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《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 命题公式与赋值
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
学习目标 知识目标： 1.命题公式 2.命题的真值表 3.命题的等价与蕴含 能力目标： 1.能够熟练写出命题的真值表 2.能够简单地进行命题的等值演算 素质目标： 动手动脑能力的培养 培养学生的逻辑思维能力
教学 重难点 1.命题公式的真值表 2.命题的等值演算 3.命题的蕴含
课后总结 建议学时3课时
一、命题公式
定义7.2.1 一个命题标识符如果表示的命题真值确定，就称为命题常元，如果表示的真值不确定，就称为命题变元.
定义7.2.2 命题公式是按照下列规则定义的字符串：
（1）单个命题常元和命题变元是命题公式；
（2）如果是命题公式，那么也是命题公式；
（3）如果是命题公式，那么也是命题公式；
（4）经过有限次的使用（1）、（2）、（3）所组成的字符串是命题公式.
定义7.2.3 设是公式，是公式中的所有命题变元，规定
的一组真值，则这组真值称为公式的赋值或解释．使公式的真值为1的赋值称为公式的成真赋值，使公式的真值为0的赋值称为公式的成假赋值.
例7.2.1 求下列命题的真值：
设： ：4是素数 ：2是有理数
（1）； （2）.
解 命题、、的真值分别为1、0、1，那么
（1）也就是的真值为1；
（2）也就是的真值为0.
一般地，若公式中含有个不同的原子命题，则对公式共有个不同的赋值.将公式的所有赋值情况列表，则称为公式的真值表.构造真值表的步骤如下：
（1）找出公式中所含的所有命题变元，然后按照二进制依次对其赋值；
（2）按逻辑运算顺序写出公式的各个层次；
（3）对应各个赋值计算出各层次的真值，直到计算出最后公式的真值为止.
例7.2.2 求下列命题的真值表：
（1）； （2）.
解 详见书上例题
定义7.2.4 设是一个命题公式:
若在它的任何赋值下真值为1，则称为永真式或重言式；
若在它的任何赋值下真值为0，则称为永假式或矛盾式；
若的真值至少有一组为1，则称为可满足式.
例如上例中的（1）就是可满足式，（2）就是永真式.
二、等值演算
定义7.2.5 设是两个命题公式，在任意解释下的真值相同，则称命题是等值的，记为.
显然，公式的充分必要条件是为永真式.
例7.2.3 利用真值表证明两个命题公式是等值的：
．
证明 详见书上例题
利用真值表我们得到很多命题公式等值式，下面给出常见的命题公式等值式：
（1）双重否定律
（2）幂等律 ，
（3）交换律 ，，
（4）结合律 ，，
（5）分配律 ，
（6）同一律 ，
（7）零律 ，
（8）德摩根律 ，
（9）吸收律 ，
（10）补余律 ，
（11）蕴含等值式
（12）等价等值式
（13）输出律
（14）归谬律
要想证明两个命题公式是等值的，除了用真值表法以外，我们还可以用命题公式等值式进行等值演算.
例7.2.4 用等值演算法证明等值式：
（1）；
（2）．
证明 见书
三、公式的蕴含
定于7.2.5 设是两个命题公式，对任意解释，如果为真，则为真，那么我们称蕴含，记为.
显然，公式的充分必要条件是为永真式.
例7.2.5 利用真值表证明：．
证明 详见书上例题
由真值表可以发现，当命题公式为真时，命题公式也为真，所以.
利用真值表我们也可以得出很多蕴含式：
（1）化简 ，
（2）化简式变形 ，
（3）附加 ，
（4）附加变形式 ，，
（5）析取三段论
（6）假言推理
（7）拒取式
（8）条件三段论
（9）双条件三段论
（10）前件附加
蕴含关系性质如下：
（1）自反性：对任意公式，有
（2）反对称性：对任意公式，若且，则有
（3）传递性：对任意公式，若且，则有
要想证明两个命题公式的蕴含关系，除了用真值表法以外，我们还可以用命题公式等值式进行等值演算，以及用分析法进行证明.
定理7.2.1 的充分必要条件是且.
例7.2.5 证明．
证明 只需证明为永真式
即 .

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