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项目九 空间解析几何
任务9.1 空间直角坐标系及向量代数
教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。
教学重点：空间直角坐标系的概念；空间两点间的距离公式；向量的概念；向量的运算
教学难点：空间思想的建立
授课时数：2课时
教学内容：
实例1 如何确定火箭升空后在空中飞行的位置和准确描绘其空中飞行轨迹？
实例2 如何确切地表示室内灯泡的位置呢？
上述两个问题的解决均需要建立空间直角坐标系. 当建立空间直角坐标系后，空间任意一点就可用有序实数组表示，这样可确定室内灯泡位置，进而可探求火箭（看成质点）在空中的飞行位置和空中飞行轨迹（方程）.
9.1.1空间直角坐标系
过空间一个定点,作三条互相垂直的数轴，它们都以点为原点，且具有相同的长度单位.这三条数轴分别称为轴(横轴)、轴 (纵轴)和轴(竖轴)，统称为坐标轴．
通常将轴和轴配置在水平面上, 而轴则是铅垂线.它们的正方向要符合右手规则：即以右手握住轴,当右手除大拇指外其余四指从轴的正向以逆时针方向转的角度时，正好是轴的正向, 大拇指的指向就是轴的正向(图9-1a).图中箭头的指向表示轴、轴和轴的正向.这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系, 点为坐标原点,常记这空间坐标系为.这样在空间直角坐标系中, 有唯一一个原点, 三条坐标轴, 轴和轴.每两条坐标轴所决定的平面称为坐标面, 即平面, 平面和平面.这三个坐标面把空间分成了八个区域，每一个区域称为一个卦限，即有八个卦限(如图9-1b).含有轴, 轴和轴正半轴且在平面上方的那个卦限叫做第一卦限, 其它在平面上方按逆时针方向的还有第二, 第三，第四卦限；在平面下方, 由第一卦限之下的第五卦限开始, 按逆时针方向, 依次有第六，第七，第八卦限.
(a) (b)
图9-1
在三维空间中的每一点对应一个有序的三元数组、、；反过来，已知一个有序数组、、，则取, 和, 然后通过点 、、分别作轴, 轴和轴的垂直平面，这三个垂直平面的交点就是由有序数组、、所确定的唯一的点(图9-2).于是就建立了空间的点和有序数组、、之间的一一对应关系.这三个数、、就叫做点的坐标，并依次称、、为点的横坐标、 纵坐标和竖坐标.坐标为、、的点通常记为.
图9-2
在坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征,如图9-2所示.
若点在坐标原点, 则, 因此，坐标原点 的坐标为；
若点在轴上, 则, 如 ；
若在轴上上, 则, 如 ；
若点在轴上, 则, 如 .
点在平面上, 则, 如； 同样地，点在平面上，则；在平面上, 则.
设,为空间两点,则这两点之间的距离为
（9.1）
特殊地,点与坐标原点的距离为
．
例1已知点，, ,且三点满足 ,试确定、的值．
解 由题意有,即,解得．
又因为,即,解得．
随堂练习
已知点，求下列对称点的坐标
（1）分别求点关于三个坐标平面对称点的坐标；
（2）分别求点关于三个坐标轴对称点的坐标；
（3）求点关于原点对称点的坐标.
9.1.2向量及其表示
在物理学及其他学科领域,我们常常遇到两类量：一类只有大小没有方向,这类量可以用一个数完全表示，如温度、长度、质量等,称这类量为数量或标量；还有一类量既有大小又有方向,如力、速度、加速度等,称这类量为向量或矢量．
常用有向线段来表示向量.其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的指向表示向量的方向,如起点为,终点为的向量记为，如图9-3所示．
图9-3
向量的大小称为向量的模，记作||．特别地，模为0的向量称为零向量，记作0，规定零向量的方向为任意方向．模为1的向量称为单位向量．与非零向量同方向的单位向量称为向量的单位向量，记作．与向量大小相等，而方向相反的向量称为的负向量，记作–．
在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关，我们只研究与起点无关的向量．由向量相等定义（模相等、方向相同）可知，向量在空间平移前后相等，从而也称为自由向量．
【注意】两个向量没有大小之分，即不能比较大小.
