项目八 常微分方程 教案 《高等数学》(高教版)

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项目八 常微分方程 教案 《高等数学》(高教版)

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项目八 常微分方程
教学目的:理解并掌握微分方程的基本概念,主要包括微分方程的阶,微分方程
的通解、特解及微分方程的初始条件等
教学重点:常微分方程的基本概念,常微分方程的通解、特解及初始条件
教学难点:微分方程的通解概念的理解
授课时数:2课时
教学内容:
8.1 微分方程的概念
8.1.1引例
实例1 (元素衰减问题)遗体死亡之后,体内的(碳十四)含量就不断减少. 已知的衰变速度与当时体内含量成正比,试建立任意时刻遗体内含量所满足的方程.
解 设时刻遗体内的含量为 ,根据题意有
, (为常数)
上式右端的负号反映了随时间的增加而减少.
实例2 (含盐量问题)设有一桶,其内盛盐水100升,其中含盐50克. 现在以浓度2克/升的盐水流入桶中,其流速为3升/分,假使流入桶内的新盐水和原有盐水因搅拌而能使其在倾刻间成为均匀的溶液,此溶液又以2升/分的流速流出,试建立桶内盐水的存盐数与时间的关系.
解 设在分钟时桶内盐水的存盐数为(克),因每分钟流入3升溶液,且每升溶液含盐2克,所以在任一时刻流入盐的速率为
(克/分),
同时,又以每分钟2升的速率流出溶液,故分钟时溶液总量为[]升,每升溶液的含盐量为克,因此,排出盐的速率为
(克/分),
从而桶内盐的变化率为

即 .
【注意】同一个量用不同方式表示,这是建立方程或数学模型的基本思想.
实例3 (动力学问题)质量为的物体,从离地面高为处以初速铅直上抛,不计空气阻力,求该物体的运动规律.
解 建立直角坐标系(如图8-1所示),设物体作竖直上抛运动的位移与时间的函数关系为 ,且, .由牛顿第二定律,得
.
由导数的物理意义可知,在时刻物体运动的加速度为,且;另外,由于物体在运动过中只受重力作用,所以,其中负号表示重力方向与坐标轴正向相反,因此 ,即 .
给等式两端同时积分,得 ;再对所得等式两端同时积分,得 .
把条件及,分别代入和得 ,.再将,代入,得所求物体的运动规律为
.
8.1.2微分方程的基本概念
从前面三个实例可以看到,寻找函数关系式的基本步骤:
(1)根据实际问题的物理、化学、经济及几何等意义,得到反映该实际问题的关系式,而这个关系式通常含有未知函数的导数或微分;
(2)通过积分等方法求解满足这些关系式的函数;
(3)一般还要根据所得函数应满足的其它条件来确定函数解析式中的任意常数,目的使所得函数关系式中不再含任意常数.
微分方程:凡含有未知函数的导数(或微分)、未知函数及自变量的方程,称为微分方程。
【注意】 微分方程就是一个关系式,它揭示了自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微分)之间的内在联系.
【注意】 方程必须含有未知函数的导数(或微分),而未知函数及自变量可以不出现.
【注意】 若未知函数是一元函数,则称为常微分方程;若未知函数是多元函数时,则称为偏微分方程.
为方便起见,常微分方程简称为微分方程(在不致混淆时,也简称为方程).
微分方程的阶:微分方程中未知函数导数的最高阶数,称作微分方程的阶.
例1 ,,,均是未求解的常微分方程,且它们分别是一阶、二阶、三阶和四阶微分方程.而及不是微分方程.
阶微分方程的一般形式为:
.
式中是方程必含项;特别地,一阶微分方程的一般形式为.
微分方程的解:如果把某一个函数代入一个微分方程后,使该方程成为一个恒等式,则称这个函数为微分方程的一个解.
例2将代入到方程的左边,得
表明是原方程的解.
