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《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 导数的应用
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
学习目标 知识目标： 1.拉格朗日中值定理 2.函数单调性的判定 3.函数极值的概念 4.函数最值的概念 能力目标： 1.能够判定函数的单调性，求函数的单调区间 2.能够求函数的极值 3.能够求函数的最值 素质目标： 1.动手动脑能力的培养 2.观察理解力的培养
教学 重难点 函数单调性的判定方法和步骤 函数极值与最值的求别 3.函数极值与最值的判定和求法
课后总结 建议课时数4课时
一、拉格朗日中值定理
定理3.6.1 如果函数满足下列条件：
（1） 在闭区间上连续；
（2） 在开区间内可导，那么，
在内至少存在一点，使得
图3.6.1
二、函数单调性的判定
定理3.6.2 设函数在上连续，在内可导，则有
（1）如果在内，则函数在上单调增加；
（2）如果在内，则函数在上单调减少.
课堂总结：求函数单调性的一般步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导函数，并解出使的点（这样的点称之为驻点）或无意义的点（这样的点称之为尖点）；
（3）用求出的驻点及尖点划分定义域区间；
（4）列表判定在各个划分区间内的符号，再由定理3.6.2得出函数在划分区间内的单调性；
（5）总结得出单调区间.
例3.6.1 求函数的单调区间.
解 易知该函数的定义域为，
，
求使的点，得驻点.驻点将定义域划分成三个子区间，后列表讨论如下.
—
由上表可知，函数在区间和内单调递增，在区间内单调递减.
例3.6.2 求函数的单调性.
解 该函数的定义域为，
，
得驻点，尖点，用驻点及尖点将定义域划分成三个子区间.后列表讨论如下.
不存在 —
由上表可知，函数在区间和内单调递增，在区间内单调递减.
三、函数的极值
定义3.6.1 设函数在的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点，均有，则称是函数的一个极大值；同样，如果对此邻域内任一点，均有，则称是函数的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值.使函数取得极值的点称为极值点.
课堂提问：极值点与极值的区别是什么？
定理3.6.3(极值的必要条件) 设在点处具有导数，且在点取得极值，则必有.
定理3.6.4（极值的第一充分条件） 设函数在点连续，在点的某一邻域内可导（在点可以不可导），当由小增大经过时，
(1)如果的符号由正变负，那么是极大值点；
(2)如果的符号由负变正，那么是极小值点；
(3)如果的符号不变号，那么不是极值点.
例3.6.3 求函数的极值.
解 易知该函数的定义域为，
，
求使的点，得驻点，.驻点将定义域划分成三个子区间，，，后列表讨论如下：
—
极大值 极小值
由上表可知，函数在区间和内单调递增，在区间内单调递减，故是函数的极大值点，函数在处取得极大值为；是函数的极小值点，函数在处取得极小值为.
四、函数的最值
闭区间上的连续函数一定存在着最大值和最小值.显然，函数在闭区间上的最大值和最小值只能在区间内的极值点和区间端点处取得.
因此求闭区间上的连续函数的最值步骤为：
（1）求出一切可能的极值点（包括驻点和尖点）和端点处的函数值；
（2）比较这些函数值的大小，最大的值为函数的最大值，最小的值为函数的最小值.
例3.6.4 求函数在闭区间上的最大值和最小值.
解 该函数的定义域为，
，
令，得驻点.
求出内所有驻点及端点的函数值，有
，
比较大小，我们可以得出函数在驻点处取得最大值，在端点
处取得最小值.
五、曲线的凹凸性及其判别法
1.曲线的凹凸性
定义3.6.2 若在某区间内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称曲线段在 内是凹的；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段内是凸的.
定理3.6.4 设函数在开区间内具有二阶导数.
（1）若在内，则曲线在内是凹的；
（2）若在内，则曲线在内是凸的.
注意：若把定理3.6.4中的区间改为无穷区间，结论仍然成立.
例3.6.5 判定曲线的凹凸性.
解 函数的定义域为，且，.
当时，，故曲线在内是凸的；当时，，故曲线在内是凹的
2.拐点及其求法
定义3.6.3 若连续曲线上的点是曲线凸与凹的分界点，则称是曲线的拐点.
由于拐点是曲线凹向的分界点，所以拐点左右两侧近旁必然异号.因此，曲线拐点的横坐标，只可能是使的点或不存在的点.从而可得求内连续函数拐点的步骤：
（1）先求出函数的定义域；
（2）再求出，找出在内使的点和不存在的点；
（3）用上述各点按照从小到大依次将分成子区间，再在每个子区间上考察的符号；
（4）若在某点两侧近旁异号，则是曲线的拐点，否则不是.
例3.6.6 求函数曲线的凹向及拐点.
解 函数的定义域是，
，.
令，得.该点将定义域划分为两个子区间和
当时，，
曲线是凸的；
当时，，
曲线是凹的.
故点是曲线的拐点（如图3.6.1）. 图3.6.1
六、曲线的渐近线
定义3.6.4 若曲线上动点沿着曲线无限地远离原点时，点与某一固定直线的距离趋于零，则称直线为曲线的渐近线.
1．斜渐近线：
定理3.6.5 若满足
(1) ；
(2) .
则曲线有斜渐近线.
例3.6.7 求曲线的渐近线.
解 ，
，
故得曲线的渐近线方程为.
2．铅直渐近线：
定义3.6.5 若当时（有时仅当或），则称直线为曲线的铅直渐近线（也叫垂直渐近线）（其中为常数）.
例3.6.8 求曲线的铅直渐近线.
解 因为，故得曲线的铅直渐近线方程为.
3．水平渐近线
定义3.6.6 若当时（有时仅当或），，则称曲线有水平渐近线.
例3.6.9 求曲线的水平渐近线.
解 因为，故得曲线的水平渐近线方程为.
我们总结出函数作图的一般步骤：
（1）确定函数的定义域及值域；
（2）考察函数的周期性与奇偶性；
（3）确定函数的单增、单减区间、极值点、凹凸区间及其拐点；
（4）考察渐近线；
（5）考察与坐标轴的交点；
（6）根据上述几方面的讨论画出函数的图像.
例3.6.10 描绘函数的图像.
解 （1）求出函数的定义域为.
（2）求出函数的渐近线：因为，所以为铅直渐近线；
又因为，所以为水平渐近线.
（3） 因为，，
令得．令得；
（4） 列表讨论：
+ – –
– – +
凸的 极大值 凸的 凹的
(5) 令，得为曲线与轴交点的横坐标.
(6) 根据上述讨论画出曲线.

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