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项目五 不定积分
任务5.1 不定积分的概念
教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质
教学重点：原函数与不定积分的概念
教学难点：原函数的求法
授课时数：2学时
教学内容：
5.1.1 原函数与不定积分的概念
引例1 已知一个作变速运动的物体在时刻的速度为，且它在时，经过的路程为3，求此物体的运动方程（或称路程函数）.
分析：在微分学中我们解决的问题是已知路程函数，求速度；而该问题与之相反，已知速度，求路程函数.因为，故前者是求函数的导数，后者是求导运算的逆运算. 由于，所以，其中，是任意常数.因为 时，，所以 ，即此物体的运动方程为.
引例2在括号内填入适当的函数，使等式成立.
（1）； （2）.
分析：由微分定义知，相比较，便知这是一个已知未知函数的微分，求未知函数的问题.
解 （1）因为,所以括号内的函数应填入.即
；
（2）因为 ， 所以 .
引例2说明，已知未知函数的微分，求未知函数的问题可化归为已知未知函数的导数，求未知函数的问题，属于微分运算的逆运算.引例2这类题型叫凑微分，今后将上述两例中所求得的函数叫作已知函数的原函数.下面给出原函数定义.
定义5-1 若在区间I上，可导函数的导函数为，即对任意x∈I，都有
，
那么称函数为在区间上的一个原函数．
定理5-1（原函数存在定理）如果区间上连续，则在内的原函数一定存在.
例如，在内,, 故是的一个原函数.又如 , , , 故均是的原函数.
从上面的例子可知，如果某函数有一个原函数，那么它就有无限多个原函数（即原函数不唯一），并且任意两个原函数之间只相差一个常数.因此，对一般情况，有下面的定理.
定理5-2 （原函数族定理）如果是在内的一个原函数，则就是在内的全体原函数（称为原函数族），其中为任意常数.
定理5-1表明，原函数存在的条件是连续，故初等函数在其定义域上存在原函数；定理5-2表明，若一个函数的原函数存在,则它的原函数就一定有无穷多个,并且任意两个原函数之间最多相差一个常数.即若要求全体原函数，只需求出一个原函数，再加上任意常数便可.为此，引入下面的概念.
定义5-2 如果函数是在区间上的一个原函数，那么函数的全体原函数称作在区间上的不定积分，记作，即
，其中．
其中记号“”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分常数，它有特殊含义，要取遍一切实数值．
求的不定积分,就是求所有的原函数.为此,只需求得的一个原函数, 再加上任意常数就行了．
例1 求下列不定积分．
（1）； （2）； （3）；（4）．
解 （1）由于，所以．
（2）由于，所以．
（3）由于，所以．
（4）当时，因为 ，所以；
当时，因为 所以；
综上得，.
【注意】求出被积函数的一个原函数之后，不要忘记加积分常数.
随堂练习
１求下列不定积分.
（1） ；（2） ；（3） ；（4）.
5.1.2 不定积分的几何意义
若是的一个原函数，则称的图像为的一条积分曲线，于是不定积分在几何上就表示积分曲线族．其中任何一条积分曲线都可以由某一条积分曲线沿轴方向平移而得到．又因不论常数取什么值，都有，所以在积分曲线族上横坐标相同的点处作切线，这些切线都是相互平行的(如图5-1)．
5.1.3 不定积分的性质
求不定积分的运算叫做积分运算，由定义知，积分运算与微分运算有如下的互逆关系:
（1） 或 ；
（2） 或 .
5.1.4 基本积分公式
因为积分运算是微分运算的逆运算，所以由基本导数公式可以得到相应的积分公式.
（1）（为常数）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）； （10）；
（11）； （12）；
（13）；
（14）．
以上1４个基本积分公式是求不定积分的基础，学习时应与相应求导公式对照记忆.
5.1.5 不定积分的基本运算法则
性质1 两个函数代数和的不定积分等于各函数不定积分的代数和，即
．
性质2 被积函数中的非零常数因子可以提到积分号外，即
．
推论1 .