【注意】由于是任意常数,所以方程的解不唯一,有无穷多个解,全部解构成一个函数族.
【注意】 并不是所有微分方程的解加上一个任意常数后都是方程的解.另外,有时给方程的解乘以任意常数后还是方程解,但这种乘的形式也不具备一般性.
例3 设 ,将代入方程,则左边右边.所以是原方程的一个解.但对任意常数,函数就不是原方程的解,而函数倒是原方程的解,这个方程的解也有无穷多,它们也构成一个函数族.
今后将带有和方程阶数相同且相互独立的任意常数的解称为微分方程的通解.
定理8-1(独立性判定)设,是定义在区间内的两个函数,它们的线性组合为,其中,是两个不全为零的常数.若对于任意的,存在一个非零常数使得
(1)在区间内恒成立,则称函数与是线性相关的,即常数和不相互独立;
(2)或在区间内恒成立,则称函数与是线性无关的,即常数和相互独立.
例如,对于代数式(),因常数,所以,与线性无关,从而和相互独立;对于代数式(),因,所以与线性相关,故和不相互独立(事实上,若两函数能合并,则必线性相关,从而两前置系数必不独立;若两函数不能合并,则必线性无关,从而两前置系数必独立).
【注意】作为通解需满足两个条件:①含有相互独立的任意常数;②常数的个数与方程的阶数相同.
例如函数是方程的通解,而不是通解.
初始条件:为了获得符合实际问题要求的完全确定解,还必须附加一定条件以确定解中所含的任意常数,称这些条件为方程的初始条件.
例4 在实例3中, 就是初始条件.
初值问题:求一个微分方程满足初始条件解的问题,称为初值问题(如实例3).
【注意】一般地,一阶微分方程只需要一个初值条件;阶微分方程通常需要个初值条件:,,…,.
【注意】求微分方法初值问题解的基本步骤为:首先求出方程通解,然后把初值条件代入确定出通解中所含任意常数的值,这样便可得初值问题的解.今后将不含任意常数的初值问题的解称为方程的特解.
例如 是方程的特解;是方程 的特解.
随堂练习
请问函数是的通解吗
例5验证函数 (,及均为常数且)是二阶微分方程的通解,并求此微分方程满足初值条件:,的特解.
解 因,,所以
即是微分方程的解.
另外,由表达式 知(为常数),
知与线性无关,表明解中所含常数,相互独立.因此,函数 是微分方程的通解.
将初值条件代入通解表达式中,得 ;再将条件代入表达式中,得.于是方程满足初值条件的特解为 .
随堂练习
1.指出下列方程中哪些是微分方程?并说明它们的阶数。
(1);(2) ;(3);
(4);(5);(6).
2.下面几种说法对吗?为什么?
(1) 包含任意常数的解叫微分方程的通解;
(2) 不含常数的解叫微分方程的特解;
(3) 含有两个任意常数的解必是二阶微分方程的通解.
3.设微分方程为,指出下列函数(都是任意常数)
(1); (2) ; (3);
(4); (5).
中哪些是该微分方程的解?哪些是通解?哪些是特解?
4.验证函数是微分方程
的通解,并求满足初值条件,的特解.
5.验证函数是方程的通解,并求方程满足初始条件的特解,其中为任意常数.
6.已知某曲线上任一点处切线的斜率等于该点横坐标的平方,求该曲线的方程及过点的曲线方程.
小结:
本节讲述了微分方程的基本概念及一般形式,常微分方程的通解、特解及微分方程的初始问题.
作业:
习题8.1 1、 2、 3.
8.2变量可分离的微分方程
教学目的:熟练掌握可分离变量的微分方程的解法和一阶线性微分方程的求法
教学重点:可分离变量的微分方程的解法
教学难点:可分离变量的微分方程的解法
授课时数:2课时
教学内容:
常微分方程的任务是:根据实际问题建立解答该问题的微分方程(即建立数学模型),并给出相应的初值条件.然后求出所建微分方程的通解及满足初值条件的特解.而求解微分方程方法往往是按微分方程本身的特点分类型进行的.本节将按类型讨论一阶微分方程的求解方法.