9.1.3向量的加法运算和减法运算
1.向量加法的平行四边形法则： 将向量和的起点重合，以与为邻边作平行四边形，则从起点到平行四边形的对角顶点的向量称为向量与的和向量，记作 (如图9-4)．
图9-4 图9-5
2.向量加法的三角形法则：平移向量，将向量的起点移到向量的终点上,则从的起点到的终点的向量就是向量和的和向量(如图9-5)．
向量与的差记作，规定为与负向量之和，即，方向为减向量终点指向被减向量终点(如图9-6)
图9-6
一般地,向量的加法运算与数乘运算（实数λ与向量的乘积是一个向量,记作）统称为向量的线性运算．
另外,若为非零向量，则其单位向量可表示为
．
由此,,即任何非零向量都可以表示为它的模与其单位向量的乘积．
【注意】 两非零向量与平行的充分必要条件为= λ (λ ≠ 0)．即两个向量平行，则它们之间相差一个常数倍.
9.1.4向量的坐标式及其运算
1. 向量的坐标式
以,,分别表示沿轴,轴, 轴正向的单位向量，
则它们的坐标式为，，，
并称,,为基本单位向量.于是空间向量均可用这三个基本单位
向量表示，即
设为空间点,为在面上的投影，过
点分别作三条坐标轴的垂面，交轴、轴、轴于、、(如图9-7)，显然向量，则以坐标原点为起点,以空间点为终点（如图9-7所示）的向量可表示为.
一般地，设向量，则向量可表示为.其中, , 称为向量的坐标，称为向量的分解式，称为向量的坐标式．
【注意】，是常数，这是向量坐标式的数乘运算.另外，若，，则，这是向量坐标式的加减法（可推广到有限多个）.
2.向量坐标式的几种运算
i.向量的模运算：向量模的坐标表示式为
.
ii.向量坐标确定：设空间向量以点为起点，以点为终点(如图9-8)，连接 ， ，则有 ，即向量的坐标等于它的终点与起点的对应坐标之差．
iii.向量平行关系：设，，则.由此可得
或（）（对应坐成比例）.
iv.向量的方向角：为了用坐标表示向量的方向，我们引入向量的方向角与方向余弦的概念.
非零向量与三个坐标轴正向的夹角,, ()，称为向量的方向角,它们的余弦,, 称为向量的方向余弦．当一个非零向量的三个方向角确定时，则其方向也就确定了．
设非零向量, 方向角为,,．由于向量与以点为终点的向量相等，所以的方向角也为,,．由图9-9可知
=，=， =．
以上三式称为向量的方向余弦的坐标表示式．
由此可得 ；
.
例2 已知空间两点和．求向量的坐标表示式、模、方向余弦、方向角及其单位向量．
解 由题意知=，故
，
，，，
，，，
．
例3力，，同时作用于一点，求合力的大小．
解 由题意知
故合力的大小为．
小结：
本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。
作业：
习题9.1 3-8
任务9.2 向量的乘积运算
教学目的：进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点：向量的坐标表示式；向量的模与方向余弦的坐标表示式；数量积、向量积的概念及其等价的表示形式.
教学难点：向量的坐标表示; 向量的模与方向余弦的坐标表示式1.活学活用数量积、向量积的各种形式.
授课学时：2学时
教学内容：
9.2.1数量积及其应用
实例（恒力做功问题）
设一物体在恒力F作用下沿直线从A点移动到B点，位移，θ为s与F的夹角(如图9—10)，由物理学知道，力F所做的功为
．
向量F与s的这种运算结果是个数量，在数学上将这种乘法称为数量积．
定义9-1（数量积）将两个向量a与b的模与它们之间夹角的余弦的乘积称为两个向量的数量积，记作，即
=. （9.2）
上述定义中两个向量a与b的夹角θ是指将它们移到同一起点所形成的不大于π的角，记作()．用记号“· ”表示两个向量相乘（数量积），因此数量积也称为点积或内积．
根据数量积的定义，恒力F所做的功是力F和位移s的数量积，即．
由向量数量积的定义可以得到如下性质：
性质1 对于向量，==.
性质2 两个非零向量与垂直的充分必要条件是．
性质3 设向量，，则（两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和）.
性质4 当与为非零向量时，则
． （9.2）
性质5 设向量，，则
例1 已知向量与不共线，，，为何值时，向量与互相垂直？
解 向量与不共线，则向量与（）也不共线.
因为，所以
，由此可得.
例2 已知，，当为何值时：
（1）；（2）两向量夹角为钝角.
解 （1）因为，所以，由此可行.
（2）因为钝角，所以，即
，得
另外，当时，两向量共线，且方向相反，此时两向量夹角为平角.
综合分析，当时两向量夹角为钝角.
例3 设一质点受三个共点力,, 的作用，从原点沿直线移动到点．求合力所做的功(力的单位为牛顿，距离的单位为米)，以及合力与位移的夹角．
解 由题意知，位移=，合力
则合力所做的功为
（焦耳）．
由于 ,
所以 ．
随堂练习
1. 已知的三个顶点为, , ，证明为直
角三角形.
