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《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 不定积分的概念及性质
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
学习目标 知识目标： 1.原函数的概念 2.不定积分的概念 3.不定积分的性质 能力目标： 1.能够掌握导数与不定积分的关系 2.能够掌握不定积分的性质 3.能够熟记基本初等函数的不定积分公式并理解其本质 4.能够运用直接积分法求不定积分 素质目标： 1.动手动脑能力的培养 2.观察理解力的培养
教学 重难点 1.不定积分与导数的关系 2.不定积分的基本公式和性质 3.直接积分法
课后总结 建议学时2课时
一、原函数的概念
定义4.1.1设是定义在某区间的函数，若存在函数，使得 或，则称为的一个原函数.
定理4.1.1 若是的一个原函数，则（为任意常数）是
的全部原函数.
二、不定积分的概念
定义4.1.2 函数的全体原函数（为任意常数）称为的不定积分，记为
，其中
其中“”称为积分号，“”称为被积函数，“”称为被积表达式，“”称为积分变量，“”称为积分常数.
注意：我们在求时，一定要 “+”，因为表示的是的全体原函数而不是一个原函数.
例4.1.1 求下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解 （1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）由导数公式可得，但此时是先有对数函数，所以自变量的取值范围是，而如果对积分，此时是先有函数，其自变量的取值范围是，所以直接得到是不正确的，还应该考虑的情况：
当时，因为，所以；
当时，，所以；
故 .
注意：由不定积分的定义我们可以总结出积分运算与微分运算之间的互逆关系，即
（1）或；
（2）或.
例4.1.2 已知曲线上任意一点处的切线斜率为，且该曲线过点，求此曲线的方程.
解 设该曲线方程为，根据题意，，
由例4. 1. 1有，
，
由于该曲线过点，即
，得
故该曲线方程为 .
三、基本积分公式
1. （）； 2. ；
3. ； 4. ；
5. ； 6. ；
7. ；
8. ；
9. ； 10. ；
11． ； 12． .
四、不定积分的性质
性质4.1.1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即
（）.
性质4.1.2 两个函数代数和、差的积分，等于各函数积分的代数和、差，即
.
例4.1.3 求下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）.
解 （1）；
（2）
；
（3）.
例4.1.4 求下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解（1）
；
（2）；
（3） ；
（4）.
注意：我们在计算不定积分的前，可以先观察被积分函数的特点，能够化简的先化简再求不定积分，这样可以简化运算.

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