8.2.1变量可分离的微分方程
定义8-1 称形如
或 (8.1)
的方程为可分离变量的微分方程.把一个一阶微分方程化为形如的形式,
此过程称为分离变量.
特点:①导数已解出,且是一阶微分方程;
②方程可化成一端仅含变量的表达式,另一端仅含变量的表达式.
可分离变量的微分方程的求解步骤:
(1)分离变量:将方程化为等号一边只含变量的表达式,而另一边只含变量的表达式,即
. (8.2)
(2)两边分别积分:对上式两边同时积分得方程(8.1)的通解为
. (8.3)
其中为任意常数.这种求解过程叫做分离变量法.
【注意】 给方程两端同时积分时,考虑到移项合并问题,往往等号左边的积分结果不加任意常数,等号右边的积分加任意常数.
例1 求微分方程()的通解.
解 采用分离变量,得();两边同时积分,得,即有
,进而().
显然,是方程的解,此特解可由通解得到,即在通解中令便得.
例2 如图8.2,已知某曲线过点,并且该曲线上任意一点的切线与直线垂直,求此曲线的方程.
解 设所求曲线方程为,为过点切线的倾斜角,为直线的倾斜角.由导数的几何意义知切线的斜率,又直线的斜率
.因为,所以,即,从而有 (此方程为可分离变量的微分方程).
分离变量,得;两端分别积分,得
(右边的积分常数可提前加),结果为,整理后得曲线方程的通解为.
因该曲线过点,求得满足初始条件的特解为.
例3 求微分方程满足初值条件的特解。
解分离变量得 ,等式两端分别积分,即,运算结果为,经整理化简得通解.将初值条件代入中,得,即所求特解为 .
说明一点,微分方程中的积分运算是有效的,不考虑的正负.
随堂练习
求下列微分方程的通解:
(1);(2);
(3);(4).
8.2.2齐次微分方程
如果一阶微分方程的右端可表示为的函数(当时),即方程可写为
(8.4)
的形式,则称此类方程为齐次微分方程,简称齐次方程.这类方程通常采用变量代换法求解,具体方法如下:
① 令 (因为是函数,所以也是的函数),则;
② 以为自变量对求导,则有
(8.5)
将式(8.4)及代入式(8.5),得
(8.6)
(8.6)式为可分离变量的微分方程.
例4求微分方程 满足初值条件:的特解.
解 将方程转化成标准齐次微分方程,令 ,将式(8.5)即
代入齐次方程,得,经整理得.分离变量,有 ,两端积分,有,计算结果为,即.将回代,即把代入式,则所求方程的通解为.
因,所以.于是满足所给初值条件的特解为.
【注意】由于变量和之间哪个是自变量,哪个是未知函数都是相对的,有时也可把当作自变量,把看作是未知函数.
例5 求微分方程的通解.
解 先将方程转化为标准齐次微分方程形式,令 ,将代入齐次方程,得 .分离变量,得,两端积分,有,计算结果为,即.回代,得.
随堂练习
求下列微分方程满足所给初值条件的特解
(1),;(2),.
下面介给线性微分方程:
定义8-2 (线性微分方程)当微分方程中所含未知函数及其各阶导数全是一次幂时,则称该微分方程为线性微分方程.
阶线性微分方程的一般形式为:
其中是的已知函数.
不具备上述特点的微分方程称为非线性微分方程.例如,方程是二阶非线性微分方程,方程是一阶非线性微分方程.
例6下列方程是线性微分方程的是( ).
;.;.;
.;.;..
解 因为中方程含有,,中方程含,中方程含; 中方程含.
所以、、、是非线性微分方程;,因未知函数及其各阶导数全是一次幂,所以是线性微分方程.
