资源简介

《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 函数
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
学习目标 知识目标： 1.函数的三要素 2.分段函数 3.反函数 能力目标： 1.能够求函数的定义域 2.能够判断函数的奇偶性 3.能够画简单的分段函数的图像 4.能够求函数的反函数 素质目标： 1.动手动脑能力的培养 2.观察理解力的培养
教学 重难点 1.函数的定义域的求法 2.分段函数作图
课后总结 建议学时2学时
第二节 函数及其性质
一、函数的概念
1、函数的定义
定义1.2.1 设有两个变量和，当变量在非空数集内取某一数值时，变量按照某种对应法则，总有确定的数值与之对应，则称变量为变量的函数，记作，其中称为自变量，称为函数或因变量，数集称为函数的定义域，相应的值的集合称为函数的值域．
当自变量在其定义域内取定某值时将因变量按照函数关系求出的对应值称为当时的函数值，记为或．
课堂提问：请同学们回顾函数的三要素是什么？
2、函数的三要素：函数的定义域、对应法则、值域。
当函数用解析法表示时，求函数的定义域的原则是使函数表达式有意义．
一般地，我们有如下要求：
（1）分式中，分母不能等于0；
（2）开偶次方根，被开方式非负；
（3）对数的真数必须大于0，底大于零且不等于1；
（4），但；
（5）正切符号下的式子必须不等于（）；
（6）余切符号下的式子必须不等于（）；
（7）反正弦、反余弦符号下的式子的绝对值必须不大于；
如果取数值时，则函数在处有定义，与对应的数值称为函数在点的函数值，记作
即
＝或＝
全体函数值的集合，称为函数的值域。
例1.2.1 下列函数是否相同，为什么？
（1）与； （2）与；
（3）与； （4）与.
解 （1）与是相同函数，因为定义域，对应法则相同；
（2）的定义域是,的定义域是，因为定义域不同，所以不是相同函数；
（3）与是相同函数，因为定义域、对应法则是相同的；
（4）的定义域是而的定义域是，因为定义域不同，所以不是相同函数．
例1.2.2 求下列函数的定义域
（1）； （2）；
（3）； *（4）.
解 （1）由根号下非负，且对数的真数部分为正，有 解得 ，即定义域为；
（2）由偶次方根被开方式非负，得解得，即定义域为；
（3）由对数的真数必须大于零且分式的分母不为0，得解得 ，即定义域为；
*（4）本题包含了多种情况，要使式子有意义，必须同时满足
，即，解得；即定义域为．
例1.2.3 设，求.
解 令，则，
所以 ，
故 .
3、函数的记号
4、函数的表示法
通常函数的表示方法一般有解析法、表格法、图像法等．
二、分段函数
如果在函数的定义域内，对应的自变量在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数，比如.
例1.2.4 设函数，求：
（1）定义域； （2）．
解 （1）分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，所以其定义域为；
（2）．
例1.2.5 用分段函数表示函数，并画出图像．
解 根据绝对值定义可知，
当即时，，
当即时，， 2
所以， 1
（作图如图1.2.1）. 图1.2.1
三、反函数
反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数。函数与反函数的图像关于对称
例1.2.6 求下列函数的反函数.
（1）； （2）.
解 （1）由函数解出，然后交换字母和，即得；
（2）由函数先求出，考虑，故，然后交换字母和，即得．
(1) = 与= 2；
(2) 与=．
四、函数的几种特性
1、有界性 (上界、下界；有界、无界)
有界的充要条件：既有上界又有下界。
2、单调性 （单增、单减）在x1、x2点比较函数值
与的大小（注：与区间有关）
3、奇偶性(定义域对称、与关系决定)
图形特点 (关于原点、Y轴对称)
4、周期性：定义域中成立：

展开更多......

收起↑