资源简介

项目二 极限与连续
2.1 极限
教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念
内 容：1.数列极限
2.函数极限
教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系
教学难点：极限概念的理解
教 具：多媒体课件
授课时数：2学时
教学过程：
1. 引入新课：
中国春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）于《庄子·天下》中有这样的记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”这句话的意思为：有一根一尺长的木棒，每天截取它的一半，随着天数的增加，木棒的长度会越来越短，但木棒总有剩余，不可穷尽（万世不竭），这反映了两千多年前我国古人就有了初步的极限思想.经过天截取后，剩余木棒的长度依次为，，，…，，当无限增大时，该数列的变化趋势即数列项值最终趋向何值？
2. 教学内容：
一、自变量趋于无穷大时的极限概念
实例1【刘徽的割圆术】早期人们只会计算直边图形的面积（如正方形、矩形、三角形、梯形等），对于圆这种特殊曲边图形能不能转化成直边图形来计算其面积呢？回答是肯定的，但要动起来并且要有“愚公”移山的精神才行。
先将圆周分割作圆内接正六边形（如图1-1所示），其面积记为；再对每段圆弧二等分作圆内接正十二边形，其面积记为；再对每段圆弧二等分作圆内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每分割一次次边数成倍增加，则得到一系列圆内接正多边形的面积，其中表示圆内接正边形
图2-1 的面积，如图2-2所示．另外，每个正多边形的面积都是圆面积的近似值（均可采用初等方法算出），只有不断地分割下去（即无限变大时）才能获得圆面积的精确值.可见，正多边形面积的变化趋势是逼近圆面积（常数）,而正多边形随着边数的无限增大变成了圆.
图2-2
实例2【水温的变化趋势】将一盆100℃的开水放在一间室温为20℃的房间里，水温逐渐降低，随着时间的推移，水温会越来越接近室温20℃.
实例3【盐的溶解度】在室温下，将盐逐渐加入100g的水中，水中盐的含量会逐渐增加.但随着时间的推移，水中盐的含量不可能无限增加，盐水会达到饱和状态.此饱和状态就是时间时水中盐的含量为36g,该数值即为盐的溶解度.
尽管实例1中的变量属于离散型（数列），实例2和实例3中的变量是连续型的，但它们有一个共同的特征：即当自变量逐渐增大时，相应的函数值（实例2中的水温是函数；实例3中的含盐量是函数）会趋于某一个常数.针对这种情况，我们给出下面的定义：
定义2-1 如果当自然数无限增大（即）时，数列无限接近一个确定的常数（唯一）,那么就叫作数列当时的极限，记作
(或当时，).
上式读作数列的极限等于,或读作当时，无限趋近于,此时也称数列收敛于.若数列的极限不存在，则称数列发散．
定义2-2 如果当的绝对值无限增大（即）时，函数无限接近一个确定的常数,那么就叫作函数当时的极限，记作
(或当时，).
上式读作函数在时的极限等于，或读作当时，无限趋近于.在上述定义中，“”表示既取正值而无限增大，也取负值而绝对值无限增大.
如果当（读作“趋于正无穷大”）时，函数无限接近一个确定的常数,那么就叫作函数当时的极限，记作
(或当时，).
如果当（读作“趋于负无穷大”）时，函数无限接近一个确定的常数,那么就叫作函数当时的极限，记作
(或当时，).
定理2-1 的充分必要条件是=存在.
例1 借助数形结合法讨论下列极限的存在性
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）； （6）；（7）．
解 数列、、及在（默认为)时的变化趋势分别如图2-3～图2-6所示.函数、及随时的变化趋势分别如图2-7～图2-9所示.
图2-3 图2-4
EMBED Visio.Drawing.11
图2-5 图2-6
图2-7 图2-8 图2-9
分析与结论：由图2-3和图2-4可看出，当时，.因此，，；
由图2-5知，当时，，所以数列发散（极限不存在）；
从图2-6可知，当以偶数方式趋向无穷大时项值始终为1，所以这种情形下的极限为1；而当以奇数方式趋向无穷大时项值始终为，此时的极限为，出现了“多头”（多目标）现象，故该数列无极限（发散）,即不存在.又如：数列3,0,3,0,3,0,……也无极限.