8.2.3 一阶线性微分方程及求解方法
定义8-3 称形如
(8.7)
的微分方程为一阶线性微分方程,其中、为某区间上的连续函数,函数称为自由项.当,称方程(8.7)为一阶非齐次线性微分方程.
当时,方程(8.7)式变为
(8.8)
称方程(8.8)为一阶齐次线性微分方程.
【注意】齐次线性微分方程中的“齐次” 它与前面所讲的齐次微分方程中的“齐次”含义是不同的.
下面讨论一阶线性非齐次微分方程(8.7)的解法.
(1)首先求一阶非齐次线性微分方程所对应的齐次线性微分方程的通解. 方程(8.8)可用分离变量法求解.显然,是它的解.当时由分离变量,得 ,两边分别积分,得 ,有,化简后,即得线性齐次方程的通解为
(8.9)
其中是任意常数.
(2)由于方程(8.7)和(8.8)的等号左边相同,仅右边不同,因此,如果将(8.7)改为,两边分别积分,化简整理后,得
(8.10)
对照(8.9)与(8.10)两式,可看出除了是方程(8.7)所对应的齐次线性微分方程(8.8)的解外,(8.10)式还有一项. 由于是关于的函数,因而也是关于的函数,所以可设,所以(8.10)式可表示为
(8.11)
式(8.11)相当于把(8.9)式中的常数替换成,其中是待定函数.因此只要求得函数,就可得方程(8.7)的解,这种求解方法称为常数变易法.
将(8.11)式代入方程(8.7),得

化简整理后,得 ,再两边积分,得,将此式代入(8.11)式,得到一阶非齐次线性微分方程(8.7)的通解为
(8.12)
【注意】① 式(8.12)中各个不定积分不再加积分常数.
②用常数变易法求一阶非齐次线性微分方程(8.7)步骤为:
首先,用分离变量法求出非齐次线性微分方程所对应的齐次线性微分方程(8.8)的通解,或按公式(8.9)直接求解;其次,将所得通解(形如式(8.9))中的常数换为,即得式(8.11);再将式(8.11)代入非齐次线性微分方程(8.7),得;
最后求出,并按式(8.12)写出非齐次线性微分方程的通解。
例7 求微分方程的通解.
解法一 (常数变易法)当时,将方程按式(8.7)化成标准型,此方程是一阶非齐次线性微分方程,所对应的齐次线性微分方程为,分离变量得,两边分别积分,得 ,积分结果为 ,化简后,得线性齐次方程的通解为,再将常数用代替,有 ,然后将式代入非齐次线性微分方程,便有
,即,
化简整理,得 ,两边分别积分,得;将此式代入中,得原一阶非齐次线性微分方程的通解为 .
解法二(公式法) 由于 ,则有 ,;利用公式(8.12)得通解
.
【注意】利用公式法求解时,一定要将原一阶非齐次线性微分方程化为标准形式(8.7),正确写出公式中的和,否则将得出错误的结果.
例8 求微分方程满足所给初值条件的特解.
解 化成标准形,得,于是 , ;利用公式(8.12),得原方程的通解为:
.
将条件代入,求得,所以特解为.
例9 求微分方程的通解.
解:两边同除,有 ,令 ,将代入上式方程中,得,则有,;利用公式(8.12),得 .
将回代,即把代入上式,所给方程的通解(采用隐函数形式表示解).
随堂练习
求下列微分方程的通解
(1);(2).
8.2.4 伯努利方程
称形如
(8.13)
的一阶微分方程为伯努利方程,其中和是的已知连续函数.
当或是线性方程。当且时,可以通过适当的变量代换化为线性方程求解.具体解法如下:
解 将式(8.13)两边同乘以,得.令 ,将代入,得,即(一阶线性微分方程).
利用公式(8.12),得
(8.14)
最后将回代入上式,便得伯努利方程(8.13)的通解.
