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《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 析取范式与合取范式
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
学习目标 知识目标： 1.析取范式、主析取范式的概念 2.合取范式、主合取范式的概念 3.极小项、极大项的概念 能力目标： 1.能够写出命题的的析取范式、合取范式 2.能够写出命题的主析取范式、主合取范式 素质目标： 逻辑思维能力的培养 分析理解力的培养 应用知识解决简单实际问题的能力训练
教学 重难点 1.合取范式、析取范式的概念 2.将命题转化为主析取范式、主合取范式 3.简单应用
课后总结 建议学时3学时
一、析取范式与合取范式
定义7.3.1 仅有有限个命题变元及其否定构成的析取式称为简单析取式.仅有有限个命题变元及其否定构成的合取式称为简单合取式.
定义7.3.2 由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式.由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式.析取范式和合取范式统称为范式.
定理7.3.1 一个析取范式是永假式当且仅当它的每个简单合取式都是永假式.一个合取范式是永真式当且仅当它的每个简单合取式都是永真式.
定理7.3.2 任意命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式.
现在给出将命题公式化为范式的具体步骤：
（1）根据公式的等值演算消去命题公式中除以外的联结词；
（2）利用公式的等值演算，将否定联结词作用得到命题变元之前；
（3）利用结合律和分配律，若求析取范式可以利用对的分配律，若求合取范式
可以利用对的分配律.
例7.3.1 求公式的析取范式和合取范式.
解 先求析取范式
再求合取范式
定理7.3.3 一个命题公式为永假式当且仅当它的析取范式中每个简单合取式至少包含一个命题变元及其否定.一个命题公式为永真式当且仅当它的合取范式中每个简单析取式至少包含一个命题变元及其否定.
二、主析取范式与主合取范式
定义7.3.3 在含有个不同命题变元的简单合取式中，若每个命题变元与其否定不同时出现，但两者之一必须出现一次且仅出现一次，这样的简单合取式称为极小项. 在含有个不同命题变元的简单析取式中，若每个命题变元与其否定不同时出现，但两者之一必须出现一次且仅出现一次，这样的简单析取式称为极大项.
显然，个命题变元各有个极小项和极大项.
在极小项中，将命题变元的原形对应，否定形对应，则可对个极小项依二进制数进行编码，记为，其下标是由二进制数转化成的十进制数.比如，两个命题变元，它们构成的极小项、二进制编码如下表：
极小项 二进制赋值 真值情况 十进制数 编码记号
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 2
1 1 1 3
不难发现，每个极小项都有且仅有一个成真赋值.
在极大项中，将命题变元的原形对应，否定形对应，则可对个极大项依二进制数进行编码，记为，其下标是由二进制数转化成的十进制数.比如，两个命题变元，它们构成的极大项、二进制编码如下表：
极小项 二进制赋值 真值情况 十进制数 编码记号
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
不难发现，每个极大项都有且仅有一个成假赋值.
定义7.3.4 若由个不同的命题变元的极小项组成的析取式与命题公式等值，那么就称该析取式为命题公式的主析取范式. 若由个不同的命题变元的极大项组成的合取式与命题公式等值，那么就称该合取式为命题公式的主合取范式.
例7.3.2 请求公式的主析取范式.
解法一 我们利用等值演算的方法来求.
解法二 我们利用真值表来求.（详见书）
由真值表可以看出，二进制编码010、100、101、110、111是该命题公式的成真赋值，而他们对应的十进制数分别是2、4、5、6、7，故极小项的符号就是，所以
命题公式的主析取范式为
例7.3.3 请求公式的主合取范式.
解法一 我们利用等值演算的方法来求.
解法二 详见书
由真值表可以看出，二进制编码000、001、011是该命题公式的成假赋值，而他们对应的十进制数分别是0、1、3，故极大项的符号就是，所以
命题公式的主合取范式为
三、应用拓展
例7.3.4 有一个逻辑学家误入某部落，他被拘禁在牢房里，酋长知道他是一名逻辑学家后就想为难他.有一天，酋长召见这位逻辑学家，说：“我现在给你一个回家的机会，就看你能不能把握住了.”于是酋长派人将逻辑学家带到两扇门的面前，每道门前都有一个看门人.酋长对逻辑学家说：“这两扇门一道是生门，一道是死门，你可以任意开启一道，只要你选到了生门，我就放了你，决不食言.而且我还允许你向两个看门的人问一个问题，但是他们两个人当中有一个只说真话，有一个只说假话.你可想好了要问什么问题哦。”
逻辑学家沉思了一会儿，就向其中的一个看门人提问，然后便从容的离开了这个部落.你知道这个逻辑学家问了一个什么问题吗？
解 逻辑学家随意选择了一个看门人，然后指着他身后的那一扇门问他：“这扇门是死门，另外一个人会回答＇是＇，对吗？”如果该看门人回答“对”，那么逻辑学家就断定这是生门，当该看门人回答“不对”，逻辑学家就可以断定这个死门.
现在我们用所学的知识来验证这个结果的正确性.
设：被问的看门人是只说实话的人
：被问的看门人回答的是“对”
：该门是死门
那么
因此，只要被问的看门人回答的是“对”，那么该门就是生门，否则该门是死门.
例7.3.5 某单位要派张、陈、李、王、周当中的一些人去参加培训，培训的条件必须是：
若张去，陈也去
王、周两人中必有一人去
陈、李两人中去且仅有一人去
李、王两人同去或同不去
若周去，则张、陈也去
该如何选派参加培训的人员呢？
解 设：派张去 ：派陈去 ：派李去 ：派王去 ：派周去
由已知条件，可以得到
因此，有两种选派方案：
（1）派李、王去，而张、陈、周都不去；
（2）派张、陈、周去而李、王不去.

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