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项目六 定积分
任务6.1 定积分的概念与性质
教学目的：理解定积分的概念、性质及其几何意义
教学重点：定积分解决实际问题的思想、方法
教学难点：定积分解决实际问题的数学思想
授课时数：2学时
教学内容：
6.1.1 定积分概念的引入——两个实例
实例1 曲边梯形面积的计算
曲边梯形是指由三条直线段(其中两条互相平行，第三条(叫做底边)与前两条垂直)和一条曲线弧(叫做曲边，曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点)围成的封闭的平面图形(如图6-2)．
任意曲线围成的平面图形（如图6-3所示）的面积计算，都可以归结为曲边梯形面积的计算，所以，首先研究曲边梯形的面积．
在直角坐标系中，设曲边梯形是由区间上的连续曲线，直线及轴所围成(如图6-4)，下面讨论其面积的计算方法．
从几何直观上看，这个曲边梯形的面积是存在的．我们的问题是：怎样精确计算这个面积？
首先，不难看出，该曲边梯形面积取决于区间及在这个区间上的函数.如果在区间上是常数，此时曲边梯形为矩形,其面积等于.现在的问题是在区间上不是常数，而是变化着的，因此它的面积不能简单地利用矩形面积公式计算. 但是，由于是区间上的连续函数，当变化不大时，变化也不大，因此如果将区间分割成许多小区间，相应地将曲边梯形分割成许多小曲边梯形，每个小区间上对应的小曲边梯形面积近似地看成小矩形，所有的小矩形面积的和，就是整个曲边梯形面积的近似值. 显然分割越细，每个小曲边梯形的顶部越顶，即每个小曲边梯形越接近小矩形，从而误差就越小. 因此，将区间无限地细分，并使每个小曲边梯形的底边长都趋近于零，则小矩形面积之和的极限就可定义为所要求曲边梯形的面积.
根据以上分析，曲边梯形的面积可按下述步骤来计算：
（1）分割（大化小）：任取分点，把区间分成个小区间，每个小区间的长度记作.过每一个分点作垂直于轴的直线段，把曲边梯形分成个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积记作.
（2）近似（直代曲）：在每个小区间上任取一点，以为底，为高的小矩形的面积，作为相应的小曲边梯形面积的近似值，即
；
（3） 求和（近似和）：把个小曲边梯形面积的近似值累加起来，就得到曲边梯形面积的近似值，即
；
（4） 取极限：若记，则当时，所有小区间的长度都趋于零．如果上述和式的极限存在，这个极限值就是曲边梯形面积的精确值，即
．
实例2 变速直线运动的路程
设一质点作变速直线运动，已知速度是时间在区间上的连续函数，且，计算质点在这段时间内经过的路程．
由于速度是变量，即速度随时间而变化，因此，路程不能直接用“速度×时间”来计算. 但是，若把时间区间分成许多小时间段，因质点运动的速度是连续变化的，则在每个小段时间内，速度变化不大，可以近似地看作是匀速的. 于是，在时间间隔很短的条件下，可以用“匀速”近似地代替“变速”，从而求得每一小段时间内路程的近似值，将各小段上的路程的近似值相加，可得到整个时间段内路程的近似值. 最后通过对时间间隔无限细分即取极限就可得到路程的精确值．具体计算步骤如下：
（1）分割（大化小）：任取分点，把区间分成个小区间，记每个小区间的长度为；
（2） 近似（常代变）：任取一时刻，用来近似代替上各个时刻的速度（看成匀速运动），于是在时间间隔内质点所走过的路程的近似值为
；
（3）求和（近似和）：把段时间上的路程的近似值相加，就得到总路程的近似值，即
；
（4） 取极限：记，如果当时，所有时间区间的长度都趋于零．如果上述和式的极限存在，该极限值就是质点在时间间隔上所经过的路程的精确值，即
．
类似的例子在物理学、经济学、流体力学及工程技术等领域还有很多. 虽然这些问题的实际意义不同，但解决问题的思路、方法和具体步骤都相同，最终都归结为函数在某一区间上的一种特定和式的极限，为了研究这类和式的极限，给出下面的定义．
6.1.2 定积分的定义
定义6-1设函数在区间上有定义，在中任意插入个分点，把区间任意分割成个小区间，小区间的长度记作，记.在每个小区间上任取一点，作和式. 当时，若极限存在（这个极限值与区间的分法及点的取法无关），则称函数在上可积，并称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即
.