由图2-7可看出可以看出当时，对应到曲线上的点到轴的距离越来越小，即距离趋近于0，从而；当时，对应到曲线上的点到轴的距离越来越小，即距离趋近于0，从而，因此.
值得注意的是，这点与数列中只能不同.
从图2-8可看出当无限增大（）时，函数曲线越来越接近渐近线，
即对应曲线上的点到渐近线的距离越来越小（趋近于0），也就是说对应的函数值无限靠近，所以； 当无限减小（）时，函数曲线越来越接近渐近线，即对应曲线上的点到渐近线的距离越来越小（趋近于0），也就是说对应的函数值无限靠近，因此有.由定理1知不存在.
由图2-9知：因，所以.
随堂练习
1.用图像法判定下列极限的存在性
（1） ； （2）； （3） ；
（4）； （5）； （6）.
2.学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每周一有A、B两种菜谱可供选择（每人限选一种），调查表明：凡周一选A菜谱的人，下周一会有20%的人改选B菜谱，而选B菜谱的人，下周一有30%的人改选A菜谱。试问，无论原来选A菜谱的人有多少，随着时间的推移，选A菜谱的人将趋近于多少人？
二、自变量无限趋近于点时的极限概念
实例4【人影长度】若一个人沿直线走向路灯，其终点是路灯的正下方，根据生活常识可知，人距离路灯越近，其影子长度越短，当人越来越接近终点时，其影子长度越来越接近0.
如图2-13所示，设路灯的高为,人的高为，人离终点的距离为，人影长为，于是
所以
图2-13
易见，当人越来越接近终点时，即时，也跟着趋近于0.
实例4讨论的是当自变量无限趋近于某一定值时相应的函数值的变化趋势.
这里，(读作“趋近于”)表示无限趋近于定值，它包含三种情况：
1）从大于的一侧趋近于，记作；
2）从小于的一侧趋近于，记作；
3）从的两侧趋近于，记作.
例2 考察当时，函数的变化趋势.
解 由图2-14可以看出，当从3的左侧无限接近于3时，记为，例如取2.9，2.99，2.999，…，→3时，对应的函数取值为
1.97，1.997，1.9997，…，→2；
当从3的右侧无限接近于3时，记为，例如取3.1，3.01，3.001，…，→3时，对应的函数取值为2.03，2.003，2.0003，…，→2.
由此可知，当时，函数的值无限接近于2（与
图2-14 函数在3这点的定义无关).
对于函数的这种变化趋势，给出如下定义：
定义2-3 设函数在的近旁有定义(一般要求函数在的某个去心邻域内有定义)，如果当无限趋近于定点（可以不等于）时,函数值无限趋近于一个确定的常数,那么就叫作函数当时的极限.记作
（或当时，).
【注意】当时，函数的极限是否存在与函数在 =处是否有定义无关.即讨论函数在某点极限的存在性时，不考虑函数在该点有没有定义.
【注意】数列极限不定义点极限(请读者思考这是为什么？）.
例3 讨论下列极限
（1）； （2）
解（1）因为函数是常值函数，即函数值恒等于常数（图略），所以
.
（2）因为函数的函数值与自变量相等(图略)，所以当时函数值也趋近于，因此
.
随堂练习
1.讨论函数（）在时极限的存在性.
2.设函数．当且无限接近于0时，函数极限的存在性.
定理2-2 的充要条件是.
今后称为函数当时的右极限（即自变量从右侧趋近于时的极限）；称为函数当时的左极限（即自变量从左侧趋近于时的极限）.
由例2可知
，，
所以.
例4 判断下列极限的存在性
（1）；（2）；（3）讨论的存在性.
解 点极限的存在性一般要考虑左右极限是否存在、是否相等，必要时可借助图像观察，只有左右极限都存在且相等时才能断定有极限.
（1）参照图2-12， ，，左右极限都存在，但不相等，所以不存在.
（2）由图2-17可看出，当从1的左侧趋近于1时，函数无限减小（）；当从1的右侧趋近于1时，函数无限增大（）。所以不存在，也可以记成.
（3）由图2-18可看出：；
.因 ，所以（存在）.
