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《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 函数的连续性
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
知识目标： 1.函数连续性的定义 2.间断点的含义 3.函数连续区间的求法 能力目标： 1.能够用定义判定函数在某点的连续性 2.能够求初等函数的连续区间 素质目标： 1.动手动脑能力的培养 2.观察理解力的培养
教学 重难点 1．函数连续性定义的理解和运用 2.初等函数的连续区间
课后总结 建议课时2课时
一、函数连续的定义
1. 函数的增量
定义2.3.1 设函数在点的某邻域上有定义，当自变量由变到时，函数相应地由变到，函数相应的增量为
.
图2.3.1 图2.3.2
如图2.3.1和图2.3.2中的都叫做函数的增量，函数的增量可正可负，故增量的本质意义是函数的变化量.
2．函数在连续
定义2.3.2 设函数在点 的某邻域内有定义，如果自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即
.
则称函数在点处是连续的，点称为函数的连续点；否则就称函数在点处是间断的，点称为函数的间断点.
定义2.3.3 设函数在点的某邻域内有定义，若，
则称函数在点处连续.
例2.3.1 已知函数，讨论在处的连续性.
解 因为，，即，所以不存在，且是函数的间断点.
例2.3.2 设函数，讨论在处的连续性.
解 因为，但是，即
，
故是的间断点.
例2.3.3 讨论函数在处的连续性.
解 因为，，，即此时.同时，，即
，
故函数在点处是连续的.
例2.3.4 求函数在处的连续性.
解 因为函数在处没有定义，且，则为的间断点.
3．函数在区间连续
（1）若，则称函数在处右连续；
若，则称函数在处左连续.
（2）如果在区间内每一点都是连续的，就称在区间内连续；若在内连续，在处右连续，在处左连续，则称在上连续.
连续函数的图形是一条连续不断的曲线．
二、初等函数的连续性
1.初等函数的连续性
定理2.3.1 一切初等函数在其定义域区间内连续.
例2.3.5 求函数的连续区间.
解 因为函数需要满足，即函数的定义域为，所以函数的连续区间是.
2．利用函数的连续性求极限
若在处连续，则，即求连续函数的极限，可归结为计算函数值.
例2.3.6 求极限．
解 因为在处连续，故有
.
3.复合函数求极限的方法
定理2.3.2 设有复合函数，若，而函数在点连续，则
例2.3.7 求极限.
解 函数化简为是由，复合而成的，函数在点连续，故
.

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