其中，称为积分变量，“”称为被积函数，“”称为被积表达式， 称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间.
根据定积分的定义，前面所讨论的两个实际问题可分别表述如下：
1）曲线（），轴与直线和所围成的曲边梯形的面积等于在区间上的定积分，即.
2）速度为的质点在时间段上经过的路程等于速度函数在时间段上的定积分，即 .
关于定积分的定义作以下几点说明：
（1）闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的.
（2）定积分是一个数值，它的大小仅与被积函数和积分区间有关，而与积分区间的分法、点的选取方法以及积分变量的符号无关.即：
（3）我们规定：和
（4）“分割-近似-求和-取极限”是定积分的思想方法.
6.1.3 定积分的几何意义
（1） 如果函数在区间上连续，且，则定积分在几何上表示由曲线与直线，，所围成的曲边梯形的面积,即
．
（2）如果函数在区间上连续，且, 则定积分在几何上表示由曲线与直线，，所围成的曲边梯形面积的相反数，即 .
（3）如果在上既可取正值又可取负值，那么函数的图形有部分位于轴上方，有部分位于轴的下方，此时定积分在几何上表示由曲线与直线，，所围成的曲边梯形的面积的代数和，即位于轴上方的图形面积减去位于轴下方的图形面积（如图6-5示）.即 (,,分别为区间，，对应的图形面积）.
例1 用定积分表示图中阴影部分面积.
图6-6 图6-7 图6-8
解 图6-6中的阴影部分是由曲线与直线及轴所围，且在轴上方，由定积分的几何意义知阴影部分面积；
图6-7中的阴影部分是由曲线与直线，及轴所围成，由定积分几何意义知阴影部分面积（在上是非正的，此区间上的面积等于）. 错解：.
图6-8中的阴影部分是由椭圆所围，根据椭圆的对称性，只需用定积分表示出第一象限的面积，再乘以即可.易知积分区间为，被积函数为，故面积.
例2用定积分几何意义求下列积分.
图6-9 图6-10
（1） ； （2）.
解（1）的被积函数为，积分区间为，由定积分几何意义知，表示的是由直线及轴所围成的矩形（特殊的梯形）面积，如图6-9所示，此矩形的宽为，高为1. 所以 .
（2）的被积函数为，积分区间为，在积分区间上被积函数非负，由定积分几何意义知，表示的是由直线，，及轴所围成的直角三角形（特殊的梯形）面积，如图6-10所示，所以
.
6.1.4定积分的性质
由定义知，定积分是和式的极限，由极限的运算法则，可推导出定积分的性质.涉及到的函数在所给定的区间上都是可积的.
性质1若在区间上可积，则在上也可积，且
.
这个性质可以推广到有限个连续函数的代数和的定积分.
性质2 若在区间上可积，为任意常数，则在上也可积，且
.
说明一点： 性质1和性质2合称为线性性质，可以合写成
，
其中是常数.
性质3（可加性）对任意的点，有
【注意】如图6-11所示，在性质中的任意性意味着不论是在之内，还是在之外，这一性质均成立. 此性质主要用于计算分段函数的定积分.
例3 利用定积分几何意义求.
解 因为，其图像如图6-12所示.由性质知
.由定积分的几何意义知，表示的是由轴，轴以及直线围成的等腰直角三角形的面积；表示的是由轴，轴以及直线围成的等腰直角三角形的面积.故有，，所以
.
随堂练习
1利用定积分几何意义求①；② .
性质4 如果被积函数(为常数),则.
特别地,当时，有.
性质5（积分的保序性）如果在区间上，恒有，则
推论1 设在区间上可积，若，则.若，则.
推论2若在区间上可积，且，则．
例4 比较定积分与的大小.
解 因为在区间上有，由定积分的保序性,得 .
例如 在上，所以；而在上，即.
性质6（积分估值不等式）如果函数在区间上有最大值和最小值,则
.
例5 估计定积分的值.
解 设,，令，得驻点，比较及区间端点的函数值，有,.