2.一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边点出发航行到河的正对岸
处（如图9-11）.航行的速度，水流的速度，问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
9.2.2 向量的向量积
实例2（力矩问题）
用扳手拧螺母，当扳手沿逆时针转动时，螺母朝外移动，当扳手沿顺时针移动时，螺母朝里移动. 螺母移动的大小取决于所施外力及版手臂的长短，其移动的方向垂直于外力与版手臂所确定的平面，从力学上看螺母移动取决于力矩.如图9-12所示，设O为杠杆的支点，力作用于杠杆上处，，与的夹角为，那么力对支点O的力矩是一个向量，其大小即模为
，
力矩的方向垂直于与所确定的平面，且遵守右手法则，即四指指向由弯向时，拇指的指向即为力矩的方向．
图9-12 图9-13
两向量的这种运算，在数学上叫做两个向量的向量积．
定义9-2 （向量积）两向量与的向量积是一个向量，记为，且规定：
（1） ；
（2） 垂直于，所确定的平面(⊥且⊥)，且遵守右手法则，即四指指向由第一个向量沿小于π的方向弯向第二个向量时，拇指的指向即为的方向(如图9-13)．
根据向量积的定义，上述力对支点O的力矩可表示为．
关于两向量的向量积有以下说明：
1） 两向量的向量积用“×”表示，因此向量积也称叉积或外积；
2）两个向量，的向量积是一个向量，并且，该式在几何上表示以与为邻边的平行四边形的面积，的方向垂直于该平行四边形所在的平面．
由向量积的定义可得其运算性质：
性质1 两个非零向量与平行的充分必要条件是.
特别地：.
性质2 (反交换律).
性质3 （分配律）.
9.2.3. 向量积的坐标式
当向量用坐标表示时，向量积也可用坐标表示，下面来推导向量积的坐标表示式．
设向量，利用、、、以及向量积的分配律和结合律容易得
（9.3）
式（9.3）称为向量积的坐标表达式（简称坐标式）．为了便于记忆和计算，上式也可借助行列式表示，即
（9.4）
【注意】二阶行列式；三阶行列式可按某行或某列展开，将其转化成二阶行列式计算，但要注意正负号的变化.另外，对于行列式，如果有两行元素成比例，那么该行列式必等于零.
例4 求同时垂直于向量与的单位向量．
解 因为同时垂直于向量与，所以可先计算
= =.
又 ．
故同时垂直于向量与的单位向量为．
例5设，求证∥．
证明 由于
，
所以∥.
例6 已知的顶点为, 和，求及的面积．
解 由于，从而，
，，
所以 ， ．
．
课堂练习
1.已知四边形的四个顶点.证明对角线与互相垂直，并求该四边形的面积.
2.求证，并说明它的几何意义．
小结：
本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。向量的数量积（结果是一个数量）
向量的向量积（结果是一个向量）
（注意共线、共面的条件）
作业：
习题9.2 2-6.
任务9.3 平面方程
教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系.
教学重点：平面方程的求法；两平面的夹角.
教学难点：平面的几种表示及其应用.
授课学时：2学时
教学内容：
9.3.1平面的点法式方程
由立体几何可知，过空间一点可以作唯一一个平面垂直于已知直线，下面我们利用这个结论确定空间平面的方程．
垂直于平面的任何非零向量称为该平面的法向量，记作．易知，平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直．在空间直角坐标系中，若平面Π经过点，法向量为，则平面Π就由点和法向量完全确定了(如图9-14).
下面求平面Π的方程．
在平面Π上任取一点，那么向量必与垂直，
所以．由于，，
因此有
(9.5)
平面Π上任一点坐标都满足方程(9.5)，而不在平面Π上的点坐标都不满足该方程，所以方程(9.5)就是所求平面的方程．由于该方程是由平面上一个点和平面的法向量所确定的，因此称方程(9.5)为平面的点法式方程．
【注意】（1） 法向量必须是非零向量，即,,不全为零；
（2）法向量不唯一．若为平面的法向量，则与平行的任何非零向量均为其法向量．
例1 已知两点M1(1,-2, 3)和M2(3,0,-1)，求线段M1M2的垂直平分面的方程．
解 依题意，只须求出M1M2的中点坐标和平面的法向量即可．
设M0 (x0, y0, z0)为线段M1M2的中点，则，而
，，
因此可得M0 (2, -1, 1)．又因向量且垂直于平分面，所以取n = {1, 1, -2}为平分面的法向量，根据平面的点法式方程(9.5)，得所求垂直平分面的方程为
，
即 ．
例2 求过空间三点M1(2, -1, 4), M2(-1, 3, -2)和M3(0, 2, 3)的平面方程．
解 依题意，可取法向量，又
，
所以 ．
根据平面的点法式方程(9.5)，得所求平面的方程为 ，
即 ．
随堂练习
1.一平面通过两点且垂直于平面，求该平面方程.