图2-17 图2-18
【注意】对于分段函数（绝对值函数也是分段函数）分界点处极限的存在性一定要考察左右极限，即要遵循下面的定理2-2.
随堂练习
1. 设函数讨论的存在性.
2. ①计算；②讨论的存在性.
三．小结
1.数列极限.
2.函数极限.
3.极限存在的充要条件.
四．作业
2.2极限的运算
教学目的：掌握极限的性质及运算法则
内 容：1.极限的四则运算
2.极限运算举例
教学重点：掌握不同类型极限的解法
教学难点：极限的运算
教 具：多媒体课件
教学时数：2课时
教学过程：
1. 引入新课：
有了函数极限定义后又如何来计算函数的极限
2. 教学内容：
一、几个常用极限
（1）；（2）（）；（3）(,是常数).
【注意】在自变量的某个变化过程中，只要分子是常数或有界量，而分母能无限变大（趋向正无穷大或趋向负无穷大），则极限一定等于0.这点很重要，可依此求极限（直接写结果）.
例如：；；；；（）；（）；；.
例如：；；；；；（分子有界，分母趋向无穷大）.
仅有常用极限还远远不够，还需要掌握一些极限运算法则才可以，否则将寸步难行
二、极限四则运算法则
定理2-3 设在自变量的同一变化过程中，极限,都存在，则有
（1）；
（2）；
（3）．
【注意】1）对于，,(为自然数）等情形上述法则均成立.
2）法则（1）和法则（2）均可推广到有限个函数的情形．并有如下推论：
推论 （为常数）；
（为正整数）．
例5 求下列数列的极限
①；②；③；④
解：①；
②（第一步裂项很关键）；
错误作法：（只有分子分母都有极限时才能利用法则）；
③
（第一步裂项较合理，意在用乘积法则，后续的作法同②，但决不能采用②的错误作法）.④.
【注意】极限运算法则必须建立在参与运算的数列都要有极限的基础上，如果参与运算的数列没有极限时需恒等变形后再计算.
例6 求下列数列极限
① ；②；③；④；
⑤ ；⑥；⑦
解：①（不能直接用商式法则，因为分子分母都没有极限，属于型；求这类极限必须先对数列进行恒等变形才可以，方法就是分子分母同除的最高次幂，然后再用商式法则求解）；
②（理由同①）；
③ (不能用和差法则，因为减号前后两个数列都没有极限，属于型；求这类极限时必须对数列进行恒等变形，方法是将分母看成1进行分子有理化，有时需要通分才行）；
④（方法同①②）；
⑤（尽管与都能趋向无穷大，但随着增大，的变化速度远快于的变化速度，所以最终趋向无穷大，致使该数列的变化属于型，算法上同①②，分子分母同除于变化速度最快的量）；
⑥=
=（“+”数量随的增大而增大，不能直接用法则，应采用“裂项相消”法求和化简，再用法则）；
⑦（“+”数量随的增大而增大，不能直接用法则,应先利用等比数列求和公式化简，式中为首项，为公式）.
例7求极限
解：所求数列如下不等数成立
由于 ,
又 及.所以
.(这里用到了数列极限的“迫敛性”，即若三个数列满中，且,则.)
例8判断数列收敛性，并求其极限 .
解 记，易见数列是单调递增的, 现用归纳法证明有上界.
显然，假设，则有，从而对一切，，即数列有上界.利用“单调有界数列一定有极限”原理知该数列有极限.
设 , 则有 , 解得.
例9 求极限
解
.
【注意】；（).
例10 求下列极限．
（1） （2）．
解 （1）因为 所以．
（2）当时分子和分母的极限均为零，但可约去公因子（)，即
．
例11 求下列函数的极限
（1） （2）.
解：（1）
（2）．
此类解法称为同除以的最高次幂法.
例12 求下列函数的极限．
（1） ； （2）.
解（1） 当x→3时分子和分母的极限均为零，不能用商的极限运算法则．采用分子有理化，再约去公因式(x-3)，此方法称为消零因子法.即得
．
此题解法称共轭有理式法（适用于有根号且代入自变量趋近值后为型或型的情况）.
