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《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 复合函数和隐函数求导
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
学习目标 知识目标： 1.复合函数求导法则 2.隐函数数求导 能力目标： 1.能够熟练分析复合函数的复合过程 2.能够准确选择适当的求导公式 3.能够熟练的求复合函数的导数 4.能够求解简单的隐函数导数 素质目标： 1.动手动脑能力的培养 2.观察理解力的培养
教学 重难点 1.准确选择求导公式求复合函数导数 2.隐函数求导
课后练习
引例： 吗？
课堂动手：请学生运用前面的公式自己求解
由基本初等函数求导公式，那么
验证 .
一、复合函数求导
定理3.3.1 如果函数在点处可导，而函数对应点处也可导,那么复合函数也在点处可导，且有
或.
显然，以上法则也可用于多次复合的情形.
例3.3.1 下列函数的导数.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解 （1）函数可以看作由函数与复合而成，因此
.
（2）函数可以看作由函数与复合而成，因此
.
（3）函数可以看作由函数与复合而成，因此
.
（4）函数可以看作由函数与复合而成，因此
.
例3.3.2 求下列函数的导数.
（1）； （2）.
解 （1）
.
（2）
.
二、隐函数求导
隐函数的求导方法
设方程所确定的隐函数为，求导数.
求方程所确定的隐函数的导数，只需将方程中的看成是的函数，利用复合函数的求导法则，在方程两边同时对求导，得到一个关于方程，然后从中解出即可.
例3.3.3 设是由方程所确定的隐函数，求其导数.
解 在方程两边同时对求导，可得
，
由上式整理得
.
2．对数求导法（将显函数化为隐函数求导）
对数求导法：适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数，型如），对数求导法过程是先取对数，化乘、除、乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导.
例3.3.4 求的导数.
解 对于两边取对数，得
，
两边对求导，得
，
所以 .
例3.3.5 设，求.
解 先在等式两边取绝对值,再取对数，得
,
两边对求导，得
,
所以 .
以后解题时，为了方便起见，取绝对值可以略去.
*例3.3.6 若水以的速度注入高为、底面半径为的圆锥形容器中，则当水深为时，水位的上升速度是多少？
解 设在时间时，容器中水的体积为，水面的半径为，容器中水的深度为，由题意，有 ，
因为， 因此，代入上式得 ，
又因为水的深度是时间的函数，即，所以水的体积通过中间变量与时间发生联系，是时间的复合函数，即 ，
在上式中，两端同时对时间求导，得
，
其中是体积的变化率，由题意知，是水的深度的变化率，代入上式得
所以说，当水深为时，水位的上升速度是.

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