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《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 定积分的几何应用
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
学习目标 知识目标： 1.微元法的本质 2.定积分的几何意义 能力目标： 1.能够理解微元法的本质 2.能够掌握定积分的几何意义 3.能够熟练利用定积分几何意义解决简单的平面图形的面积问题 4.能够准确画出函数图像 素质目标： 1.动手动脑能力的培养 2.观察理解力的培养
教学 重难点 1.微元法的理解 2．定积分几何意义的深入理解与灵活运用
课后总结 建议学时2课时，加星号内容建议1学时（选修）
一、定积分求平面图形的面积
1．由连续曲线与直线所围成的平面图形的面积.
根据定积分的几何意义，我们有
情况 图形 面积公式
当时
当时
当在区间上有正，有负时
一般地，由连续曲线与直线，，，所围成的平面图形的面积公式为 .
例4.5.1 求抛物线和直线，及轴所围成的平面图形的面积.
解 选择作为积分变量，积分区间为，由于函数在内的函数值全是大于0的，故所求图形的面积为
.
例4.5.2 求正弦函数在上与轴围成图形的面积.
解 由正弦函数的图像我们看到在上，所有的函数值都大于等于0，故所求图形的面积为
.
2．由曲线，与直线，所围成的平面图形的面积.
情况 图形 面积公式
当 时
如果函数与在上，有时，有时
一般地，由曲线，与直线，所围成的平面图形的面积公式为 .
3．由曲线与直线，，所围成的平面图形的面积.
我们仅讨论（如图4.5.2所示）的情况，其余情况与分类（1）中的情况相仿，可类似得到.我们将作为积分变量，其面积为
.
4．由连续曲线，与直线，所围成的平面图形的面积.
我们也仅讨论（如图4.5.3所示）的情况，其余情况与分类（2）中的情况相仿，可类似得到.得到面积公式为
.
图4.5.2 图4.5.3
例4.5.3 求抛物线和直线所围成的平面图形的面积.
解 首先我们作出图形（如图4.5.4所示），通过观察图形，我们选择作为积分变量比较方便，联立方程组 ，得出交点，.
由于在区间内，函数和函数的函数值都大于0，所以，所求图形的面积是
. 图4.5.4
例4.5.4 求由抛物线与所围成图形的面积.
解 首先我们作出图形（如图4.5.4所示），通过观察图形，
积分变量既可选择，又可选择，都比较方便，在这里我们
选择用作为积分变量，联立方程组，
得出交点，. 图4.5.4
.
*二、定积分求旋转体体积
设是上的连续函数，由曲线
与直线，，围成的
曲边梯形绕轴旋转一周，得到一个旋转体
（如图4.5.6所示），怎样求这个旋转体的体积？
介绍用定积分求解实际问题的一种常用方法：
微元法.
在面积公式中，被积表达式叫做面积微元，记作，即 .如图4.5.7所示，表示在区间内点处，以为高，为宽的微小矩形的面积.由于可以任意地小（微分），因此可将
这块小矩形面积就作为相应小曲边梯形面积的（近似）值. 图4.5.7
再将所有这些小面积“积”起来，得到整个曲边梯形的面积，
即
.
这种方法称为微元法.用微元法分析问题的一般步骤如下：
（1）定变量：根据问题的具体情况，选取一个积分变量，并确定变量的变化范围，如取为积分变量，的变化区间为；
（2）取微元：在区间内任意一点处，给以微小的增量，在上将看作常值，构造所求量的微元；
（3）求积分：将上述微元“积”起来，得到所求量.
下面我们用微元法来求旋转体的体积：
如图4.5.8，选定为积分变量，的变化范围为.
在上任取一小区间，过点作垂直于轴的平面，则截面是一个以为半径的圆，其面积为.再过点作垂直于轴的平面，得到另一个截面.由于很小，所以夹在两个截面之间的“小薄片”可以近似地看作一个以为底面半径、为高的圆柱体.其体积为 图4.5.8
.
叫做体积微元.把体积微元在上求定积分，便得到所求旋转体的体积为
.
类似地可以推出：由曲线与直线，
，所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而得
到的旋转体（图4.5.9）的体积为
.
例4.5.5　证明底面半径为，高为的圆锥体的 图4.5.9
体积为.
证明 如图4.5.10所示，以圆锥的顶点为坐标原点，以
圆锥的高为轴，建立直角坐标系，则圆锥可以看成是由直
角三角形ABO绕轴旋转一周而得到的旋转体.直线OA的
方程为
，
于是，所求体积为 图4.5.10
.

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