【注意】解伯努利方程的关键在于作代换和恒等变形,将其转化成熟知的一阶线性微分方程.
例10 求微分方程的通解。
解 令,将代入原方程,得,则有, .利用公式(8.12),得
.
将回代入上式,得的通解 .
上述三种一阶微分方程的解法可归纳如下(表8-1):
表8-1 三种一阶微分方程及解法
方 程 类 型 方 程 解 法
可分离变量的方程 分离变量,然后积分
分离变量,然后积分
齐次微分方 程 作下列代换化为可分离变量方程形式令,得
令,得
一阶线性微分方程 一阶线性齐次方程 方法1 分离变量,两边积分;方法2 通解公式.
一阶线性非齐次方程 方法1 常数变易法,设非齐次方程的解为;方法2 非齐次方程的通解公式.
小结:
可分离变量方程的解法为变量分离后再积分.
作业:
习题8.2 1、 2、 3、 4.
8.3几种可降阶的高阶微分方程
教学目的:掌握、、三种高阶微分方程的解法,即降阶法,理解降阶法的思想
教学重点:、、三种高阶微分方程的解法
教学难点:、微分方程的解法
授课时数:2课时
教学内容:
定义8-4 二阶及二阶以上的微分方程,统称为高阶微分方程.
求解高阶微分方程的基本方法:把高阶方程通过某些变换降为低阶方程来求解,这种方法也称为降阶法.下面介绍的几种方程可降阶的高阶微分方程.
一、型方程
如果令,则原方程可化为
(8.15)
方程(8.15)的阶数较原方程减少了阶,这种代换起到了降阶作用.通过求解新方程(8.15)达到求解原方程的目的.下面举例说明.
例1求微分方程的通解.
解 令 ,将其代入原方程,得 ;分离变量 ,两边分别积分,得 ,即 ,化简后,得 ;将再代入中,有,经四次积分得到原方程的通解
.
二、型方程
这类方程特点是等号左端是未知函数的阶导数,右端为的已知函数.这类方程的求解方法是连续作次积分(通过积分降阶).注意每次积分都要加上任意常数,对于不同的积分常数可按积分先后顺序编号,,…,.
例2.求微分方程的通解。
解 由于 ,对此式两边同时积分,有
,即;
又 ,两边同时积分,有

所以.
三、型方程
该型方程特点是二阶方程中不显含未知函数,对这类方程可通过变量代换降为一阶微分方程求解.令,则 .将其代人方程,得
(8.16)
新方程(8.16)是关于变量和的一阶微分方程.如果能求出其通解,不妨设为,因,故有,积分得方程的通解为
其中,是任意常数.
例3 求微分方程的满足初值条件,的特解.
解 令,则.将其代入方程,得,分离变量得
,两端分别积分,得 ,即,故.将回代,得,对此式两边积分,得
.
将初值条件,代入上式,得,,所以原微分方程的特解为.
四、型方程
该型方程特点是二阶方程中不显含自变量,可通过变量代换降为一阶微分方程求解.将作为自变量,即令, 则
(复合函数求导).
将其代人方程,得
(8.17)
方程(8.17)是关于变量和的一阶微分方程.
如果它的通解为 ,结合得,对此式两端积分,得原微分方程的通解为
其中,是任意常数.
例4 求微分方程的通解.
解 由于不显含自变量,可将作为自变量,即令, 则.将其代入方程,得 ,此为关于变量和的一阶微分方程.
当时,有,分离变量,得,两端分别积分得, 即,化简得.将回代,得 ,对此式分离变量并两边积分,有,即,得.
随堂练习
1.求微分方程的通解.
2.求微分方程的通解.
3.求微分方程的通解.
