资源简介

1.1 函数
教学目的：1. 理解集合的概念、掌握函数有关概念
2.掌握函数的三要素，会求函数的定义域
3.学会建立函数关系
教学内容：1.变量及其变化范围
2. 区间与邻域
3. 函数的概念
4. 反函数
教学重点：函数的概念
教学难点：函数的关系
教 具：多媒体课件
教学方法：精讲：重点讲清函数的有关概念，函数的三要素，求函数的定义域及如何求反函数.
多练：在讲授后，通过练习、讨论、答疑帮助学生理解。
教学过程：
一、引入新课：
【案例·个人所得税问题】 根据2018年8月31日第十三届全国人民代表大会常务委员会第五次会议《关于修改〈中华人民共和国个人所得税法〉的决定》第七次修正），关于修改个人所得税法的决定通过，起征点每月5000元，2018年10月1日起实施最新起征点和税率，自2019年1月1日起施行.个人所得税税率如表1-1所示.
表1-1 个人所得税税率表（工资、薪金所得）
级数 全月应纳税所得额（超出5000元的数额） 税率/%
1 不超过3000元的部分 3
2 超过3000元至12000元的部分 10
3 超过12000元至25000元的部分 20
4 超过25000元至35000元的部分 25
5 超过35000元至55000元的部分 30
6 超过55000元至80000元的部分 35
7 超过80000元的部分 45
（1） 求应纳税函数；
（2） 若刘先生2020年12月收入为38000元（已扣除了社会保险、医疗保险、住房公积金等），则刘先生12月应纳税多少？
二、教学内容：
1．变量及其变化范围
常量：是在我们所考察的过程中保持不变的量.
变量:是在考察变化过程中会起变化的量.
变量的变化范围，也就是变量的取值范围，也称为数的集合.
集合:满足某种确定性质的对象的全体称为集合.集合中的每一个对象称作该集合的元素.通常，用大写拉丁字母表示集合，用小写拉丁字母表示集合中的元素. 通常集合可按如下形式表示：设是具有某种特性的元素的全体组成集合，可记作
所具有的特性
集合的表示形式：列举法、描述法、图示法.
例如：不小于0且不超过5的整数构成的集合用列举法可表示为,用描述法可表示为；平面上的所有点构成的集合可表示为(描述法)，此集合不能用列举法表示.
2.区间与邻域
变量的变化范围，往往用区间表示，区间是一种特殊数集的表示形式（它可以是数轴上的线段、射线或直线），以后经常会遇到用区间表示数集.如：
，即全体实数.
，即满足的全体实数的集合.
=，即满足的全体实数构成的集合等等.
邻域:设，，实数集合称为点的邻域，记作．由于不等式
，所以邻域
实质上表示以点为中心，长度为的开区间(如图1-1)，即
其中将称为邻域中心，将称为邻域半径．有时我们还要用到去掉中心的邻域，叫做去心邻域．把点的去心邻域记作，即
．
此外，我们还常用到以下两种邻域：
点的右半邻域 ；
点的左半邻域 .
3．函数的概念
定义1-1 设和是两个变量，是给定的一个数集.如果对于每个，变量按照一定的法则 总有唯一确定的数值与之对应，则称变量是变量的函数，记作
.其中变量称为自变量，变量称为因变量.给定的集合称为函数的定义域，因变量的取值范围
称为函数的值域.
当的取值为时，则通过法则，函数有唯一确定的值与之相对应，称为函数在处的函数值，记作.
【注意】函数实质上是由其定义域和对应法则所确定．通常称函数的定义域、对应法则和值域称为函数的三要素，而函数的值域一般称为派生要素．只要函数的定义域相同，对应法则也相同，它们就是相同的函数，而与变量用什么字母或符号表示无关．反之，如果函数的两个要素不同，就称它们为不同的函数．
例1设,求、及.
解 分别用2，(即)替代中的得
，
，
.
例2 求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （2）
解 （1）定义域为.
（2）定义域为.
（3）定义域为.
