及其在实际问题中的应用.
作业：
习题 4.5.
图4-1
图4-2
罗尔
中值定理
拉格朗日
中值定理
柯西
中值定理
图4-3
图4-4
图4-6
图4-7
图4-8
图4-9
图4-12
图4-13
图4-14

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