小结:
  1、不显含未知函数的二阶微分方程
  形如: 的方程称为不显含未知函数的二阶微分方程。
  不显含未知函数的二阶微分方程的解法为令变量代换,注意,化为一阶微分方程加以解决。
  2、不显含自变量的二阶微分方程
  形如: 的方程称为不显含自变量的二阶微分方程。
  不显含自变量的二阶微分方程的解法为令变量代换,注意,化为一阶微分方程加以解决。
作业: 习题8.3 1、 2、 3、 4、 5.
8.4 二阶线性微分方程
教学目的:掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程,特征根,及对应于特征根的三种情况,通解的三种不同形式。
教学重点:特征方程,特征根,及对应于特征根的三种情况,通解的三种不同形式。
教学难点:根据特征根的三种不同情况,得到三种不同形式的通解。
授课时数:2课时
教学内容:
8.4.1二阶非齐次线性微分方程
一般地,称微分方程
(8.18)
为二阶线性微分方程,其中,,都是某区间上已知的连续函数.
(1)当时,称方程(8.18)为非齐次线性微分方程;当时,称方程(8.18)为齐次线性微分方程,即
(8.19)
(2)二阶线性齐次微分方程解的性质及通解结构
定理8-2设,是齐次线性微分方程(8.19)的两个解,则也是方程(8.19)的解,其中,是任意常数.
(定理证明留给读者)该定理表明线性微分方程的解具有可叠加性.
定理8-3 如果与是齐次线性微分方程(8.19)两个线性无关的特解,则
是方程(8.19)的通解,其中,是任意常数.
(定量证明留给读者)该定理反映了二阶线性齐次微分方程的通解结构.
例1设二阶线性齐次微分方程,验证是该方程的通解.
解 易证和是方程的两个特解,又常数,所以与线性无关.由定理8-3知是该方程的通解.
(3)一阶线性非齐次微分方程的通解结构:
一阶线性非齐次微分方程的通解是由其对应的齐次方程的通解再加上自身的一个特解组成.即
.
对于二阶线性非齐次微分方程来说,其通解也具有相同的结构。即有如下的定理.
定理8-4 若为二阶非齐次线性微分方程
(8.20)
的一个特解,是方程(8.20)所对应的齐次线性微分方程(8.19)的通解,则
为二阶非齐次线性微分方程(8.18)的通解.
证明从略.
例2 已知二阶线性非齐次微分方程,求所给方程的通解.
解 由例1知是对应线性齐次方程的通解.令,容易验证满足原方程,所以它是原非齐次方程的一个特解.由定理8-4知是所给方程的通解.
随堂练习
求方程的通解,并按一阶线性非齐次微分方程的通解结构表示.
8.4.2 二阶常系数非齐次线性微分方程
1.常系数线性微分方程是指方程中未知函数及其各阶导数的系数全是常数.
对于方程(8.20),若,都是常数,则称
(8.21)
为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中,是常数.
当时,称
(8.22)
为二阶常系数齐次线性微分方程,其中,是常数.
2. 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法:
1)由定理8-3知要求齐次线性微分方程的通解,只需求出它的两个线性无关的特解,便得通解.
在一阶线性常系数齐次微分方程中,可由公式可求得它的通解为.由此可设想方程(8.22)也具有指数函数(其中为常数)形式的解.由于指数函数与其各阶导数只差一个常数因子,所以选取合适的常数,使函数有可能成为方程(8.22)的解.基于此,将及其一、二阶导数,代入方程(8.22),得
.
由于,所以上式要成立就必须有
. (8.23)
记二次代数方程(8.23)的两根为和,则()方程(8.22)的解.方程(8.23)称为齐次线性微分方程(8.22)的特征方程,称为方程(5.22) 的特征根.
特征方程(8.23) 的两个根和可以用 求出.
2)特征根讨论
①当判别式时,特征方程(8.23)有两个不相等的实根和,从而可得齐次线性微分方程(8.22)的两个特解,.由于(其中为常数),因此所得两个特解是线性无关的,由定理8-3知二阶齐次线性微分方程(8.22)的通解为
.