显然在区间上连续，则在上的最小值为，最大值为，由定积分的估值不等式，得.
性质7 (积分中值定理) 如果函数在区间上连续，则在内至少有一点,使得
， .
【注意】性质7的几何意义是:由曲线，与直线，和轴所围成的曲边梯形的面积等于区间上某个矩形的面积，这个矩形的底是区间，矩形的高为区间内某一点处的函数值，如图6-15所示.
显然，由性质7可得，称为函数在区间上的平均值，这是求有限个数的平均值的拓广.
性质8(对称区间上奇偶函数的积分性质) 设在对称区间上连续,则有
①如果为奇函数,则（如图6-16所示）；
②如果为偶函数,则（如图6-17所示）.
例如 ，.
随堂练习
2.求.
小结：
①重述定积分的定义；②注意其中的两个“任意”③涉及对连续变量的累积，一般采用分割，近似求和，取极限的方法进而归结到求定积分。
掌握上面各性质
作业：
习题6.1 1、 2、 3、 4、 5.
任务6.2 微积分基本定理
教学目的：掌握微积分基本公式及其应用
教学重点：牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式的应用
教学难点：牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式的应用
授课时数：2学时
教学内容：
计算函数在区间上的定积分可以用定积分的定义，即求特殊和式极限的方法，但这样方法比较烦琐.如果被积函数复杂一些，计算难度就更大了.因此，这种方法并不能很好地解决定积分的计算问题，必须寻求更加简单而有效的计算定积分的方法．
由定积分的定义知，以速度作变速直线运动的质点，在时间间隔上所经过的路程为
．
因为在时间间隔上所经过的路程又可以表示为
．
因此可得
．
由导数的物理学意义可知，即是的一个原函数．因此，函数在区间上的定积分等于它的一个原函数在区间上的改变量．
从这个具体问题得出的结论，在一定条件下具有普遍意义. 这不但说明了定积分与不定积分（原函数）之间有密切关系，而更重要的是提供了由原函数计算定积分的方法．为此我们先来研究一种函数.
6.2.1 积分上限函数及其导数
设函数在上连续，为区间上的一点，则积分存在，此时既表示积分上限，又表示积分变量．因定积分与积分变量无关，为避免混淆，把积分变量改用表示，则上面的定积分可以写成．
定义6-2 如果函数在区间上连续，那么在区间上每
取一点值，都有一个唯一确定的定积分值与之相对应，
所以在区间上定义了一个关于上限的函数，记作，即　
．
称函数为变上限积分函数，也称积分上限函数（如图6-18）.关于积分上限函数具有以下重要结论.
定理6-1 （微积分基本定理）如果函数在区间上连续，则变上限积分函数在区间上可导，且其导数为　　
．
定理6-1表明，是连续函数的一个原函数，因此可得：
定理6-2 (原函数存在定理) 如果函数在区间上连续，则变上限积分函数就是函数在区间上的一个原函数．
定理6-2解决了原函数的存在问题，同时揭示了定积分与被积函数原函数之间的关系，为我们寻求定积分的简便算法提供了理论依据．
变限函数求导的一般公式为
例1 计算下列各题．
（1）；（2）；（3）； （4）
解 （1）．
（2）令，则．由复合函数求导法则，得
．
一般地，若在区间上连续，在区间上可导，则有
．
（3）因为当时，该极限属于“”型，可用洛必达法则求该极限，即
．
（4）.
例2 讨论函数的单调区间与极值．
解 该函数的定义域为，．
令，得驻点．当时，，即函数在区间上单调减少；当时，，则函数在区间上单调增加. 因此，函数在处取得极小值．
随堂练习
1..
2. 设，求和.
6.2.2 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式
根据定理6-2我们可以得出下面的重要定理（证明略），该定理给出了用原函数计算定积分的公式.
定理6-3 如果函数在区间上连续，是在上的任一个原函数，则
．
定理6-3给出的公式称作牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式，也称为微积分基本公式．它揭示了定积分与不定积分的联系，为定积分的计算提供了一个有效方法．
为了方便起见，通常将简记为或，于是公式又可记作
.