（2）当x→1时，两项的极限均不存在，不能用差的极限运算法则．可采用先通分再求极限．
．
【注意】使用极限的四则运算法则时，一定要注意法则条件．只有当各项极限存在且商中还要求分母极限不为零时，才能使用极限的四则运算法则.另外，如果所求极限不能直接运用极限法则时，如“”，“”，“”型未定式等，可采取先对原式进行恒等变形，如采用约分、通分、分子或分母有理化、变量代换、分子与分母同除以分子与分母的最高次方等方法化简，然后利用极限法则求极限.
三．小结
1.极限的四则运算
2.极限的求法
四．作业
P35 2、3、4
2.3两个重要极限
教学目的：掌握利用两个重要极限求极限的方法
内 容：1.
2.
教学重点：利用两个重要极限求极限
教学难点：利用第二重要极限求极限的方法
教 具：多媒体课件
教学时数：2课时
教学过程：
1. 引入新课：
极限的四则运算法则只适用于一些有理分式函数，对于和如何来计算？
2. 教学内容：
有两类函数极限，它们风格迵异，但在实际应用和工程科学计算中发挥着重要作用.下面分别介绍这两类极限．
一． 第一个重要极限
由图2-19 可看出，当时，函数，即 ，此极限称为重要极限.
图2-19
需要指出的是，极限是“”型结构，为强调其形式，可将其进一步推广为
.
式中：当（可以是，，，，，）时，.结构特点：①型；②正弦符号后的函数和分母上的函数相同.例如.
试问：对吗？（错，不是型,应等于0）.
例1求下列函数极限
①； ②； ③；
④；⑤； ⑥.
解 ①（型，结构与重要极限相近，通过恒等变形可化成重要极限的标准形式）；
②（型，利用三角函数的诱导公式化成重要极限的标准形式）；
③（型可转化成型，结构标准化）；
试问：成立吗？（不成立，要看是不是型.）
④
（三角函数的型，大多数能转化成重要极限，恒等变形很关键）.
⑤.
⑥（用公式转化成重要极限）.
【注意】能否用重要极限，关键看将函数形式化成后是不是型，熟记一些三角公式是很重要的.
随堂练习
利用重要极限计算下列各题：
①；②；③；④
答案与提示：①；②；③；④（③的解答要用到公式）.
二、第二个重要极限
或.
表2-1列出了函数在的绝对值无限增大时的一些函数值.
表2-1 的函数值
10 100 1000 10000 100000 1000000 …
2.59374 2.70481 2.71692 2.71815 2.71827 2.71828 …
-10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000 …
2.86797 2.73200 2.71964 2.71842 2.71830 2.71828 …
从表2-1可以看出，当时，函数的值越来越接近于无理数（2.718281828459045…）.
重要极限可进一步推广为
,
上式中当（可以是，，，，，）时，.其结构特点为型.这也是无理数的一个来源.
为了便于记忆，可以将此类极限的本质特征总结成以下四点：
（1）函数有1；（2）1后面要有+号；（3）+号后面的变量一定趋于0；（4）次数与+后面的变量要互为倒数.符合这四点，那么极限值就为.
例2 利用第二类重要极限求下列极限
①；②；③；④；⑤..
解 ①（利用将函数结构化成标准形，以下类似）；
②；
③（用到了指数运算法则：）；
④
.
⑤（本例用到了，即正割和余弦互倒关系，变换后知是型，可用重要极限）.
随堂练习
利用重要极限计算下列函数的极限．
（1）；（2）；（3） ；（4）.
三．小结
两个公式的应用：
1.
2.
四．作业
（2）（3）（4）（5）（6）
2.4无穷小量与无穷大量
教学目的：理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小、无穷大之间的关系，掌握他们的性质及无穷小的比较
内 容：1.无穷小与无穷大
2.无穷小的性质
3.无穷小的比较
教学重点：无穷小与无穷大的概念
教学难点：无穷小与无穷大有关性质，等价无穷小的应用
教 具：多媒体课件
授课时数：2课时
教学过程：
1. 引入新课：
根据函数极限的两种特殊结果来给出无穷小和无穷大的定义
2. 教学内容：
在实际问题中，经常会遇到两种特殊类型的极限：一是在自变量的某一变化过程中，函数f(x)的绝对值“无限变小”，即极限为零；二是在自变量的某一变化过程中，函数f(x)的绝对值“无限变大”，即极限为无穷大．下面分别讨论这两种情形．
一、 无穷小量
1. 无穷小量的定义
实例1【容器中的空气含量】一个容器中装满了空气，用抽气机来抽容器中的空气，在抽气过程中，容器中的空气含量随着抽气时间的增加而逐渐减少并趋近于零.