推论2 有限多个函数的代数和的不定积分等于它们各自不定积分的代数和.
如 .
【注意】　在不定积分运算法则里没有乘积法则和商式法则，仅限于上述性质1和性质2，这两条运算法则也称“线性运算”法则.
利用基本积分公式、不定积分的基本运算法则，再配合一些恒等变形，就可以求出一些简单函数的不定积分，通常把这种求不定积分的方法叫做直接积分法，下面举例说明.
例2 求下列不定积分．
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）； （9）．
解 （1）．
（2）
．
（3）
．
（4）．
（5）．
（6）．
（7）．
（8）．
（9）．
【注意】分项积分时，不必在每个积分结果中都加“C”，只需总的加一个C即可．
例3 已知曲线在其上任一点处的切线斜率，且曲线过点，求此曲线方程.
解 由一阶导数几何意义知：.积分得；又因为曲线过点，所以.故此曲线方程为 .
随堂练习
2.求下列不定积分
（1） ；（2） ；
（3） ； （4） .
3.已知物体以速度为沿一直线运动，当时，经过的路程为，求此物体的运动方程.
小结：
本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用
作业：
习题 5.1 1、 2、 3、 4
任务5.2 换元积分法
教学目的：使学生掌握不定积分的第一类换元法和第二类换元法
教学重点：不定积分的第一类换元法
教学难点：不定积分的第二类换元法
授课时数：3学时
教学内容：
利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的.对于被积函数是复合函数或无理函数的积分,如、等就无法用直接积分的方法求解,因此，非常有必要进一步研究不定积分的求法.下面我们将探索这类积分的求解方法 换元积分法(简称换元法）.
换元积分法就是通过适当的变量替换，使所求积分在新变量下具有积分基本公式的形式或可用直接积分法求解.
5.2.1第一换元积分法（凑微分法）
先看一个简单的例子.
例4 求.
解 被积函数是一个复合函数，在基本积分公式中没有这样的公式,但与其相似的有,为了套用这个公式,先把原积分作如下变形,然后进行计算.
.
由于,可见上述演算过程是正确的.
例4的解法是引入新变量，从而将原积分化为积分变量为的积分，再用积分基本公式进行求解.
定理5-3 若，且有连续导数，则有换元积分公式
．
定理5-3给出了一种求不定积分的方法，叫做第一类换元积分法，又叫做“凑微分”法．这个定理表明：欲求不定积分，可令，将原不定积分转化新不定积分（易求），同时原来的积分变量换成了新的积分变量，求出新不定积分之后，再把代换回去.
例5 求下列不定积分：
（1）； （2）；（3）；（4）．
解 （1）．
（2）
．
（3）
（4）.
即 ．
同理，得.
【注意】（1）在线性凑微分中是将中的替换成一次函数,但要注意恒等性；（2）在非线性凑微分中，是将中的扔到后使其以原函数的身份出现在后，即；（3）凑微分本身是一次积分，即通过不定积分求出被凑函数的原函数，并将其置入的括号里，其中积分常数可舍去，或根据需要添加具体常数.
随堂练习
1.凑微分
（1）；（2）.
2. 把凑成，，形式
利用换元积分法求不定积分时，常见的凑微分类型有：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）.
例6 求下列不定积分．
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
解（1）．
（2）．
（3）．
（4）因为，所以
．
即 ．
类似地，可得 ．
（5）
，
即
类似地,可以得到
（6）．
【注意】凑微分的目标要清楚，就是将中的凑成复合函数里层的函数.如果被积函数除含复合函数外，还存在着其他简单函数，往往将该简单函数扔到后，再稍加“修饰”使后的表达式成为复合函数里层的函数，多出的常数因子提到积分号“”前，然后采用换元法使所求积分转化成基本积分公式，写出结果，并回代换元式，使引入的新积分变量回到原积分变量.
例7 求下列不定积分
（1）； （2）； （3）．
解 （1）
．
（2）
（3）
．
例8 求下列不定积分．
（1）； （2）．
解（1）
．
（2）
．
【注意】对于积分可先和差化积，然后计算．常用的和差化积公式如下：
（1），
（2），
（3）．
例如．
随堂练习
2.求下列不定积分
（1）； （2）； （3）；（4）；
（5）；（6）；（7）.