2.一平面经过点(1,1,1)且同时垂直于两个平面和，求此平面方程．
9.3.2平面的一般式方程
化简平面的点法式方程，得
， (9.6)
其中．可见任意一个平面都可以用一个三元一次方程表示．
反之，任意一个三元一次方程均表示一个平面，
且平面的法向量为．今后称方程(9.6)为平面的一般式方程．
例3 求与平面平行且过点(3, 1, -1)的平面方程．
解 由题意知平面的法向量可作为所求平面的法向量.由点法式得所求平面方程为 ，
即 ．
例4 已知平面Π在三个坐标轴上的截距分别为,,(如图9-15),其中)，求平面的方程．
解 设平面Π的方程为
．
因为,,分别表示平面Π在轴,轴,轴上的截距，
所以平面通过三点，，，即有
，由此得
将, , 代入平面的方程，并消去，便得平面的方程为
． 　 　　 　　　 （9.7）
方程(9.7)叫做平面的截距式方程，a, b, c分别表示平面在x轴，y轴，z轴上的截距．
下面讨论平面一般方程(9.6)中系数A, B, C和常数D有某些为零时，平面位置特点．
(1) 当D = 0时，方程Ax + By + Cz = 0表示一个通过原点的平面．
(2) 当A = 0时，方程变为By + Cz + D = 0，平面的法向量n = {0, B, C}垂直于x轴，所以方程表示一个平行于x轴的平面．同理可知，方程Ax + Cz + D = 0和方程Ax + By + D = 0分别表示平行于y轴和z轴的平面．
(3) 当A = D = 0时，方程By + Cz = 0表示通过x轴的平面．同理Ax + Cz = 0和Ax + By = 0分别表示通过y轴和z轴的平面．
(4) 当A = B = 0时，方程Cz + D=0．因为此平面的法向量n = {0, 0, C}垂直于xOy面，所以平面Cz + D = 0平行于xOy面．同理可知Ax + D = 0和By + D = 0分别表示平行于yOz面和zOx面的平面．
(5) 当A = B = D = 0时，方程z = 0表示xOy面．同理，x = 0和y = 0分别表示yOz面和zOx面．
例5 一平面经过z轴及点M0(4, 5, 1)，求此平面方程．
解 因所求平面经过z轴，故可设其方程为Ax + By = 0，将点M0的坐标代入，得
，即 ，
代入所设平面方程得 ，
消去B，即得所求平面的方程为 5x - 4y = 0．
定义9-3 （两相交平面的夹角）当两平面相交时，将它们法向量的夹角称为两平面的夹角．
【注意】当两平面法向量夹角为钝角时，通常取其补角作为两平面夹角．
设平面Π1和Π2（如图9-16）的方程分别为
Π1：，法向量n1=（A1, B1, C1），
Π2：，法向量n2=（A2, B2, C2）．
根据两向量夹角的余弦公式，平面Π1和Π2夹角θ的余弦为
． (9.8)
由此得平面Π1和Π2垂直的充分必要条件是，即．
平面Π1和Π2平行的充分必要条件是，即．
例6 求两平面和的夹角θ．
解 两平面的法向量分别为n1 =（1, -2, 2）, n2 =（-1, 1, 0），由平面夹角余弦公式(9.8)得 ．
因此两平面的夹角θ为．
9.3.3 点到平面的距离
设平面Π:，为平面外一点，则M0到平面Π的距离为 ． (9.10)
例7 在x轴上求一点，使其与两平面2x – y + z – 7 = 0及x + y + 2z -11= 0等距离．
解 设所求点为(x, 0, 0)，依题意得
，
或 ，
解得x = 6或x = -4，因此所求点为(6,0,0)或(-4,0,0)．
课堂练习
计算平面与平面的夹角，并判别坐标原点到哪个平面距离更近.
小结：
平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。两平面的夹角以及点到平面的距离公式。
作业：
习题9.3 1-5.