② 当时,特征方程(8.23)有两个相等的实根和,且.由上述可知微分方程(8.22)的一个特解为.由定理8-3知另一个特解要满足(其中为常数).为此,不妨设,其中为待定函数.由于为方程(8.22)的一个特解,将求导并代入方程(8.22)后得 .从而微分方程(8.22)的通解为
.
③ 当时,特征方程(8.23)有一对共扼复根:,,,其中,,.
由此可得二阶齐次线性微分方程(8.22)的两个复数形式的特解,分别为与.为了便于应用,可用欧拉公式将其转换成实数解.具体如下:

.
于是
,.
由定理8-2知,是是方程(8.22)的两个解,且(其中为常数),即与线性无关.由定理8-3知二阶齐次线性微分方程(8.22)的通解(实数形式)为
.
综上所述,求二阶常系数齐次线性微分方程(8.22)通解的步骤为:
①写出特征方程;
②求出特征根;
③根据特征根的情况按下表8-2写出方程的通解.
表8-2 二阶常系数齐次线性微分方程通解形式
特征方程的两个根和 微分方程:的通解
两个不等实根
两个相等实根
一对共轭复根
例3 求微分方程的通解.
解 微分方程的特征方程为 ,即 ,其特征根为 ,,所以微分方程方程的通解为 .
例4 求微方程的通解.
解 微分方程的特征方程为,特征根为 ,微分方程的通解为 .
例5求微分方程的通解.
解 原微分方程的特征方程为,解特征方程得一对共扼复根
,.
原微分方程的通解为
.
随堂练习
1.求下列微分方程的通解:
(1); (2);
(3);
2.求微分方程的满足初值条件,的特解;
3.求微分方程满足初值条件,的特解.
小结:
本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程,特征根,及当
特征根形式不同时,通解具有不同形式。用特征根法求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的方法和步骤为:
①写出微分方程的特征方程;
②求出特征方程的根,即特征根和;
③根据特征根的不同情况,写出微分方程的通解,即当时,微分方程的通解;当时,微分方程的通解;当时,将特征根和记为,微分方程的通解
作业:
习题8.4 1、 2、 3、 4、 5.
8.5 二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法
教学目的:掌握自由项为和的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法
教学重点:二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法
教学难点:二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法
授课时数:2课时
教学内容:
由定理8-4知,二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为
其中:为原方程对应齐次线性微分方程的通解;为非齐次方程的特解.由于齐次方程的通解求法已解决,因此只需求出非齐次方程的一个特解即可。求出非齐次方程的特解完全取决于的表达式,下面介绍的几种特殊表达形式,并求相应的特解.
1.型
其中为常数,为的次多项式,即 ,此时微分方程表示为
(8.24)
由于多项式与指数函数乘积的各阶导数仍是多项式与指数函数的乘积形式,因而可以推测,方程(8.24)的特解可能是某个多项式与指数函数的乘积形式.基于此,可设方程(8.24)的特解
(8.25)
其中,是一个待定多项式.
将式(8.25)及其一阶、二阶导数,代入(8.24)中,经整理化简,得
(8.26)
设方程(8.24)对应的齐次线性微分方程的特征方程
(8.27)
式(8.26)等号左边多项式次数取决于多项式的次数,故有
当时,即不是特征方程(8.27)的根,则.表明
即应是一个次多项式.
当,时,即是特征方程(8.27)的根,且是单根,那么,即应是一个次多项式;
当,时,即是特征方程(8.27)的根,且是重根,那么,即应是一个次多项式.
综上讨论,可得如下结论:
二阶常系数非齐次线性微分方程(8.24)具有形如
(8.28)
的特解,其中是一个与有相同次数的多项式;是一个非负整数.
一般地,求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解可按如下步骤进行:
(i)写出微分方程的特征方程 ;
(ii)根据特征根写出对应的齐次线性微分方程的通解;
(iii)根据特征方程根的不同情形,按表8-3给出特解对应的表达式,利用待定
系数法求出,并回代到中.
