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《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 定积分的计算
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
学习目标 知识目标： 1.定积分的基本公式 2.直接积分法求定积分 3.定积分的换元积分法 4.定积分的分部积分法 能力目标： 1.能够掌握牛顿—莱布尼茨公式 2.能够运用公式及适当方法求定积分 3.能够根据函数奇偶性在对称区间求定积分 素质目标： 1.动手动脑能力的培养 2.观察理解力的培养
教学 重难点 1.定积分的基本公式 2.定积分的积分方法
课后总结 建议学时3课时
一、微积分基本公式
定理4.4.1 设函数在闭区间上连续，又是的任一个原函数，则有 ，
上式称为牛顿（Newton）—莱布尼茨（Leibniz）公式，也叫微积分基本公式.上述公式也可以写成
或 .
例4.4.1 求定积分.
解 因为，所以是的一个原函数，所以由牛顿—莱布尼茨公式有 .
例4.4.2 求定积分.
解 因为，所以是的一个原函数，所以由牛顿——莱布尼茨公式，有 .
例4.4.3 求定积分.
解
.
例4.4.4 求定积分.
解 在这里，我们不能对被积函数直接积分，应该首先去掉绝对值符号被积函数是分段函数，
，
由积分区间的可加性，得
.
例4.4.5 求定积分.
解 因为，所以利用定积分积分区间可加性得到
.
例4.4.6 求定积分.
解 .
二、定积分的换元积分法
一般地，定积分换元法可叙述如下：
设在上连续，而满足下列条件：
（1）在上有连续导数；
（2），且当在上变化时, 的值在上变化，则有换元公式：
上述条件是为了保证两端的被积函数在相应区间上连续，从而可积.应用中，我们强调指出：换元必须换限，（原）上限对（新）上限，（原）下限对（新）下限.
例4.4.7 设 在对称区间上连续，试证明
，
证明 因为对积分，
作变量代换，由定积分换元法，得
，
于是
.
（1）若为偶函数，即，由上式得；
（2）若为奇函数，即，有，则.
如图4.4.1
图4.4.1
注意：这个例题可以作为一个结论.
例4.4.8　计算下列定积分：
（1）； （2）.
解 （1）因为被积函数是奇函数，且积分区间关于原点对称，所以
.
（2）因为被积函数是偶函数，且积分区间关于原点对称，所以
.
三、定积分的分部积分法
例4.4.9 计算.
解 .
例4.4.10 计算.
解
=.

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