任务9.4 空间直线方程
教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点
教学重点：直线方程；直线与平面的综合题
教学难点：直线的几种表达式；直线与平面的综合题
授课学时：2学时
教学内容：
9.4.1 直线的点向式方程
由立体几何可知，过空间一点可以唯一地做出一条直线与已知直线平行．下面根据这个结论来建立空间直线的方程．
称平行于一条直线的任意非零向量为该直线的方向向量，记作s．显然直线的方向向量并不唯一，平行于直线的任一非零向量或直线上的任一非零向量都是该直线的方向向量．
当直线L上一点和它的一个方向向量已知时，直线L就完全确定了．据此来推导直线L的方程．
设点M(x, y, z)为直线L上的任一点，则
．
由于向量与L的方向向量s平行(如图9-17)，从而有
． （9.11）
显然，直线L上任一点的坐标都满足方程(9.11)．直线L外的
点其坐标都不满足方程(9.11)，故式(9.11)是直线L的方程．由于
该方程是由直线上一个点的坐标和直线的方向向量所确定的，因此称为直线的点向式方程，也称为对称式方程或标准方程，其中m, n, p被称作直线的方向数．
【注意】（1） 由于直线上点的坐标选取不唯一，因此直线方程也不唯一．
（2） 直线的标准方程中，由于方向向量≠ ，所以方向数m, n, p不全为零，但其中可以有一个或两个为零．此时约定：当分母为零时，分子必为零．
（3）当m, n, p中有一个为零，例如m = 0时，式(9.11)应理解为
；
当m, n, p中有两个为零，例如m = n = 0时，式(9.11)应理解为
．
说明一点，（3）中的方程组构成了空间直线的一般方程（见下文）.
例1 求经过两点M1 (x1, y1, z1)，M2 (x2, y2, z2)的直线方程．
解 依题意，可取向量为直线的方向向量，即
，
选直线上一点，由直线的点向式方程(9.11)得
． （9.12）
式(9.12)称为直线的两点式方程．
9.4.2 直线的参数方程
在直线的点向式方程中，若引入一变量 (称为参数)，即令
，
则得
． (t为参数) （9.13）
式（9.13）称为直线L的参数方程．若参数t表示时间，则式(9.13)可视为一质点以M0 (x0, y0, z0)为始点，以速度作直线运动的运动方程．
另外，从直线L的参数方程中消去参数t，可得直线L的点向式方程．
例2 过点A (2, -1, 3)作平面x - 2y - 2z + 11 = 0的垂线，求垂线方程及垂足的坐标．
解 取平面的法向量n = (1,-2,-2)作为垂线的方向向量，得垂线方程为
，
化为参数方程 ．
代入平面方程，得t = -1，再代入参数方程中，得垂足坐标为(1,1,5)．
9.4.3 空间直线的一般方程
空间直线可以看作过该直线的两个不重合的平面的交线．设相交两平面方程为
和，
其中系数A1, B1, C1与A2, B2, C2对应不成比例．
如果是这两平面的交线，则上任一点必同时在这两
平面上，如图9-18所示，因而平面上任一点的坐标都满足方程组
． （9.14）
反之，不在直线L上的点，不可能同时位于两个平面上，即不能满足方程组(9.14)．故方程组(9.14)就表示两个平面的交线L，称为直线L的一般方程．
【注意】由于过直线的平面有无穷多个，可以任取两个联立得直线的一般方程．因此直线的一般方程形式不唯一．
由直线的一般方程不易看出直线的方向向量和直线上点的坐标，所以常需要将直线的一般方程转化为点向式方程或参数方程．转化的方法是：首先由式（9.14）求出直线上的一个点，再求出直线的一个方向向量，代入式（9.11）或式（9.13），就得到直线的点向式方程或参数方程．由于平行于式（9.14）中两平面的交线，所以方向向量同时垂直于两平面的法向量和，因此可取．
直线的点向式方程转化为直线的一般式方程的方法是：将点向式方程(9.11)的两个等号所连接的式子写成两个平面方程的联立方程组即可，即
．
化简整理得直线的一般式方程为．
例3 将直线的一般方程化为点向式方程及参数方程．
解 首先，求此直线上一个确定点的坐标．为此可设x = 0，代入原方程组，得
，解得．
于是得该直线上的一个定点(0, -3, -4)．根据式（9.14）得直线的方向向量为
.
因此，直线的点向式方程为
.
令上式等于t，得直线的参数方程为
(t为参数)．
课堂练习
计算通过点且与平面：及： 平行的直线的方程.
9.4.4 两直线的夹角
两直线方向向量的夹角称为两直线的夹角(通常取锐角)．设有两直
；
则直线L1和L2夹角的余弦为．
由此得两直线垂直的充分必要条件是；两直线平行的充分必要条件
是.