5.2.2 第二类换元积分法（拆微分法）
第一类换元法（凑微分法）是通过变量代换,将积分化为,再利用基本积分公式进行计算.但对某些积分，应用这一方法并不能解决问题.此时需要做反向代换,即令（是新变量）,将化为,问题可能得到解决，这种换元积分法就是第二类换元积分法.
定理5-4 设函数单调可微, ,且,则
．
其中是的反函数.
定理5-4给出了一种求不定积分的方法，称作第二类换元积分法，又叫作“拆微分法”．
第二类换元积分法主要用于解决被积函数中含根式的一类积分，采取的措施是通过变量代换消去被积函数中的根式. 该类换元法的关键在于合理选取变量代换使积分的计算简单化．下面举例说明第二类换元积分法常用的几种变量代换．
1． 根式代换
如果被积函数中含有根式时，一般可作变量代换消去根式．
例9 求．
解 为了消去被积函数中的根式，可令，则，于是
.
例10 求.
解 令，则，,于是
随堂练习
3．求下列不定积分.
（1）；（2）；（3）.
2. 三角代换
当被积函数含有二次根式时，为了消去根号，通常用三角函数换元，其换元法是：
(1)被积函数含有时，可令
(2) 被积函数含有时，可令
(3) 被积函数含有时，可令
【注意】对于非上述的标准二次根式，可先配方化成标准二次根式再换元.
例10 求．
解 利用三角公式消去根式，为此设，则，，于是
．
根据代换做辅助直角三角形(如图5-2)，由图知,，因此得
.
例11 求．
解 利用三角公式消去根式，为此设，则，，于是
．
根据代换做辅助直角三角形(如图5-3)，于是，因此有
例12 求.
解 令，
.
根据代换做辅助直角三角形(如图5-4)，由图知,，所以
.
随堂练习
4. 求下列积分.
（1） ； (2) ；（3）.
这里指出，第一类换元积分法采用了先凑微分，后再换元的做法，熟练后可省略换元过程；而第二类换元积分法采用了先换元、后积分、再回代的做法，其中换元及回代不能省略，故使用起来比第一换元积分法显得复杂．
作为补充，下面再给出一些基本积分公式以便解题时查用.
（13）； （14）；
（15）； （16）；
（17）； （18）；
（19）； （20）；
（21）．
5.2.3 专业应用案例
例13 质子的速度 电子中质子运动的加速度为，求质子的运动速度.
解 因为，由此得.
小结：
本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即或，与，分别适用于三类函数，与。“倒代换”也属于第二类换元法。
作业：
习题 5.2 1、 2、 3、 4、 5
任务5.3 分部积分法
教学目的：使学生掌握不定积分的分部积分法
教学重点：不定积分的分部积分法
教学难点：分部积分法中与的选取
授课时数：2学时
教学内容：
换元积分法虽能解决许多函数的不定积分问题，但有些不定积分如、、等，就不能用换元积分法解决. 为此，本任务来研究另外一种积分方法 分部积分法.
5.3.1 不定积分的分部积分法
分部积分法是建立在两个函数乘积的微分法则基础上的一种积分方法，该方法的特点是将一个用已有方法难于求解的积分转化成一个新积分，而新积分往往能用已有的方法求解.下面给出分部积分公式的推导过程及应用.
设函数具有连续导数，由微分公式，得
，
两边积分，得
.
称该公式为分部积分公式．利用分部积分公式求积分的方法叫作分部积分法.
这个公式把原积分转化为新积分，而新积分是将原积分中的和互换后得来的，当新积分容易求解时，则原积分也就解决了.分部积分法起到了化难为易的作用．
例1 求．
解 选取，，则
．
如果选取，则
．
结果被积函数中的次幂升高了，积分的难度反而增大．由此可见，如果和选取不当，就可能使不定积分的计算变得更困难. 所以运用分部积分法时，恰当选取和是一个关键．选取和应使不定积分的计算更简便，一般应考虑下面两点：
（1）要容易求得；
（2）要比容易求出．
例2 求．
解
．
例3 求．
解
．
例4 求.
