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《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 线性方程组
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
学习目标 知识目标： 1.高斯消元法本质 2.线性方程组解的判定 3.线性方程组的求解方法以及解的表示 能力目标： 1.能够理解高斯消元法与矩阵的初等变换的关系 2.能够判定线性方程组是否有解 3.能够利用矩阵的初等变换求解有解的线性方程组并表示通解 素质目标： 1.动手动脑能力的培养 2.观察理解力的培养
教学 重难点 1.线性方程组解得判定 2.线性方程组的求解方法 3.线性方程组无数解的表示方法
课后总结 建议学时2课时
一、高斯消元法
引例 求解一元二次方程组(高斯消元法):
(方程组有唯一解).
设系数矩阵，未知矩阵，常数项矩阵，即该方程组为
.
将上述的消元过程用矩阵的初等行变换来表示:
(阶梯型矩阵)
（行简化型阶梯矩阵）
最后一个矩阵表示的含义为，即该方程组的解为.
二、线性方程组的矩阵形式
定义5.4.1 一般地，将含有个未知量、个方程式的线性方程组成的方程组
称为元线性方程组.其中是系数，是已知数，是未知数.
当方程组中的常数项不全为零时，称线性方程组为非齐次线性方程组.
当方程组中的常数项全为零时，称线性方程组为齐次线性方程组.
由矩阵的乘法运算，该线性方程组的矩阵表示为
其中 ，，，
称为方程组的系数矩阵，为未知数矩阵，为常数矩阵.
三、线性方程组的求解
课堂提问：结合本节引例和第二节初等变换的知识，请同学们讨论求解线性方程组的基本方法和步骤
从引例中可以看出，在用消元法求解线性方程组时，实际上就是对方程组的系数矩阵和常数项矩阵施行初等行变换，然后将其化为行最简阶梯形矩阵.
定义5.4.2 将系数矩阵和常数矩阵放在一起构成的矩阵
称为该线性方程组的增广矩阵，记为.
可见，要解线性方程组只须将增广矩阵化为行简化阶梯型矩阵.
定理5.4.1 线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即，并且当时，有唯一解；当时，有无穷多解（含个自由未知量）；当时，无解.
例5.4.1　求解齐次线性方程组.
解 对增广矩阵施行初等行变换
（阶梯矩阵）
此时，我们可以观察得到，所以该齐次线性方程组必有唯一解，继续将阶梯矩阵化为行简化阶梯型矩阵.
.（行简化阶梯型矩阵）
则其表示的与原方程组等价的方程组为，该齐次线性方程组的唯一解为零解.
注意：在齐次线性方程组中，当时，该齐次线性方程组只有零解.
例5.4.2　求解齐次线性方程组.
解 对增广矩阵施行初等行变换
，
此时，我们可以观察得到，所以该齐次线性方程组无数解，继续将阶梯矩阵化为行简化型阶梯矩阵，
，（行简化型阶梯矩阵）
则其表示与原方程组等价的方程组为，所以，即该齐次线性方程组有无数解.该齐次线性方程组的无数解为
（其中c为任意常数）.
注意：在齐次线性方程组中，当时，该齐次线性方程组有无数解.
例5.4.3　求解非齐次线性方程组.
解　对增广矩阵施行初等行变换
，（阶梯矩阵）
此时，我们可以观察得到，所以该非齐次线性方程组必有唯一解，继续将阶梯矩阵化为行简化阶梯型矩阵.
，（行简化型阶梯矩阵）
则其表示与原方程组等价的方程组为，即是方程组有唯一解.
例5.4.4 求解非齐次线性方程组.
解　对增广矩阵施行初等行变换
，
,非齐次线性方程组无解.
例5.4.5　求解非齐次线性方程组.
解　对增广矩阵施行初等行变换
，
因为，该线性方程组有无数解，为
（其中为任意常数）.
例5.4.6　当、为何值时，线性方程组，有唯一解、无穷多解或无解？.
解　对增广矩阵施行初等行变换
，
（1）当，，方程组有唯一解；
（2）当且，，方程组有无数解；
（3）当且，，方程组无解.
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