例4 已知两直线
， ．
求（1）直线L1和L2的夹角θ；（2）过点(2, 0, -1)且垂直于L1与L2的直线方程．
解 （1）直线L1与L2的方向向量分别为s1 = (1, -4, 1)，s2 =(2, -2, -1)，则由直线夹角的余弦公式得
从而.
（2）设所求直线的方向向量为，由于所求直线与直线L1, L2分别垂直，从而⊥，⊥，故取
．
又因为所求直线过点(2, 0, -1)，所以直线的点向式方程为
，即 ．
9.4.5 直线与平面的夹角
直线L与平面Π的夹角θ定义：直线L与它在平面Π上的投影L′ 所交的锐角(投影L′是指平面Π与过直线L且垂直于平面Π的平面Π′的交线)(如图9-19)．
特别地，规定当L∥Π时，θ= 0；当LΠ时，θ =．
设直线L和平面Π的方程为
，
Π.
与之间的夹角为，则直线L与平面Π的夹角，所以 ． （9.15）
因为直线与平面平行，相当于直线的方向向量与平面的法向量垂直．所以直线L与平面Π平行的充分必要条件为 ，即.同理可得，直线L与平面Π垂直的充分必要条件为∥，即.
例5 求过点且平行于向量的直线与平面的交点以及直线与平面的夹角．
解 依题意知，直线方程为
，
将其化成参数方程，得x = 1 + t, y = 2 - 4t, z = 3 + t（为参数），代入平面方程，解得．再把它代入直线的参数方程中，得
．
所以直线与平面的交点坐标为．
又由直线与平面的夹角公式得
从而 ．
例6 讨论平面Π与直线的位置关系．
解 直线的方向向量与平面的法向量分别为
．
直线与平面Π的夹角正弦为
．
所以．容易验证，直线上的点(0,2,1)满足平面方程，所以直线在平面Π内．
随堂练习
求点到直线的距离.
小结：
本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）。
作业：
习题9.4 1、 2、 3.
任务9.5 曲线与曲面
教学目的：介绍空间曲线的各种表示形式。掌握圆柱面、抛物柱面等方程的结构特征；掌握
旋转曲面方程与它的几何图形；学会用截痕法认识方程所对应的空间几何图形.
教学重点：空间曲线的一般表示形式；空间曲线在坐标面上的投影；截痕法
教学难点：空间曲线在坐标面上的投影
授课学时：2学时
教学内容：
9.5.1 曲面及其方程
前面我们讨论了空间平面和直线的方程问题，而在现实生活中，我们经常会遇到各种曲面，如中国天眼、雷达天线、油品储存罐、建筑物的屋顶、弧形反光板等曲面. 要设计和制造这些曲面，首先要了解这些曲面的性质和方程．这一节我们将讨论空间曲面和曲线的方程，并介绍几种常见的曲面．
在平面解析几何中，我们把曲线看成平面中按照一定规律运动的点的轨迹．同样地，在空间解析几何中，我们把曲面看成空间中按照一定规律运动的点的轨迹．空间动点M (x, y, z)所满足的条件通常可用关于x, y, z的方程F(x, y, z) = 0来表示，这个方程就是曲面方程．
如果曲面S和方程F(x, y, z) = 0之间有下述关系：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程；
（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程，
则称方程F(x, y, z) = 0为曲面S的方程，而称曲面S为该方程的图形(如图9-20所示)．
图9-20 图9-21
例1 一动点M与两点A (1, 2, 3)和B (2, -1, 4)等距离，如图9-21，求动点轨迹方程．
解 设动点M的坐标为(x, y, z)，则有| MA | = | MB |，即
．
两边平方，化简得
，
即为所求动点M的轨迹方程，显然是线段AB的垂直平分面．
9.5.2 常见的曲面及其方程
1球面及球面方程
空间中到定点的距离等于定常数的点的轨迹叫球面，定点叫球心，定常数叫球半径．
例2 求以点M0 (x0, y0, z0)为球心，以R为半径的球面方程．
解 设M(x, y, z)是球面上的任一点，则有| M0M | = R，即
两边平方，得
（9.16）
即为球面方程．特别地，圆心位于原点，半径为R的球面方程为．
例3 方程表示怎样的曲面？
解 经配方，得
，
可见该方程表示一个球心在点(-3, 4, 0)，半径为5的球面．
一般地，三元二次方程
在空间表示一个球面，称为球面的一般方程．具有以下特点：
（1）方程中各平方项x2, y2, z2前的系数相等；