【注意】 公式对的情形同样成立．
由牛顿-莱布尼茨公式可知，求连续函数在区间上的定积分，只需求出在区间上的任一个原函数，并计算它在两端点处的函数值之差即可．
例3 计算下列定积分：
（1）； （2）； （3）．
（4），其中．
解 （1）．
（2）．
（3）
　
．
（4）．
随堂练习
3.求下列定积分
（1）； （2）； （3）；
（4）设 ，求 .
6.2.3 专业应用案例
例 4 设电流强度试用定积分表示从到时间段内流过导线横截面的电荷量.
解 电荷量表示为
.
小结：
本节介绍了变限积分的定义和微积分基本公式。要求理解变限积分的定义，熟练掌握微积分基本公式。重点是熟练掌握微积分基本公式，难点是变限积分形式的复合函数的应用.
作业：
习题6.2 1、 2、 3、 4.
任务6.3 定积分的计算方法
教学目的：掌握换元积分法、分步积分法
教学重点：熟练运用换元积分、分步积分法
教学难点：灵活运用换元法、分步积分法
授课时数：3学时
教学内容：
由上节牛顿—莱布尼茨公式可知，求定积分的关键在于求对应的不定积分（被积函数的原函数）.因此，将求不定积分的方法移植到定积分上，就可以得到定积分的的换元法和分部积分法.
6.3.1 定积分的第一类换元积分法
设函数在区间上连续，，是的一个原函数，且，，则
或 .
【注意】（1）要换元就一定要换限，原则是：上限换上限，下限换下限.（2）定积分的第一类换元积分法不必回代，只要把新变量的上、下限分别代入，然后相减就行了.
例1 计算下列定积分
（1） （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）.
解（1）；
（2）
令 ， 因为时，，且时，
所以 ；
或 （因为没换元，所以积分上下限不变.熟练后这样做较简单）.
（3） （令）
；
或 .
（4）；
（5）；
（6）.
随堂练习
1.计算下列定积分
（1）； （2）；（3）； （4）.
6.3.2 定积分的第二类换元积分法
设函数在区间上连续，函数满足：
（1）在上具有连续的导数；
（2），，且当在上变化时，函数的值在上变化；
（3）函数是函数的一个原函数，则
.
例2 计算下列定积分
（1）； （2）； （3）.
解（1）令，则，.当时，；当时，.
于是
；
（2）令，则，.当时，；当时，.于是
；
（3）令，则，.当时，
；当时，.于是
.
【注意】（1）使用第二类换元积分法时一般是要换限的，原则是，上限换上限，下限换下限.
（2）定积分的第二类换元积分法也不必回代.
随堂练习
2.计算下列定积分
（1）； （2）.
6.3.3定积分的分部积分法
设函数和在区间上有连续的导数，则有
.
【注意】选取的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.
例3 计算下列定积分
（1）； （2）； （3）.
解（1）
；
（2）
；
（3）
.
随堂练习
3.计算下列定积分
（1）； （2）； （3）.
例4求下列定积分：
（1）； （2）.
解 （1）因为被积函数是奇函数，且积分区间是对称区间，所以
.
（2）被积函数是偶函数，积分区间是对称区间，所以 . 令，则，.
当时，；当时，.于是
.
6.3.4 专业应用案例
例5电能问题
在电力需求的电涌时期，消耗电能的速度可以近似地表示（单位：h）．求在前两个小时内消耗的总电能 (单位：J)．
解 由变化率求总改变量得
．
小结：
本节介绍了定积分的换元法和分部积分法.要求熟练掌握定积分的换元法，能利用换元法计算定积分.重点是熟练掌握定积分的换元法和简单的分部积分法，能利用换元法和分部积分法计算定积分.
作业：
习题6.3 1、 2、 3、 4.
任务6.4 反常积分
教学目的：理解有限区间上无界函数的反常积分的运算无界函数广义积分和无穷区间上的反常积分的运算
教学重点：利用反常积分的定义计算
教学难点：概念产生的背景
教学用时：2学时
教学内容：
前面所讨论的定积分，其积分区间都是有限区间，且被积函数有界，这类积分被称作常义积分.然而在研究一些实际问题时，需要把积分区间推广到无限区间，把被积函数推广为无界函数，这样的积分不是通常意义下的积分（即定积分），所以称它们为反常积分.为了区别前面的常义积分，通常把推广了的积分称作广义积分(反常积分).