随堂练习
（1）求下列不等式的解集：
①；②；③.
（2）求下列函数的定义域
①；②；③；
④.
例3 判断下列函数是否是相同的函数：
（1）与； （2）与；
（3）与； （4）与；
（5）与； （6）与．
4.反函数
定义1-2 设函数，定义域为，值域为.如果对于中的每一个值，都由确定唯一的值与之对应，这样就确定了一个以为自变量的函数，该函数称为函数的反函数，记作.为了习惯（以为自变量），互换,得反函数，定义域为，值域为.
对函数（），如果自变量的取值不同，对应的函数值也不同时，则称这类函数为一一对应函数，只有这类函数才有反函数。事实上，反函数是原函数的值域到定义域上的一种反对应。原函数与反函数的对应关系可用图1-2所示的例子反映.
图1-2
随堂练习
（1）求列函数的反函数：
①；②；③。
（2）求（1）中反函数的定义域和值域.
（3） 王先生到郊外去观景，以2km/h的速度匀速步行一小时后，他发现一骑车人
的自行车坏了，便花一小时帮这个人把车修好，随后加快速度，以3km/h的速度匀速步行一小时到达终点，然后立即以匀速折返，耗时两小时返回到出发点．请把王先生离家的距离关于时间的函数用图像法描绘出来．
二、小结：
1.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号)的含义；了解函数构成的三要素；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 .
2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.
三、作业：P20 一8、11 二1、3
1.2函数的几种特性
教学目的：1.掌握函数的几种性质，会判断函数的单调性、奇偶性
2.掌握复合函数复合、分解的过程
教学内容：1.函数的性质
2. 复合函数
教学重点：函数的性质
教学难点：复合函数
教 具：多媒体课件
教学方法：精讲：重点讲清函数的性质，复合函数的复合、分解过程。
多练：在讲授后，通过练习、讨论、答疑帮助学生理解。
教学过程：
1、 复习函数的概念
2、 教学内容
一、函数的几种特性
1函数的有界性
定义1-3 设为函数的定义域.如果存在某一正数，使得对，都有，则称函数在内有界.如果找不到这样的正数，则称在内无界.
例如，函数在上有界，因为对任意的，恒有；同样，函数在上有界.而函数在区间 内无界，但在区间内有界(可通过图像观察）．另外， 当时，，因此，函数在区间上无界(可通过图像观察）.
2 函数的奇偶性
定义1-4 设函数的定义域关于原点对称，如果对任一，恒有：
（1），则称为奇函数；
（2），则称为偶函数.
例 判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；（3）.
解:（1），故是偶函数.
（2），故为奇函数.
（3），既不等于又不等于，所以该函数为非奇非偶函数.
3 函数的单调性
定义1-5 设函数的定义域为，区间.若对，，当时，总有（或成立，则称函数在上单调增加（或单调减少）.
如果函数在某个区间上是单调增加（或单调减少），就说函数在这一区间上具有单调性，函数称为单调函数，这个区间称为函数的单调区间.
显然，单调增加函数是图像沿轴正向是逐渐上升的（如图1-1）；单调减少函数的图像沿轴正向是逐渐下降的（如图1-2）.
图1-1 图1-2
例如，与在内是单调递增函数；在内单调递减，在内单调递增，所以在内函数不是单调函数．
4 函数的周期性
定义1-6 设函数的定义域为，如果存在一个正数,使得对于且，都有，则称为周期函数，称为的周期.
通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期．
例如：数学中的正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数都是周期函数.其中、是以2π为周期的周期函数；、是以π为周期的周期函数．
【注意】 周期函数的定义域为无限（无穷）区间。显然图1-3中的函数是一个周期函数，且周期为1，于是有.
图1-3
二、复合函数
定义1-6 设，，若有意义，则称为函数，复合而成的复合函数，称为中间变量.
对于，是内层函数，是外层函数.
例 将下列各函数表示成的复合函数：
，，；（2），，.
解：（1），即.
（2）即.
例 将下列复合函分解：
（1）； （2）； （3）
解:（1），，；（2），，；
（3），，.
