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《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 定积分的概念及性质
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
学习目标 知识目标： 1.定积分的概念 2.定积分的性质 3.定积分的几何意义 能力目标： 1.能够理解定积分的概念 2.能够掌握定积分的性质 3.能够利用定积分的几何意义求解简单的定积分 4.能够简单利用定积分思想分析实际问题 素质目标： 1.分析观察能力的培养 2.逻辑思维能力的锻炼
教学 重难点 1．定积分的概念 2.定积分的性质 3.定积分的几何意义 4.用定积分的几何意义求相对应的图形面积
课后总结 建议学时2课时
课堂动脑：展示事先准备的曲边梯形模型，请同学们讨论求出其面积的合理方法，越精确越好
课堂新课：
一、定积分的实际背景
1．曲边梯形的面积
曲边梯形：若图形的三条边是直线段，其中有
两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，
这样的图形称为曲边梯形，如图4.3.1所示：
即曲边梯形是指由连续曲线和三条直线
，，轴所围成的图形.
曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿
着轴方向切割成若干小曲边梯形，再将每个小曲 图4.3.1
边梯形近似看作一个矩形，用长乘以宽求得小矩形面积，再将这些小矩形的面积加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的小矩形的宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如图4.3.2所示：
曲边梯形面积的确定步骤：
（1）分割
任取分点，
把底边分成个小区间(.每个小区间长度记为.
（2）取近似 图 4.3.2
在每个小区间上任取一点，将其对应的函数值作为
每个小矩形的长，则得小矩形的面积的近似值为.
（3）求和
把个小矩形面积相加就得到曲边梯形面积的近似值
.
（4）取极限
令小区间长度的最大值 趋于零，则和式 的极限就是曲边梯形面积的精确值，即.
2．变速直线运动的路程
设某物体做变速直线运动，已知速度是时间间隔上的连续函数，且，现计算这段时间内所走的路程.
解决这个问题的思路和步骤与上例类似：
（1）分割
任取分点，把分成个小段，每小段长为.
（2）取近似
把每小段上的运动视为匀速，任取时刻，显然这小段时间所走路程可近似表示为.
（3）求和
把个小段时间上的路程相加，就得到总路程的近似值，即
.
（4）取极限
当 时，上述总和的极限就是的精确值，即.
二、定积分的概念
定义4.3.1 设函数在上有定义，任取分点
，分为个小区间，记，再在每个小区间上任取一点，作乘积的和式：，如果时，上述极限存在（即这个极限值与的分割及点的取法均无关），则称此极限值为函数在区间上的定积分，记为
.
其中称为被积函数，为被积式，为积分变量，为积分区间，分别称为积分下限和上限.
三、定积分的几何意义
1．如果，则，此时表示由曲线，直线，以及轴所围成的曲边梯形的面积，即.
2．如果≤，则， 此时表示由曲线，直线，以及轴所成的曲边梯形的面积的负值，如图4.3.3所示，即
.
图4.3.3 图4.3.4
3．如果 在上有正有负时，则表示由曲线，直线，以及轴所围成的平面图形的面积位于x轴上方的面积减去位于x轴下方的面积，如图4.3.4所示，即.
例4.3.1 用定积分表示图4.3.5中各阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值.
图4.3.5（1） 图4.3.5（2）
解 （1）在图4.3.5（1）中，被积函数在区间上连续，且，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为
，
所以 .
（2）在图4.3.5（2）中，被积函数在区间上连续，且，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为
，
所以 .
四、定积分的性质
性质4.3.1 函数的代数和可逐项积分，即
.
性质4.3.2 被积分函数的常数因子可提到积分号外面，即
（为常数）.
性质4.3.3 （积分区间的分割性质） 若，则
.
性质4.3.4 （积分中值定理）如果在上连续，则至少存在一点，使得.

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