（2）方程中不含x, y, z的交叉相乘项．
2柱面及柱面方程
一动直线L沿定曲线C作平行移动，所形成的曲面称为柱面．定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线(如图9-22)．
图9-22 图9-23
此处只讨论准线位于坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面．
如果柱面的准线是xOy面上的曲线C：f (x, y) = 0，母线平行于z轴，则该柱面的方程为（不含，说明为自由项） (如图9-23)．这是因为，在此柱面上任取一点M(x, y, z)，过点M作平行于轴的直线，此直线与xOy面相交于点P(x, y, 0)，则点P必在准线C上，不论P点的竖坐标取何值，它在xOy面上的横坐标和纵坐标(x, y)必定满足方程f (x, y) = 0，所以点M(x, y, z)也满足方程f (x, y) = 0．反之，不在柱面上的点都不满足方程f (x, y) = 0．因此，方程f (x, y) = 0（为自由项）在空间表示以坐标xOy面上的曲线f (x, y) = 0为准线，以平行于z轴的直线为母线的柱面．
同理，φ(y, z) = 0及ψ(x, z) = 0在空间都表示柱面，其母线分别平行于x轴和y轴．
显然，平面可以看成是准线为直线的柱面．例如平面x + y -1 = 0，可看成一个准线是xOy面上的直线x + y = 1，而母线平行于z轴的柱面(如图9-24)．平面x -1 = 0，可看成一个准线是xOy面上的直线x = 1，而母线平行于y轴或z轴的柱面．
图9-24 图9-25
由此可见，在空间直角坐标系下，缺少变量的方程为柱面方程，且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于那一个坐标轴．
在柱面中，当准线C是某坐标面上的二次曲线时，则称此柱面为二次柱面．如方程
，，，，分别表示母线平行于轴的抛物柱面(如图9-25)、圆柱面（如图9-26）、椭圆柱面(如图9-26)(特别地，当a = b时称为圆柱面)和双曲柱面(如图9-27)．
图9-26 图9-27
3旋转曲面
一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面．平面曲线C称为旋转曲面的母线，定直线L称为该旋转曲面的旋转轴，简称为轴．下面只讨论母线位于某个坐标面，且绕该坐标面的两条坐标轴旋转所形成的旋转曲面．
设C：f (y, z) = 0是yOz面上的一条曲线，这条曲线
绕z轴旋转一周，便得到一个旋转曲面(如图9-28).下面来
求这个旋转曲面的方程．
在旋转曲面上任取一点M(x, y, z)，该点可看成是由母
线C上的点M1(0, y1, z1)绕z轴旋转得到的．由于点M与点
M1的竖坐标相同，且他们到轴的距离相等，所以有
，即． （9.17）
又因为点在母线上，所以．将式（9.17）代入这个方程，得
（9.18）
因此，旋转曲面上任意一点M(x, y, z)的坐标都满足方程(9.18)．如果点M(x, y, z)不在旋转曲面上，则它的坐标就不满足方程(9.18)．所以方程(9.18)就是所求旋转曲面的方程．同理，曲线绕轴旋转一周所成的旋转曲面方程为
一般地，yOz面上的曲线C: f (y, z) = 0绕该坐标面上哪个坐标轴旋转，哪个坐标就不变，而另一坐标只需换成除旋转轴之外其它两个坐标平方和的平方根(注意前面加“”号)，即可得到旋转曲面的方程．如方程z = x2 + y2是由yOz面上的平面曲线z = y2绕轴旋转一周而成的旋转曲面，称为旋转抛物面．
同理，坐标面上的曲线 绕轴或轴旋转一周所得的旋转曲面方程分别为或；面上的曲线绕轴或轴旋转一周，所得的旋转曲面方程分别为或.
例4 已知在yOz面上的一条直线方程为，其中为直线与z轴的夹角，求该直线绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程．
解 由前述方法可知，只要把直线方程中的y换成就可得所求旋转曲面方程，即
或 ，
其中为常数．
此曲面为顶点在原点，对称轴为轴的圆锥面(如图9-29)． 图9-29
课堂练习
1.写出满足下列条件的动点轨迹方程，它们分别表示什么曲面
（1）动点到坐标原点的距离等于它到点的距离的一半；
（2）动点到轴的距离等于它到平面的距离的二倍.