表8-3 非齐次方程的特解
特征方程:;非负整数 非齐次方程的特解
不是特征根,
是特征根,且是单根;
是特征根,且是重根;
(v)写出通解.
例1 求微分方程的一个特解.
解 由所给方程得:,,对应的齐次方程为 ,
相应的特征方程为 ,解得 ,.
由于不是特征根,根据表8-3,可设非齐次方程的特解 ,其中与的次数相同.所以
其中,,为待定系数.
将,及(求导过程略)代入原微分方程中,整理化简,得
.
比较等号两端的同次幂系数,得
,,.
从而求得 ,,.将它们代入,得原微分方程的特解为
.
例2 求微分方程的通解.
解 显然 ,;对应的齐次方程为,其特征方程为 ;解得 ,;所以对应的齐次方程的通解为
.
由于是特征方程的根,且是单根;根据表8-3,设非齐次方程的特解为
上式是一个一次多项式.于是,其中,为待定系数.
将,及(求导过程略)代入原微分方程并整理化简,得

比较上式两端同次幂的系数,得 解方程组得 ,,将其代入得特解为
.
所以原二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为
.
2.或型
其中,实数,为常数,为的次多项式.对应的方程有
, (8.29)
. (8.30)
事实上,方程(8.29)与方程(8.30)可用欧拉公式(即)将它们联系在一起,并转化成前述型解决.如下构造辅助方程:
(8.31)
其中.这里指出:方程(8.29)的通解是方程(8.31)通解的实部,方程(8.30)的通解是方程(8.31)通解的虚部.
下面通过实例来探讨这两类方程的解法:
例3 求方程的通解
解 步骤1:原方程对应的齐次方程为 ,其特征方程为 ,解得 ,.由此可得对应齐次方程的通解为.
步骤2:由,得 ,,令 ,构造辅助方程
.
此时,,由于不是特征方程的特征根,根据表8-3可设辅助方程的特解为 .
步骤3:对求一、二阶导数,得
,;
并代入辅助方程,得 ,即

所以,辅助方程的特解为

它的实部为原方程的特解.从而,原微分方程的通解为
.
例4 . 求方程的通解。
解 例4对应的齐次方程的通解为,它的特解
,因此,它的通解为
.
3.型
定理8-5 若为方程的解,为方程的解,则为方程
(8.32)
的解.
证明从略.
例5 求方程的一个特解。
解 1)对应的齐次方程为 ,特征方程为, 解得 ,.
2)设方程的特解为,方程的特解为.
①求的特解为
由于及不是特征方程的根,按表8-3可设特解,
为待定常数,对上式求一阶及二阶导数,可得,;将,及代入原微分方程中,整理化简得 ,因此特解为.
②求的特解
易知,是特征方程的根,且是单根,根据表8-3可设该方程的特解为 ,其中为待定系数.求特解的一阶及二阶导数得
,;
将,及代入原微分方程中,整理化简得,因此特解为 ;
由定理8-5得原微分方程的特解为 .
随堂练习
1.求下列各微分方程的通解
(1) ;(2) .
2.求下列各微分方程满足所给初值条件的特解。
,,.
小结:
①自由项为多项式与指数函数的乘积,即的情形,此时非齐次方程的特解,其中是与已知多项式同次的多项式(其系数可将特解代入非齐次方程,比较方程两端同类项的系数,联立求解而得到),而按不是特征方程的根、是特征方程的单根和是特征方程的重根分别取、和;
②自由项的情形,此时非齐次方程的特解,其中和是次的多项式(其系数可将特解代入非齐次方程,比较方程两端同类项的系数,联立求解而得到),,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根和是特征方程的重根分别取和1。
作业:
习题8.5 1、 2、 3、 4.
图8-1
图8.2

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