在对许多事物进行研究时，常遇到事物数量逐渐趋近于零的情形.对于这种变量，给出下面的定义.
定义2-4 如果在自变量的某一变化过程中，函数的极限为零，则称函数是自变量在该变化过程中的一个无穷小量，简称无穷小.
上述定义可表述为：若，则称为时的无穷小量．其中的括弧中可以添加不同的极限过程.例如，函数是时的无穷小，函数是时的无穷小．
【注意】（1）无穷小量是以零为极限的函数，不是指很小很小的数，也不是指负无穷大.当我们说函数是无穷小量时，必须同时指明自变量的变化趋向.
例如，当时，函数是无穷小量，而当时，函数就不是无穷小量.
（2）常数中只有“0”是无穷小量，这是因为.对于其他常数，尽管它的值可以很小，因其值已取定（不为零），极限都不是0，因此都不能说成是无穷小量.
2.函数、极限与无穷小的关系
设，则当时，必有．若记，则当时为无穷小量，且．于是得到有极限的变量与无穷小量的关系：
定理2-4 的充分必要条件是(其中)．
定理2-4表明在自变量的某个变化过程中，如果函数有极限，则该函数可以表示成它的极限值与一个无穷小量的和；反之，如果函数能够表示成一个常数与一个无穷小量的和，那么该常数就是这个函数的极限．
3.无穷小的性质
性质1 两个无穷小量的和（或差）是无穷小；
性质2两个无穷小量的乘积是无穷小；
性质3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小.
【注意】利用性质3可以求一些函数的极限.
例1 求下列函数的极限
（1）；（2）；（3）
解：因为，即当时是无穷小量，而，即是有界函数，所以，由性质3得，当时是无穷小量，即
.
（2）.因为在内，，所以函数在内是有界函数.因为，所以函数是时的无穷小.根据性质3知.
（3）.
由此说明无穷多个无穷小之和不一定是无穷小．
随堂练习
计算①；②；③.
提示与答案：① 0；② 0;③ 0.
二、 无穷大量
1. 无穷大量的定义
实例2【存款本利和】小张有本金,银行的一年期存款利率为，到期自动转存，不考虑个人所得税，第年，小张所得的本利和为，存款时间越长，本利和越多，当存款时间无限延长时，本利和将无限增大.
定义2-5 在自变量的某一变化过程中，若函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数是自变量在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大．记作．
例如，当时，是无穷大量；当时，也是无穷大量；当时，
是无穷大量.
【注意】（1）当我们说函数是无穷大量，必须同时指明自变量的变化趋势.例如，当时，函数是无穷大量，但当时，函数就是无穷小量.
（2）一定要把绝对值很大的数与无穷大量区分开来.绝对值很大的数，其绝对值无论多么大都是常数，不会随着自变量的变化而无限增大，所以都不是无穷大量.
（3）无穷大量不趋向于任何确定的常数，所以无穷大量的极限不存在．此时只是一种记号，其实际意义表示当x→( )时，| f (x) |无限增大；
（4）两个无穷大的和、差、商的极限没有确定的结果．
例2 当时，取正值而且无限增大，所以称为时的正无穷大量，记作．
例3 当时，取负值但其绝对值无限增大，所以称为时的负无穷大量，即．
随堂练习
下列函数在什么情况下是无穷小或无穷大
①当 时，是无穷小；②对于函数，当 时是无穷大，当 时是无穷小.
提示与答案：①2或；②或，或.
2. 无穷大量与无穷小量的关系
为了说明无穷大量与无穷小量的关系，我们先看下面的例子.
当时，函数是无穷小量，而函数则是无穷大量；
当时，函数是无穷大量，而函数是无穷小量.
一般地，在自变量的同一变化过程中，如果是无穷大量，那么是无穷小量；如果是无穷小量，且，那么是无穷大量.
例4 求极限.