2.已知在xOy面上的一条曲线，求该曲线绕y轴旋转一周所形成的旋转曲面方程．
4常见的二次曲面及其方程
在空间直角坐标系中，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．相应地，把平面叫做一次曲面．显然，圆锥面、旋转抛物面、旋转双曲面、圆柱面、抛物柱面等都是二次曲面．对于空间曲面，我们可以用一系列平行平面去截所给曲面，得到一系列截线，通过对这些截线进行分析，去了解所给曲面的形状轮廓，称这种方法为截痕法．下面用截痕法去研究一些常见二次曲面．
（1） 椭球面： 方程
所表示的曲面称为椭球面，其中a, b, c称为椭球面的半轴(如图9-30)．
由方程可知，曲面关于三个坐标面及原点均对称，且
，，，
即 | x | ≤ a，| y | ≤ b，| z | ≤ c．
说明椭球面完全包含于x =±a, y =±b, z =±c六个平面所围长方体内． 图9-30
用平面x = x1 (| x1 | < a), y = y1 (| y1 | < b), z = z1 (| z1 | < c)分别去截椭球面时，所得的截线都是椭圆．
当a = b = c时，方程退变为x2 + y2 + z2 = a2，表示球心在原点，半径为a的球面．
当a, b, c中仅有两个相等，如a = b时，则方程变为
．
此时方程表示zOx面上椭圆绕z轴旋转所成的旋转椭球面．
(2) 单叶双曲面：方程所表示的曲面称为单叶双曲面(如图9-31)．
显然，曲面关于三个坐标面及原点对称，用平面z = z1去截曲面时，所得截线都是椭圆，且随着| z1|的增大，所得椭圆截线也增大．用平面x = x1或y = y1去截曲面时，所得截线是双曲线．
如果a = b，方程变为，则方程所表示的曲面是单叶旋转双曲面．
图9-31 图9-32
(3) 双叶双曲面： 方程表示的曲面称为双叶双曲面(如图9-32)．
如果a = c，方程变为，则方程所表示曲面是双叶旋转双曲面．
(4) 椭圆抛物面：方程（与同号）所表示的曲面称为椭圆抛物面．
当p > 0, q > 0时，其形状如图9-33所示．
图9-33 图9-34
当p = q时，方程退变为（p > 0），此时方程表示yOz面上抛物线y2 = 2pz绕z轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转抛物面．
(5) 双曲抛物面：方程（与同号）所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面．当p > 0, q > 0时，其形状如图9-34所示．
9.5.3空间曲线及其在坐标面上的投影
1 空间曲线的一般方程
我们知道，空间直线可看作两平面的交线．类似地，空间曲线也可以看作两个曲面的交线．例如，xOy面上的圆x2 + y2 = a2可以看成球面x2 + y2 + z2 = a2与平面z = 0的交线，其方程为
．
一般地，若曲面∑1：F(x,y, z) = 0与曲面∑2：G(x, y, z) = 0相交，则交线可用如下方程组表示.
（9.19）
称该方程组为空间曲线的一般方程．
例5方程组表示怎样的曲线？
解 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面，其准线是
xOy面上的圆x2 + y2 = 1，第二个方程表示一个平面，它与x轴，
y轴和z轴的交点依次为(3, 0, 0)，(0, 2, 0)和(0, 0, 2)．方程组表
示上述平面与圆柱面的交线(如图9-35)．
2 空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的方程为
． (9.20)
要求曲线在xOy面上的投影曲线方程，就要通过曲线上每一点作xOy面的垂线，由这些垂线形成一个母线平行于z轴且准线为曲线的柱面．该柱面与xOy面的交线就是曲线在xOy面上的投影曲线．所以关键在于求这个柱面方程．
由方程组(9.20)消去变量z，得方程
(9.21)
方程(9.21)表示一个母线平行于z轴的柱面，这个柱面必定包含曲线，称该柱面为曲线关于xOy面的投影柱面，它与xOy面的交线就是空间曲线在xOy面上的投影曲线，简称投影．曲线在xOy面上的投影曲线方程为
．
同理，从方程组(9.20)中消去x，得G(y, z) = 0，则曲线在yOz面上的投影曲线方程为
．
从方程组(9.20)中消去y，得到H (x, z) = 0，则曲线在zOx面的投影曲线方程为
．
例6 求曲线在xOy平面上的投影曲线．
解 曲面为上半球面，为圆锥面，消去变量z，得到x2 + y2 = 1．这是曲线关于xOy面的投影柱面，所以曲线在xOy面上的投影曲线方程为 图9-36
，它是xOy面上的一个圆(如图9-36)．
小结：1.空间曲线的一般方程、参数方程：
2.空间曲线在坐标面上的投影
作业：
习题9.5 1、 2 、3.
微视频
向量运算律
图9-7
图9-8
图9-9
图9-10
图9-11
图9-14
图9-15
图9-16
图9-17
图9-18
图9-19
图9-28
图9-35

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