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《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 导数的概念
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
学习目标 知识目标： 1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.导数和连续的关系 能力目标： 1.能够用导数的定义求函数在某点的导数 2.能够根据导数的几何意义求切线方程 素质目标： 1.培养学生分析、理解问题的能力 2.培养学生运用概念解决问题的能力
教学 重难点 1.导数定义与极限的关系 2.导数定义解决问题 3.导数的意义
课后总结 建议雪是2课时
引例：结合课件请学生观察动图
一、两个实例
1.变速直线运动的瞬时速度
设一物体作变速直线运动，其运动方程（路程与之间的函数关系），求该物体在时刻的瞬时速度.
分析 设在时刻物体的位置为.当时间由变到时，物体的路程函数相应地有增量，于是当越小，比值
，
就越接近物体在时刻的瞬时速度，即
.
2．平面曲线的切线斜率
如图3.1.1，在曲线上点附近，再取一点
，作割线，当点沿曲线移动而趋向于
时，越来越接近于，割线的极限位置
就定义为曲线在点处的切线.
设曲线为函数的图像，和为曲线上的两点，则割线的斜率 图3.1.1
，
当时，沿曲线趋于，则切线的斜率为，
=.
故曲线在点处切线方程为：
.
二、导数的概念
1．函数在的导数
定义3.1.1 设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处有增量（，仍在该邻域内）时，相应地函数有增量
，
若当时，的极限，
，
存在，那么这个极限值称为函数在点处的导数，也可以说成函数在点处可导，记作，也记作， 或 .
如果极限不存在，我们说函数在点处不可导.
注意：用导数的定义求函数在点的导数可以总结为如下三个步骤：
（1）求函数的增量：；
（2）算比值：；
（3）取极限：.
例3.1.2 用定义求函数在点处的导数.
解 （1）求函数的增量：
；
（2）算比值：；
（3）取极限：=.
2．函数的导函数
定义3.1.2 若函数在区间内每一点都可导，则称在区间内可导.
如果在内可导，那么对应于中的每一个确定的值，对应着一个确定的导数值，这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数的导函数，记作，，，.
函数在点处的导数，就是导函数在点处的函数值，即.
例3.1.3 求函的导函数，并求出，，的值.
解 （1）求函数的增量：
；
（2）算比值：；
（3）取极限：.
故
例3.1.4 已知函数（为常数），证明其导函数为.
证明
即是说常数.
例3.1.5 求对数函数的导数.
解 （1）求增量：
；
（2）算比值：；
（3）取极限：.
即
特别地，当时，得自然对数的导数.
三、导数可导性与连续性的关系
可导一定连续，连续不一定可导.

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