解 因为当时，分母的极限为0，所以不能运用极限运算法则.而极限
=0，
即当时，是无穷小量，所以时，是无穷大量，即
.
例5 求极限
解：因为当时，，的极限都不存在，所以不能运用极限运算法则，而
，
即当时，是无穷小量，那么当时，是无穷大量，因此，
.
说明一点，例4与例5的解法可称为“颠倒法”，适用于型或型的情况.
三、 无穷小量的比较
无穷小量虽然都是趋近于0的变量，但不同的无穷小量趋近于0的速度却不一定相同，有时可能差别很大.
如当时，，，都是无穷小量，但它们趋近于0的速度却不一样，如表2-2所列.
表2-2 不同无穷小量趋近于0的速度
取值 1 0.5 0.1 0.01 0.001 …
的值 1 0.5 0.1 0.01 0.001 …
2的值 2 1 0.2 0.02 0.002 …
2 1 0.25 0.01 0.0001 0.000001 …
显然，比与趋近于0的速度都快得多.快慢是相对的，是相互比较而言的.下面通过比较两无穷小量趋近于0的速度引入无穷小量的阶的概念.
定义2-6 设，（极限过程可换成等）.
若，则称当时，是比较高阶的无穷小量，记作.
若，则称当时，是比较低阶的无穷小量.
若（为常数），则称当时，与是同阶无穷小量.特别当时，称与是等阶无穷小量，记作～.
例如，因为，所以，当时，,是比低阶的无穷小，与是同阶无穷小，～．
【注意】两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量，但两个无穷小量的商就不一定是无穷小量.
等价无穷小在求极限过程中具有重要的作用，对此有下面的等价无穷小代换定理：
定理2-5 设在自变量的同一变化过程中，
．
即在商式极限运算中，分子、分母中的无穷小量因子可用与其等价的无穷小量来替代，函数的极限值不变.常用的等价无穷小量有：
当时，～；～；～；～；
～；～；～；～．
例6 求下列极限
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解 （1）由于时，～，～，则．
（2）由于时，～，于是．
（3）由于时，～，～，所以
．
（4）由于时，～，～，～，于是
．
【注意】等价无穷小代换只能对分子或分母中的因式进行代换．若极限式中分子或分母中的无穷小是以和或差的形式出现时，则不能代换，否则将可能导致错误的结果．如上例中，若与分别用其等价无穷小代换，将导致如下错误的结果
．
另外，还可以利用等价无穷小进行近似计算：
例如不通过计算器或数学用表计算，因为（），所以.又（）。说明一点：在利用等价式进行近似计算时，要求尽可能小，一般不超过0.05.
随堂练习
1.利用无穷小等价代换求下列极限
①；②；③.
2.当时，试判断与哪个是高阶无穷小.
3.为何值时，与在时是等价无穷小？
答案：1.① ，② ，③ ；2.；3..
四．小结
1.无穷小与无穷大的概念.
2.无穷小的比较.
3.等价无穷小的替换.
五．作业
P44 3、5、7
2.5 连续性
教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质
内 容：1.连续与间断
2.连续函数的性质与初等函数的连续性
3.闭区间上连续函数的性质
教学重点：连续的定义，间断点的分类
教学难点：会判断函数在某一点处是否连续
教 具：多媒体课件
授课时数：2课时
教学过程：
1. 引入新课：
本节介绍连续函数的一些性质
2. 教学内容：
一、连续函数的概念
连续性是函数的重要性质之一，它反映了许多自然现象的一个共性.例如水的流动、气温的变化、动植物的生长、空气的流动等，都是随着时间而连续不断地变化着.这些现象反映在数学上，就是函数的连续性.
实例1【气温变化】温度是时间的函数，时间改变很小时，相应的温度改变也很小.如果此时温度是C，再过１秒钟后，我们能否感受到温度的改变吗？显然不能，究其原因是温度的改变量很小以致让我们没有觉察到.这表明温度函数是时间的连续函数，不会出现断崖式或脉冲式变化现象（如果出现这种现象，说明温度变化非连续）.
实例2【身高的增长】婴儿的身高是时间的函数．当时间段很小时（比如一晚上），身高的增长量也很小（几乎察觉不出），而且时间的改变量越小，身高的改变量也就越小．这表明人的身高是随时间变化而连续变化，不会出现之夜间长高的现象，几年后再看身高明显增高.