解
【注意】分部积分法应遵循：“拆”（即将被积函数拆成两个函数的乘积）、“选”（选则和）、“凑”（凑微分，即将拆后的一个简单函数扔到后）、“判”（判断转化后的新积分是否好求）.
当被积函数只有一个因子而又不能使用换元积分法时，可用分部积分法．例如求，，等，读者可试着一求．
使用分部积分求不定积分，是将难求的不定积分转化为容易求的不定积分．这里关键的如何选择和，选择不合适，就会使得转化后的不定积分更难于求解，使得问题不能得到解决．一般情况下，当被积函数是两个初等函数乘积时，我们有如下经验做法：
（1）对于，，等，选取；
（2） 对于，，等，分别选取，，；
（3）对于，等，可选，，，但需要采用“循环解出”策略，即在使用多次分部积分法后，原积分会出现在右式表达式中，此时，可通过解方程的办法求出原积分．
另外，对分部积分法熟练后，就不必说明和，可在中将凑微分，写成，再求．
随堂练习
1.求下列不定积分
（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）.
小结：
本节学习了不定积分的分部积分法。对两类不同形式的被积函数给出了分部积分的参考原则，也讨论了分部积分方法与换元方法结合使用的例题。
作业：
习题5.3 1、 2.
任务5.4 有理函数的积分
教学目的：使学生基本掌握有理函数的积分方法
教学重点：有理函数的积分
教学难点：将假分式化成多项式与真分式之和的方法
授课时数：2学时
教学内容：
解决有理函数积分的关键在于解决有理真分式的积分.对于复杂的有理真分式可用待定系数法或特殊值法将其分拆成若干项，再利用不定积分的性质对其积分.
5.4.1化有理真分式为部分分式之和
1. 有理函数
有理函数是指两个既约多项式之商所表示的函数，它具有如下形式：
其中：和均为非负整数；及均是实数，且、，多项式与之间无公因子.
若，称为真分式；
若，称为假分式.
例如，，等都是有理函数(或称有理分式)且为假分式，而
等都是真分式.
2．化假分式为多项式与真分式之和
由多项式的除法可知，一个假分式总可以化为一个多项式与一个真分式之和.
例如，
，
化成多项式与真分式之和.
多项式的积分我们已经会求，因此，讨论有理函数的积分只需讨论有理真分式的积分.
3．化真分式为部分分式
前面我们已经计算了一些真分式的不定积分，如. 在计算时，是将分式先化为两个简单真分式之和，即
.
这样，就容易求积分.这就启发我们要设法把真分式的分母进行因式分解，然后再把真分式拆成以为分母的简单真分式之和.
下面介绍部分分式法.
在代数学中，我们总可以将多项式在实数范围内分解成一次因子和二次质因子（不可约）的乘积，然后按照分母中因式的情况，将真分式写成部分分式的形式.
（1）当分母中含有因式时，部分分式形式中所含的对应项为
.
（2）当分母中含有因式，其中时，部分分式形式中
所含的对应项为
.
根据上述分解形式，我们把所有对应的项加在一起，就是部分分式形式，然后依照恒等关系求出待定系数.这样，有理函数的积分就比较容易计算.
5.4.2 有理函数的积分
例1 求不定积分.
解 因为，所以
例2 求不定积分.
解 被积函数分解成部分分式
通分去分母，得
比较两端同次幂的系数，得方程组
待定系数法，解得
.
于是
从而
例3 求
解 被积函数分解成部分分式
通分得
令 得
令 得
令 得 ， 有 .
于是， 有
随堂练习
1．求 .
小结：
本节学习了有理函数的积分，并通过例题了解了三角函数有理式和简单无理式的积分。同学们可以通过多做一些练习题来熟悉本节介绍的几种积分方法。
作业：
习题5.4 1、 2
图5-1
图5-2
图5-4
图5-3

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