三、小结：1.掌握函数的几种性质：有界性、奇偶性、单调性、周期性。
2. 会判断函数的单调性、奇偶性。
3.掌握复合函数复合、分解过程。
四、作业：P20 二2.
1.3 初等函数
教学目的：1.掌握基本初等函数的性质
2.掌握初等函数的概念
教学内容：1.基本初等函数
2.初等函数
3.函数的应用
教学重点：基本初等函数
教学难点：函数的应用
教 具：多媒体课件
教学方法：精讲：重点讲清基本初等函数的性质，初等函数的概念。
多练：在讲授后，通过练习、讨论、答疑帮助学生理解。
教学过程：
一、基本初等函数及性质
定义1-7 常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数六大类函数称为基本初等函数.
1.常量函数.
2.幂函数：.
3.指数函数：.
4.对数函数：().
5.三角函数：.
反三角函数是三角函数的反函数.众所周知，三角函数是周期函数（非一一对应函数），因此三角函数在其自然定义域内无反函数，但在其自然定义域的局部范围内单调递增或单调递减（单调增函数和单调减函数是一一对应函数），所以存在反函数.
6.反函数
6.1反正弦函数
由图1-15知在上单调递增，具有反函数。如何求呢？只能引入特定符号“”表示被解出，即，互换后得到反正弦函数.
【注意】反正弦函数的定义域和值域是原函数的值域和定义域，即在中，.反正弦函数图像如图1-16所示.
图1-15 图1-16
6.2反余弦函数
由图1-17知在上单调递减，所以是一一对应函数，具有反函数。如何求呢？只能引入特定符号“”表示被解出，即，互换后得到反余弦函数.
【注意】反余弦函数的定义域和值域是原函数的值域和定义域，即在中，.反余弦函数图像如图1-18所示.
图1-17 图1-18
6.3反正切函数
由图1-19知在上单调递增，所以是一一对应函数，具有反函数。如何求呢？只能引入特定符号“”表示被解出，即，互换后得到反正切函数.
【注意】反正切函数的定义域和值域是原函数的值域和定义域，即在中，.反正切函数的图形见图1-20.
图1-19 图1-20
6.4反余切函数
由图1-21知在上单调递减，所以是一一对应函数，具有反函数.如何求呢？只能引入特定符号“”表示被解出，即，互换后得到反余切函数.因为，，所以，.
【注意】反余切函数的定义域和值域是原函数的值域和定义域，即在中，.反余切函数的图形见图1-22.
图1-21 图1-22
二、初等函数
定义1-8 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合所构成的并且可以用一个式子表示的函数，称为初等函数.
例如，、及是初等函数。
【注意】 初等函数的特点是在定义域上解析式统一. 因此分段函数大多数不是初等函数，例如函数就不是初等函数。下面的分段函数是初等函数：
该分段函数的解析式可化成，所以是初等函数.
随堂练习
1. 试比较下列两组数的大小（在横线上填上“>”或“<”）
① ；② ； ③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ .
2.求下列不等式的解集
①；②；③；④.
三、综合应用实训
【案例解答】
解：（1）设工资，薪金所得为元，由于1-1可得
（1）（2） 刘先生2020年12月收入为38000元，而则刘先生12月应纳税为元.
实训1 某人在一山坡处观看对面崖顶上的一座铁塔．如图1-23所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖直线，塔高（），山高（），（），图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平地面的夹
角为，．试问，此人距山崖的水平距离多
远时，观看塔的视角最大（不计此人的身高）？
实训2 某工厂有216名工人接受了生产1000台G型高科技产品的总任务．已知每台G型产品由4个A型装置和3个B型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个A型装置或3个B型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工A型装置的工人有人，他们加工完A型装置所需时间为，其余工人加工完B型装置所需时间为（单位：小时）．
（1）写出和解析式；
（2）比较与的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间的解析式；
（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
四、小结：1.基本初等函数的性质。
2. 初等函数。
五、作业：P21 三，四.
图1-1
图1-23

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