再看几个函数图像（如图2-20）.
（a） （b）
（c） （d）
图2-20
以上四图中，只有图2-20d中r的函数图像能够一笔画完，其他三图中的函数图像需要两笔或两笔以上才能画完.造成这种情况的原因是其他三图中的函数图像在处间断（用横坐标描述），今后称此为间断点；而图2-20d中的函数图像则在处连续（也用横坐标描述），今后称此为连续点。下面用极限来描述连续和间断.
从图2-20可看出(函数在无定义，但极限存在）；从图2-20b可看出（函数在有定义，但极限不等于定义）；从图2-20c可看出不存在(左右极限存在，但不相等）；从图2-20d可看出（极限存在且等于定义）.
由此可见，函数在要处连续，必须满足如下三个条件：
1）函数在及其近旁（即某个邻域）有定义（无定义必间断）；
2）函数在有极限（无极限必间断）；
3）函数在有极限，且极限等于定义，即 成立.
下面给出连续的定义:
定义2-7 设函数在点的某个邻域内有定义，如果当时，函数的极限存在，且等于在点处的函数值，即，则称函数在点处连续.
如果，则称函数在点处左连续.
如果，则称函数在点处右连续.
函数在点处连续的充要条件是在点处既左连续又右连续.从而有下面的定理.
【注意】函数在某点处极限的存在性不涉及该点处的定义，而连续性涉及该点处的定义.
定理2-6 函数在点处连续 .
例1 判断函数在处的连续性.
解 ，又，所以，从而说明函数在处连续.
例2 判断下列函数在给定点的连续性
①讨论在处的连续性。
②当为何值时在处连续？
解 ①因为，
，又因为，所以
，从而，即在处连续性.
②因为，
，又因为 ，
所以，仅当时，才有，即，说明在处连续性.
例3 函数在点处无定义，所以是它的间断点．但，如果补充定义，令则函数在点处连续，我们称此类间断点为函数的可去间断点．
例4函数在点处有定义，但，所以是函数的间断点(如图2-21)．如果改变函数f(x)在x=1处的定义，令，则函数在x =1处连续．故x =1也是函数f(x)的可去间断点．
图2-21 图2-22
例5设函数．因为f(x)在分段点处的左、右极限
,
虽然存在但不相等，所以极限不存在，因此是的间断点．从函数图像可以看到(如图2.7.3)，函数f(x)在点处产生了跳跃现象，于是我们称是函数的跳跃间断点，且称= 2为跳跃度．
例6函数在点处无定义，所以是函数的间断点．由于，则称是该函数的无穷间断点．
例7函数在点处无定义，所以是它的间断点．当时，在-1到1之间作无限次振荡(如图 2-23)．这样的间断点称为振荡间断点．
随堂练习
（1）1.若，，又在连续，则 .
（2）若 讨论在的连续性.
（3）讨论函数在点处的连续性.
（4）求的间断点.
答案与提示：（1）(用连续定义求解)；（2）不连续（依定理2-6判断）；（3）连续；（4），（函数在这两个点处无定义）.
另外，函数连续性还可以用增量形式来定义.若自变量由初始值变到（称为终值或末值），如图2-24所示，所产生的偏差（增量）
记成，则，并称作自变量的增量.
显然可正可负（终值大于初值时增量为正，反之为负）,也可以是零.
相应地，函数的终值与初值之差称为函数的增量,记为.
当自变量的终值用表示时，则.显然变量可用它的初始值和增量表示：.相应函数的增量.
例8 设，求适合下列条件的自变量的增量和函数的增量.
（1）从1变到1.5时；（2）从1变到0.5时；（3）从1变到时.
解（1），
（2），
（3），
结合实例1与实例2给出连续性的增量定义.
定义2-8 设函数在点的某个邻域内有定义，如果在处自 变量的增量 x趋近于0时，相应函数值的增量也趋近于0，即，则称函数在点处连续．定义2-8可用图2-25a描述.
　　　
　　　　　　　
　　　　
（a） （b）
图2-25
从图2-25a可看出时，，表明函数在连续；从图2-25b可看出时，并不趋近于0，所以函数在不连续.
