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《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 矩阵的概念及运算
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
学习目标 知识目标： 1.矩阵的定义 2.特殊矩阵 3.矩阵的加减法及其运算律 4.矩阵的乘法及其运算律 5.矩阵的转置 能力目标： 1.能够熟记特殊矩阵 2.能够掌握矩阵的加法运算 3.能够掌握矩阵的乘法运算 素质目标： 动手动脑能力的培养 观察理解力的培养
教学 重难点 1.特殊矩阵的形式 2.矩阵的乘法运算及其运算律 3.矩阵转置的运算律
课后总结 建议学时2课时
一、矩阵的概念
定义5.1.1 由个数按一定次序排成的行列的矩形数表
称为行列的矩阵，简称矩阵．表示该元素位于矩阵的第行第列的位置．矩阵通常用大写字母等表示，矩阵可记为或，简记为或．
定义5.1.2　 若两个矩阵，其对应的行数相同，列数也相同，则称是同型矩阵．
定义5.1.3　 对于同型矩阵和，若他们的对应元素都相等，即
就称矩阵与矩阵相等，记为．
二、几种常见的特殊矩阵
1．行（列）矩阵：称为行矩阵，即矩阵；称为列矩阵，即矩阵．
2．零矩阵：所有元素都是零的矩阵，称为零矩阵，记为或，即
．
3．方阵：行数与列数相等时，称为阶方阵，即
．
在阶方阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线．
4．三角矩阵：在阶方阵中，如果主对角线左下（右上）方的元素全为零，称为上（下）三角矩阵，即
．
5．对角矩阵：在阶方阵中，主对角线上的元素不全为零，其余元素全为零，这样的方阵称为对角矩阵，即
．
6．单位矩阵：在阶对角矩阵中，当主对角线上的元素时，则称为阶单位矩阵，记为，即
．
7．对称矩阵：在阶方阵中，若关于主对角线对称的元素都相等，即 ，则称该矩阵为对称矩阵，即
．
三、矩阵的运算
1．矩阵的加（减）法
定义5.1.4 设有两个同型矩阵和，则称矩阵为矩阵与的和，即
.
称矩阵为矩阵与的差，即
.
例5.1.1 已知．求，.
解 ,
,
矩阵的加法满足如下的运算律(其中都是矩阵)
（1）交换律：；
（2）结合律.
2．矩阵的数乘运算
定义5.1.5 设为任意实数，以数乘矩阵中的每一个元素所得到的矩阵称为数与矩阵的乘积，记为，即
．
例5.1.2 设矩阵，，若，求矩阵.
解
,
数乘运算满足以下运算律（设，为矩阵，，为任意实数）
（1）结合律：；
（2）分配律： ；
（3）分配律：.
3．矩阵的乘法
定义5.1.6 设是一个矩阵，是一个矩阵，则称矩阵 为矩阵与的乘积，记为，其中
　（）．
例5.1.3 设行矩阵 ，列矩阵，求，.
解 ，
,
注意：是一个数，而是一个矩阵，则.
例5.1.4 设,,,求,,,.
解 ；
；
由于的列数与的行数不相等,所以没有意义.
例5.1.5 设,,求,.
解 ；
.
注意：本例中,,,但.
例5.1.6 设,,求,
解 ；
.
注意：本例中，但.
矩阵的乘法不满足交换律,但仍满足结合律和分配律
（1）结合律： ；；
（2）分配律：；
（3）矩阵与单位矩阵的乘积：；；
若和是同阶方阵：.
（4）矩阵的幂：就是个连乘.
注意：只有方阵，它的幂才有意义.
4．矩阵的转置
定义5.1.7 把矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为的转置矩阵，记为.即
若，则.
例5.1.6 设，，求，.
解 因为，所以
=
矩阵的转置运算满足的运算律：
（1）； （2）；
（3）(为实数)； （4）.
注意：若为对称矩阵，则.

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