6.4.1无穷区间上的反常积分
引例【开口曲边梯形的面积】求由曲线，轴及直线右边所围成的“开口曲边梯形”的面积（如图6-19所示）.
因为所求图形不是封闭的曲边梯形，在轴的正方向是开口的，
这时的积分区间是无限区间，所以不能用定积分来计算它的
面积.
如果任取一个大于1的数，那么在区间上由曲线所围成的曲边梯形的面积为.
显然，当改变时，定积分的值也随之改变.因此，我们把时曲边梯形面积的极限理解为所求的“开口曲边梯形”的面积，即
.
一般地，对积分区间是无限区间的情形，给出下面定义.
定义6-3 设函数在上连续，任取，如果极限存在，则称此极限值为函数在上的反常积分，记作，即
．
若极限存在，称反常积分收敛；若极限不存在，则称反常积分发散．
同理可定义函数在上的反常积分为
．
定义函数在上的反常积分为
．
其中c为任意常数，当且仅当上式右端的两个反常积分都收敛时，称反常积分收敛，否则称反常积分发散．
设是的一个原函数，且记
，
则无穷区间上的反常积分可表示为
，
，
．
即得到了与牛顿-莱布尼茨公式相似的表达式，所不同的是与是一种极限运算.当极限存在时, 与表示极限值； 当极限不存在时，与只是记号，不表示数值．因此反常积分的敛散性,取决于极限与是否存在．
显然，求无穷区间上的反常积分的基本思路是：先求定积分，再取极限．且无穷区间上的反常积分具有与定积分相对应的性质．
例1 计算下列反常积分．
（1）； （2）； （3）．
解 （1）．
（2）．
（3）
，
其中极限是“”型未定式，由洛必达法则计算如下：
．
例2 证明反常积分；当时收敛，当时发散．
证明 当时，
（发散）．
当时，
．
所以当时，反常积分收敛于；当时，反常积分发散．
6.4.2 有限区间上无界函数的反常积分
定义6-4 设函数在上连续，且．如果极限存在，则称此极限值为函数在上的反常积分,记作
．
这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散．
类似地，如果在上连续，且．如果极限存在，则
称此极限值为函数在上的反常积分,记作
.
同样，可以定义函数在区间上除点外都连续，且的反常积分为
.
当且仅当上式右端两个反常积分都收敛时，称反常积分收敛；否则称反常积分发散．
通常将被积函数在积分区间上的无穷间断点叫作瑕点，这类反常积分又称作瑕积
分．设是的一个原函数，或是的瑕点．且记
.
则以或为瑕点的瑕积分可分别表示为 ..
即得到了与牛顿-莱布尼茨公式相似的表达式，所不同的是与是一种极限运算，当极限存在时表示极限值, 当极限不存在时，与只是记号，不表示数值．因此瑕积分是否收敛取决于极限或是否存在．
显然，求瑕积分的基本思路是：先求定积分，再取极限．
由于在有限区间上的反常积分(瑕积分)其记号与常义积分的记号一样，若误将瑕积分按常义积分进行计算，则会得出错误的结果. 怎样区分反常积分(瑕积分)和常义积分呢？关键就在于判断被积函数在积分区间上有无瑕点．
例3 计算下列反常积分．
（1）； （2）．
解 （1）因为，所以为被积函数的瑕点，于是
．
（2）很容易判断出为瑕点，则．由于
，
所以反常积分发散．
【注意】 如果将此题误当作正常积分进行计算，就会得出下面错误的结果．
．
例4 证明当时收敛，当时发散．
证明 当q = 1时，
（发散）．
当q ≠ 1时，
．
因此反常积分；当时收敛于；当时发散．
小结：
本节介绍了无穷限的广义积分和无界函数的广义积分。要求掌握无穷限和无界函数的广义积分的定义和计算方法。重点是理解广义积分的概念，难点是广义积分的计算。
作业：
习题6.4 1、 2.
图6-4
图6-3
图6-2
图6-5
图6-11
图6-12
图6-13
图6-14
图6-15
图6-17
图6-16
图6-18
图6-19

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