例9 利用定义证明函数在点处连续.
证明 在处给自变量一个增量，由例1知，相应函数的增量为，
于是，所以，函数在点的连续.
随堂练习
（1），自变量由1变到1.5，求和.
（2），自变量的初值，增量，求，并判断函数在处的连续性.
二、函数在开区间内和闭区间上的连续性
如果函数在开区间内每一点都连续，则称在区间上连续；或对，都有成立，则称在开区间上连续，如图2-26a所示.区间(a,b)称为函数的连续区间.
（a） （b）
图2-26
如果函数在开区间内连续，且（函数在点右连续），（函数在点左连续），则称函数在闭区间上连续，如图2-26b所示.区间[a,b]称为函数的连续区间.
三、初等函数的连续性
定理2-7 初等函数在其定义区间上连续.
例如：函数在区间上连续；函数在区间上连续.此定理表明：
（1）求初等函数的连续区间，其实质就是求出它的定义区间；
（2）对分段函数，除考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分段点处的连续性；
（3）若f(x)是初等函数，其定义区间为D，则对任何x0∈D，都有
，
从而提供了一种求极限的方法：初等函数在其定义区间内某点处的极限值等于函数在该点处的函数值．
另外，对于初等复合函数，如果外层函数在里层函数的极限处连续，则.即求复合函数f [φ(x)]的极限时，极限符号和函数符号可以交换次序．例如
．
例10 求极限．
解 因为是初等函数，且在处有定义，所以
．
例11 当a,b分别为何值时，下列函数在上连续
．
解 因为f(x)在与上都是初等函数，由初等函数的连续性知, f(x)在与上都连续．在分段点点x = 0处，f(0)= b，又
，．
因为当时，函数f(x)在点x = 0处连续，由此得
，解得．
因此当时，函数f(x)在点x = 0处连续．
综上所述，当时，函数f(x)在上连续．
例12求下列函数的连续区间
（1）；（2）。
解：（1）函数在实数集内除在及处无意义外处处有意义，又因为函数是初等函数，所以在其定义区间上连续，故所求连续区间：,和.
（3）因为函数是初等函数，所以函数在其定义区间上连续，函数的定义区间为，和，这三个区间就是所求连续区间.
四、闭区间上连续函数的性质
在闭区间上连续的函数有很多重要的性质，这些性质的几何直观是非常明显，对于这些性质我们都不加证明，仅作必要的几何解释．
定理2-8 (最值定理) 闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值．
【注意】：定理的条件是充分的，即在定理的条件满足时，函数一定在闭区间上取得最大值和最小值．但当定理的条件不全满足时，函数不一定在区间上取得最大值和最小值．
设f(x)在[a,b]上连续，它的最大值为M，最小值为m，则对任何x∈[a,b]，都有m ≤ f(x) ≤ M，若取K = max{|m|, |M|}，则对任意的x∈[a,b]，都有|f(x)|≤ K，即f(x)在[a,b]上有界，于是得到有界性定理2-9.
定理2-9 (有界性定理) 闭区间上连续的函数在该区间上一定有界．
对于闭区间[a,b]上的连续函数y = f(x)，当f (a) ≠ f (b)且μ介于f(a)与f(b)之间时，连续曲线y = f(x)的两端点A(a,f(a))与B(b,f(b))位于水平线y = μ的两侧，因此曲线y = f(x)与直线y = μ必有交点（如图2-27a）．于是得介值性定理2-10.
定理2.9.3 (介值定理) 设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f (a) ≠ f (b)，则对介于f(a)与f(b)之间的任何数，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)= μ．
推论 (零点存在定理) 设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)< 0，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f (ξ) = 0（如图2-27b）．
换句话说，在推论条件下，方程f(x)= 0在开区间(a,b)内至少有一个实根．
（a） （b）
图2-27
例13 证明方程在与之间有实根．
证明 设，显然在[0,]上连续，且
所以由根的存在性定理知，至少存在一点，使得，即方程在内至少有一个实根．
五、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件.
2.区间上的连续函数.
3.闭区间上连续函数的性质.
六、作业：
P50 2 ； P53 3.
图2-23
图2-24

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